两个小说中的数学问题

      杰克· 伦敦是美国著名作家，他在他的小说《大房子里的小主妇》中谈到一道数学题：有一段钢杆深插在田地中央。杆的顶端系着一条钢索，钢索的另一端系在田地边缘的一部拖拉机上。拖拉机向前驶去，以钢杆为中心在它四周划了一个圆圈。“为了彻底改造这部拖拉机，”格列汉说，“您剩下一件事，就是把它划出的圆形改变成正方形，”“对了，这样的耕作方法用在方块的田地上，会荒掉许多土地的。”“几乎每十英亩要损失三英亩之多。”“不会比这少。” 

       现在我们来计算一下，小说中判断的结果是否正确？
       因为钢索的长度决定了拖拉机离钢杆的最大距离，即决定了圆形田地边级到钢杆的距离及正方形田地顶点到钢杆的距离，所以圆是正方形的外接圆。设正方形的边长了a， 则正方形的面积是 

，它的外接圆的直径（正方形的对角线）是，圆的面积是，故圆形田地剩下的部分应是：

 

　　通过计算可以发现，小说中的判断是基本正确的。

　　对数学颇有研究的杰克·伦敦在他的另一篇小说里又叙述了一道趣题：

　　他乘套了5只狗的雪橇从斯卡洛维伊赶回营地．在途中第一个昼夜，雪橇以全速行驶．如果这样走下去，就能按时到达．但是一昼夜后，有2只狗扯断缰绳逃走了，剩下的路程只好用3只狗来拖雪橇，前进的速度是原来速度的

。因为这个缘故，

　　杰克·伦敦到达营地的时间比预定的时间迟到了2昼夜．杰克·伦敦写道：“逃跑的2只狗如能再拖雪橇走50英里，那么我就能比预定时间只迟到一天．”看完了这段叙述，你能知道从斯卡洛维伊到营地有多少距离吗？

　　该题条件较多，数量关系较为复杂，很多人在解答时抓不住解题关键，所以难以下手。下面给出两种解法：

　　解法1（算术法）

　　“有2只狗扯断了缰绳逃走了，”“到达营地的时间比预定的时间迟到了2昼夜，”“逃跑的2只狗如能再拖雪橇走50英里，那么我就能比预定的时间只迟到一天，”它意味着如果2只狗不逃走，即还是5只狗全速行驶50英里，就比预定的时间迟一天到．还是5只狗全速行驶 50 × 2= 100（英里），就能按时赶到。说明第一天末离营地还有100英里，显然这100英里是由3只狗拉，“速度是原来速度的

”，到了预定的时间当然未到营地，只能走这100英里的为60英里，还剩下40英里未跑完，这剩下的40英里就是多跑2天的原因（迟到了2昼夜），因此3只狗还须两天跑完这40英里，即全速的是每天跑20英里，所以全速的速度为每天跑（英里），显然从斯卡洛维伊到营地第一天跑了英里，加上剩下的100英里共英里。

　　解法二  （代数法）

　　象这类问题中所求的量只有一个，但未知的量却较多，若只设一个未知数，列方程较困难。因此，可以从中选出某几个未知的量设出，即设辅助未知数，然后在解方程（组）中只将所求的量的代数式求出即可。

　　设从斯卡洛维伊到营地x英里，5只狗的全速是v英里/天，预定时间为t天，则走50英里所用时间为

天，依题意可作下面示意图。

 

　　以路程作为等量关系，由示意图得

 

　　即　　 

　　解方程组得     s=

（英里）

　　答：从斯卡洛维伊到营地的距离为

英里。