令人惊奇的无穷，令人赞叹的康托尔

          如果我们问：一到十十个自然数中，偶数奇数哪个多？学过数学的都会肯定的说：一样多。毋庸置疑回答是正确的。但是如果我们接着问“整数与偶数，哪一种数多？”恐怕很多人都会说：“当然整数比偶数多了。”我们的学习经验告诉我们偶数与奇数合起来才是整数，偶数应该是整数的一半。但事实上，这个回答是错误的。
         如果我们问：某个影院里有一百个座位，现在已经有一百位观众坐在里面了。再进去一位观众，他还会有座位么？相信所有的人都会说：没有。这个回答同样是正确的。但如果我们再问：影院里的座位如果是n个呢？相信绝大多数人还是会回答没有，可惜这个回答也是错误的。
         两个看起来类似的问题，为什么前回答就正确后面回答就错误呢？这里面涉及了无穷与有限的问题。举例来说，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：　　
         1．分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。
         2．让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的两人也牵起手来，…，以后的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比另一班人数少。　　
         现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！　　
         1．你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多个，当然我们都不能数出它们的个数。　　
         所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。　　
         现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：
          0，-1，1，-2，2，-3，3，…，-n，n，…。
           然后再把偶数也排成一队：　　
           0，-2，2，-4，4，-6，6，…，-2n，2n，…。　　
           这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来（即对应起来），第一队中的-1与第二队中的-2对应；第一队中的1与第二队中的2对应；……，第一队中的-n与第二队中的-2n对应；第一队中的n与第二队中的2n对应，……你看，这么一个对一个地“牵好手”（即建立起“一一对应关系”之后），我们马上可以发现，第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第二队的每个数都与第一队的某个数对应，两个队伍都没有任何一数剩下来，既然如此，你能说整数比偶数多吗？看来不能。这就是说：整数与偶数同样多！

                                                
          真真是令人匪夷所思，部分竟然等于全体！但这确是事实！“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质对“无穷”未必成立。　由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，因此在十九世纪许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。而当时不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战，他靠着辛勤的汗水，得出了很多令人惊奇的结论。比如
         1、一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，
         2、即正整数等价于有理数（所有正、负整数和分数）集，却小于实数（有理数和无理数）集。
         3、自然数与平方数是一样多的，
         由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。