令人惊奇的无穷,令人赞叹的康托尔

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所属分类:趣味数学
摘要

如果我们问:一到十十个自然数中,偶数奇数哪个多?学过数学的都会肯定的说:一样多。毋庸置疑回答是正确的。但是如果我们接着问“整数与偶数,哪一种数多?”恐怕很多人都会说:“当然整数比偶数多了。”我们的学习经验告诉我们偶数与奇数合起来才是整数,偶数应该是整数的一半。但事实上,这个回答是错误的。
如果我们问:某个影院里有一百个座位,现在已经有一百位观众坐在里面了。再进去一位观众,他还会有座位么?相信所有的人都会说:没有。这个回答同样是正确的。但如果我们再问:影院里的座位如果是n个呢?相信绝大多数人还是会回答没有,可惜这个回答也是错误的。
两个看起来类似的问题,为什么前回答就正确后面回答就错误呢?这里面涉及了无穷与有限的问题。举例来说,我们要比较两个班级的人数的多少,该怎么办呢?通常有两种办法:
1.分别数出这两个班的人数,然后比较两个班人数的多少。
2.让两个班同学分别排成一路纵队,让两班排第一的两人牵起手来,排第二的两人也牵起手来,…,以后的同学依次对应牵起手来。最后,如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手,而另一班还有同学未与某班同学牵手,则某班同学比另一班人数少。
现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧!
1.你能数出整数有多少个?偶数有多少个来吗?由于整数与偶数都有无穷多个,当然我们都不能数出它们的个数。
所以,用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。
现在来考虑第二种办法,我们可以把整数排成一队:
0,-1,1,-2,2,-3,3,…,-n,n,…。
然后再把偶数也排成一队:
0,-2,2,-4,4,-6,6,…,-2n,2n,…。
这样排好之后,所有的整数都排进了第一队中,所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来(即对应起来),第一队中的-1与第二队中的-2对应;第一队中的1与第二队中的2对应;……,第一队中的-n与第二队中的-2n对应;第一队中的n与第二队中的2n对应,……你看,这么一个对一个地“牵好手”(即建立起“一一对应关系”之后),我们马上可以发现,第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应,而第二队的每个数都与第一队的某个数对应,两个队伍都没有任何一数剩下来,既然如此,你能说整数比偶数多吗?看来不能。这就是说:整数与偶数同样多!


真真是令人匪夷所思,部分竟然等于全体!但这确是事实!“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的,许多对“有限”成立的性质对“无穷”未必成立。 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),因此在十九世纪许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。而当时不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战,他靠着辛勤的汗水,得出了很多令人惊奇的结论。比如
1、一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,
2、即正整数等价于有理数(所有正、负整数和分数)集,却小于实数(有理数和无理数)集。
3、自然数与平方数是一样多的,
由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”的观念,而且他在无限王国走得如此远,以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点,惧怕集合论。有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院。1918年1月6日,康托尔在一家精神病院去世。

 

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目前评论:10   其中:访客  10   博主  0

    • avatar 猫哥 5

      数学中是有很多很有趣味的问题,也是难题。

      • avatar 菲萨塔 4

        好东西!要看看!!!!

        • avatar 太阳博客 6

          大师们很容易被人称作是疯子。

          • avatar 星网 2

            我只能无语啦!我想说的答案都是错误的~~5555

            • avatar 疾风 4

              没听过这个人 呵呵~·

              • avatar 七叶草 9

                汗~ 这么有才的人居然被整死了

                • avatar 内大臣 6

                  晕了

                  • avatar 仁心博客 5

                    肯定很好看的吧

                    • avatar 开心凡人 4

                      很深奥,做地板

                      • avatar 真好网 2

                        沙发么?
                        我看完了一遍,其实这个就是有限和无限的比较问题。无限不能用有限的方式来进行比较。