趣味数学-数理逻辑推理

摘要

案例1.

有这样一个故事:在太平洋中有AB两个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的人,

B岛的居民都是骗子。当你问一个问题时,A岛的居民会告诉你正确的答案,而B岛的居民给你的答案都是错误的。一天,一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛,只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。他想问岛上的人这是A岛还是B岛?却又无法判断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了会一儿,终于想出一个办法,他只需要问他所遇到的任意一人一句话,就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗?

如果旅游者直接问这是A岛还是B岛?那么当被问者是A岛人时,他会得到正确的回答;当被问者是B岛人时,他会得到错误的回答。两种回答截然相反,而旅游者又无法知道他得到的答案对不对,因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问话是,你是这个岛的居民吗?如果对方回答,那么这个岛一定是A岛;如果对方回答不是,那么这个岛一定是B岛。你能说出这是为什么吗?

让我们对上面的问题作些讨论。旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛,也不知道被问者是何岛居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因此,所提问题的答案必须是因提问地而异,而不由被问者是A岛居民或是B岛居民发生变化。根据上述特点,我们设法找到这样的问题,使得在A岛提问时,被问者(不论是何岛居民)都回答同样的一种答案;在B岛提问时,被问者都回答另一种答案。

于是,我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。显然,这样的问题必须与提问地相关,并且还要与被问者有关,如果在A岛提出这样的问题时,A岛居民应作肯定回答(B岛居民也会作肯定回答,但这种回答与客观实际相反),那么在B岛提出同一问题时,A岛居民应作否定回答(B岛居民也会做否定回答,但回答与实际情况相反)。你是这个岛的居民吗?这一问题就是一个满足以上要求的问题,我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答。

问题:你是这个岛的居民吗?

问话地

被问者

A岛居民

B岛居民

A

回答

B

不是

不是

 

 

 

 

 

 

 

由上表可以一目了然地发现:在A岛提问时,回答总为;在B岛提问时,回答总为不是。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据,于是问路问题得以解决。

请想一想,如果旅游者的问题为你是相邻的另一岛上的居民吗?,那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗?为什么?试通过列表的方式说明理由。

数学中有个分支叫做数理逻辑,它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻辑中,列表法是一种基本的研究方法,只是其中表的形式与本文中的表有许多不同,使用了一些有关命题、真值的抽象符号,但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的,都是通过列表来分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理,就是合乎事理的、有根有据的推导判断。问路问题中的旅游者正是推理的高手,他所提的问题正是推理的产物。同学们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力,使自己勤于思考并且善于思考,成为聪明人。

 

 

案例2.

一天深夜,某地一栋公寓发生三起刑事案件,一起谋杀案,住在4楼的一名参议员被人杀死``一起盗窃案,住在2楼的一名收藏家的油画被盗了`一起是抢劫案,住在3楼的一名演员的珍贵项链被抢,经过种种搜查`警察逮捕了犯罪ABC 3人(这三起案件都是独自完成的) A说:C是杀人犯,他杀掉议员是为了报仇,我既被逮捕,我当然要编造口供,所以我不是一个十分老实的人,B是抢劫犯,他对名贵的项链很有占有愿望。 B说 :A是著名大盗,我觉得那天晚上盗画的是AA从不讲真话。C是抢劫犯。 C说:盗窃不是B所为,A是杀人犯,我交代那天晚上,我在那里做个案。 3名罪犯,有一个说的是真话,有一个是假话,有一个是半真半假判断 A B C各犯什么罪。(过程写上)

案例3.

3顶黑帽子,2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排,给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色,却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。(所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色,中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色,而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始,问他是不是知道自己戴的帽子颜色,如果他回答说不知道,就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子,那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么?

解答:

最前面的那个人听见后面两个人都说了不知道,他假设自己戴的是白帽子,于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理:假设我戴了白帽子,那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子,但总共只有两顶白帽子,他就应该明白他自己戴的是黑帽子,现在他说不知道,就说明我戴了白帽子这个假定是错的,所以我戴了黑帽子。问题是中间那人也说不知道,所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的,所以他推断出自己戴了黑帽子。

 

()看了这么多的逻辑推理,现在我来给大家讲讲数学发展到现在的一些有趣的故事和问题,让大家放松下.

(1)哥德巴赫猜想

 

    1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信,在信中提出两个问题:第一,是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和?如6=3+314=3+11等。第二,是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和?如9=3+3+315=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题,常被称为数学皇冠上的明珠。

 

实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法,因为每个大于 7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年,苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和,基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了,数学家们开始研究较弱的命题:每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为mn的两个自然数之和,简记为“m+n”。1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”;以后的20几年里,数学家们又陆续证明了“7+7”,“6+6”,“5+5”,“4+4”,“1+c”,其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了“3+4”,随后又证明了“3+3”,“2+3”。60年代前半期,中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”,这一结果被称为“陈氏定理”,至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉,不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位,更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难,不畏艰险,永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!

(2)孪生素数猜想

    1849年,波林那克提出孪生素生猜想(the conjecture of twin primes),即猜测存在无穷多对孪生素数。  

 

  孪生素数即相差2的一对素数。例如35 571113,…,1001695710016959等等都是孪生素数。到1988年为止,人们所知道的最大的孪生素数是 260497545 x 26625?  

    1966年,中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:存在无穷多个素数p,使p+2是不超过两个素数之积。

 

    孪生素数猜想至今仍未解决,但一般人都认为是正确的。

(3)古希腊三大几何问题

 

        传说大约在公元前400年,古希腊的雅典流行疫病,为了消除灾难,人们向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行。人们百思不得其解,不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图,柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。

 

  古希腊三大几何问题既引人入胜,又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单,而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺,而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有:过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发,可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索,数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的,这是数学思想的一大飞跃。

 

  然而,一旦改变了作图的条件,问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度,则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近,中国数学家和一位有志气的中学生,先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题,为尺规作图添了精彩的一笔。

 

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  1. avatar 教学时光 5

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