我国古代的数学

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人们对数的认识经历了漫长的过程。最先只能数一个人、二个人;一只羊、二只羊。有的原始部落不久前还只能数到5,5以上就称为多。当人们用一个数字,比如5,既可以表示5个人,又可以表示5只羊,或别的什么的时候,才初步完成了数的概念的抽象。与此相辅相成,产生了数字符号。《周易·繫辞》云:「上古结绳而治,后世圣人易之以书契。」书契就是在木条上刻痕。云南有的少数民族在50年代还用结绳、书契记数。后来,人们创造了记数的文字。《世本》说:「隶首作数」。相传隶首是黄帝的臣子,是时大约在新石器时代晚期,产生抽象的数的概念、记数文字是可以理解的。公元前三、四千年的西安半坡遗址与公元前二千年的二里头遗址出土的陶器上有 等数字,分别表示1,2,3,4,5,6,7,8,70。

夏、商、西周三代时期,数字符号逐渐规范。公元前14至11世纪的殷墟甲骨文卜辞中有许多数字。其中有13个记数单字,它们是:

其中前4个是象形文字,其他几个多数人认为是假借字,如是午,是入,是切,是分,是肘(一说像蛇形), 是虿 像蝎子。是「一白」,是「一人」。
十,百,千,万的倍数用合文:


分别表示
20,30,40,50,60,70,80,200,300,400,500,600,800,900,2000,3000,4000,5000,8000,30000。
甲骨文用9个数字与4个位置值符号,可以表示大到成万的任何自然数。甲骨文数字是十进位,已有位置值制萌芽。

算筹又称为算、筹、策、算子等,是直到宋、元时期中国人的主要计算工具。然而,算筹产生于何时,无可靠记载。《老子》说:「善数不用筹策。」这说明最晚在春秋末期,算筹就是人们的主要计算工具了。算筹通常用竹,也有用木、骨、石制成的。《汉书·律历志》说:「其算法用竹,径一分,长六寸。」分别合今天0.23厘米与13.8厘米。陕西千阳等地出土的汉代算筹证实了这种记载。为避免滚动与布算面积过大,后来算筹逐渐变短,截面由圆变方。河北石家庄出土的东汉算筹截面已变为方形,长度缩短为8.9厘米。《孙子算经》最先表述了算筹记数制度:「凡算之法,先识其位。一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当。」《夏侯阳算经》又补充道:「满六以上,五在上方,六不积算,五不单张。」这就是说,算筹数字有纵横两式:

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纵式横式 123456789

个、百、万……用纵式,十、千、十万……用横式。因此,用这18个符号,及用空位表示0,可以表示任何一个自然数。比如,1997便表示成。算筹记数完全采用十进位置值制,比古巴比伦的60进位置值制方便,比古希腊、罗马的十进非位置值制先进,是当时世界上最简便的计算工具和最先进的记数制度。用算筹计算,便是筹算。中国传统数学的辉煌成就,大都是借助于筹算取得的。也许是巧合,中国传统数学的衰落与筹算退出历史舞台大体同步。

规是画圆的工具,矩是画方的工具。规、矩创造于什么时候,已不可考。汉代武梁祠壁画有二幅伏羲手执矩、女娲手执规之图。伏羲、女娲是神话中的人类始祖。神话中说他们使用规、矩,说明规、矩的起源非常早。又有说倕为规、矩的。《尸子》卷下云:「古者倕 为规、矩、准绳,使天下仿焉。」至于倕的时代,一说「黄帝时巧人」(《广韵》),一说「尧之巧工」(《吕氏春秋》高诱注)。大禹治水时,「左准绳,右规矩」。黄帝、尧、禹都是氏族社会晚期的部落首领。从出土的新石器时代,如河南渑池仰韶、河南新郑裴李岗、陕西西安半坡、浙江余姚河姆渡等文化的大量陶、骨器具上有许多规则的圆形、方形图案看,当时已有画方、画圆的工具。因此,倕、禹等是使用规、矩的人,未必是其创造者。没有规矩,不能成方圆。「规矩」在中华文明中早已不只是表示画圆、画方的作图工具,而且成为道德规范的术语。

九九表就是九九乘法表,因从「九九八十一」起头而得名。这与元代朱世杰《算学启蒙》从「一一如一」 起头是不同的。九九乘法表诞生于什么时候,亦不可考。《管子》云:「虙戏作,造六峜,以迎阴阳。作九九之数,以合天道。」刘徽《九章算术注》说庖牺「作九九之术,以合六爻之变」。虙  戏、庖牺就是伏羲。伏羲是神话人物,这些记载说明「九九」的起源相当早。《韩诗外传》等典籍记载了一个齐桓公以「九九」招贤的故事。是说桓公设庭燎招贤,一年没人应招。东野鄙人以「九九」求见,桓公使人戏之。鄙人曰:「夫『九九』,薄能耳,而犹礼之,况贤于『九九』者乎!」桓公遂礼之。不到一月,「四方之士相导而至矣」。《管子》等典籍中有大量九九歌诀的片段,《老子》说「善数不用筹策」,都表明在春秋时代,九九乘法表已经是比较普及的知识,而精通数学的人借助九九乘法表的心算能力相当强了。后来,「九九」成为数学的代名词。元代李冶不满于理学家鄙视实学,说:「夫文史尚矣,犹之为不足贵,况九九贱技能乎!」

珠算盘是国人自元、明以后的主要计算工具,延及朝鲜、日本和东南亚,至今在人们生产、生活中发挥着有益的作用。珠算之名最先见之于东汉徐岳的《数术记遗》。那里的算珠上一珠,一珠当五,下四珠,一珠当一,却是游珠,不穿档,且无口诀,实际上不如筹算方便。现在使用的珠算盘,算珠都穿档,由档定位;横梁上二珠,一珠当五,梁下五珠,一珠当一。它产生于何时,学术界尚有争论。有人认为出土过北宋算珠,《清明上河图》中赵家药铺柜枱上有一珠算盘。也有人认为所谓北宋算珠的出土土层有问题,药铺柜枱上是一钱板,而非算盘。无论如何,珠算盘是随着乘除捷算法的成熟而产生的。应该说,到南宋,珠算产生的算法条件已经成熟了。南宋刘胜年绘的《茗园赌市图》、元代王振鹏绘的《乾坤一担图》(1310年)都有珠算盘,算珠、档都清晰可见。珠算盘产生后,与算筹并用了很长的时间。明太祖洪武年间的《魁本对相四言》中既有算盘,也有算子。明中叶以前数学著作也是珠算、筹算并用。大约在明中叶以后,珠算盘完全取代了算筹,完成了计算工具的改革。明代程大位的《算法统宗》(1592年)对珠算的发展和普及发挥了极大的作用。

中国古代没有笔算,筹算中用空位表示零,实际上是一种没有笔画的符号。宋、元数学著作中多有细草。细草中的数字是借用筹算数字加一个表零的符号「○」而成的。13世纪40年代被分裂在中国南北的秦九韶、李冶使用了大体一致的数字。李冶的数字是:

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1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

南方的数字则将4写作,将5写作,将9写作。有些人,甚至某些权威媒体说中国的「○」源于阿拉伯数字「0」。这是望文生义。符号○是中国人独创的。原来,中国古籍的抄写中,有用□表示脱文  的习惯,书写的方便、快捷,逐渐变成了「○」形。《金史》大明历中有「四百○三」等数字。可见,当时「○」已经成了一个中国字。

刘徽说:「物之数量,不可悉全,必以分言之。」于是产生了分数。刘徽将分子与分母看成率关系,与现代数学中关于分数的定义完全一致。分数的表示采用分子在上,分母在下,不过中间没有现在的横线。如表示成。先秦典籍和《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》中大量使用了分数。中国是世界上使用一般分数最早的国家。
在数学史上,小数的使用比分数晚得多,各个民族似乎概莫能外。中国是世界上最先使用分子不为1的分数的国家,也是最先使用小数的国家。公元263年刘徽在开方不尽时用十进小数(微数)表示无理根的近似值,开十进分数之先河。古代用厘、毫、丝、秒、忽表示分以下的奇零部分。赝本《夏侯阳算经》常常以某个单位度量列出一个数值,不再列出它以下的单位。如将绢1525匹3丈7尺5寸化为1525匹9375,实际上是一个十进小数。「匹」起着度量单位与小数点的双重作用。秦九韶、李冶都将1863.2寸表示成,与今天的记法更为接近。杨辉、朱世杰还先后总结了民间的斤两化零歌,即将1至15两化成以斤为单位的十进小数的歌诀。中亚的阿尔·卡西在13世纪才掌握十进分数。欧洲在1585年斯台汶才有了十进小数的概念。记法还远不如唐宋时期的中国。如小数1525.9375被记成 :

1525 hspace="3" width="10" align="textTop" src="http://cn.chiculture.net/0803/html/c41/images/0.gif" alt="我国古代的数学" />9375
1 5 2 5 9 3 7 5

《算数书》中已有负数概念。《九章算术》方程章在用损益术列方程时,以及用直除法消元时经常遇到以大减小的情形,更大量使用了负数。公元263年,刘徽给出了正负数的定义:「今两算得失相反,要令正负以名之。」比如《九章算术》方程章第8问列出的方程相当于三元线性方程组

2 + 5 - 13 = 1000
3 - 9 + 3 = 0
- 5 + 6 + 8 = -600

正负数的加减运算遵从正负术。

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目前评论:9   其中:访客  9   博主  0

    • avatar 第五代 2

      古人在很多方面都比我们现在的人超越了

      • avatar 快快快 9

        哇咔咔

        • avatar 丁香 9

          可惜文明都被清朝给抹杀了

          • avatar TTT 4

            研究这些,太厉害了~Faint

            • avatar 奋飞 9

              呵呵,挺全的啊,

              • avatar 怪鸟 4

                我又长知识了…辛苦了.

                • avatar goldapple 4

                  不愧是老师啊,又开始研究数字了

                  • avatar 志言 5

                    密密麻麻的,太复杂,太深奥

                    • avatar 亦歌 5

                      搞这些研究的人是神啊,太深奥了。呵呵。