科学的每一个进步，都得经过牺牲和付出代价，数学概念的引入发展也同样如此。下面我们来通过零、负数、无理数的由来看看曾经的历史。
        零的由来   大约在公元七世纪，一位罗马学者从印度记数法中发现了"0"这个符号，他十分高兴，逢人就说这是个好办法，并把印度人使用零的方法作了介绍，不久事情被罗马教皇知道了，教皇大发雷霆说，神奇的数是上帝创造的，在上帝造的数中没有"0"这个异物，谁敢将它引进来玷污上帝！於是传旨把这位学者抓了去，对他施行了残酷的刑罚(以刑具夹手指)。直到19世纪用"零"来代表○才十分明确。
       负数的由来   古代数学中，负数是在代数方程的求解过程中产生的。16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数。帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说。帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说（-1）：1=1：（-1），那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？直到1712年，连莱布尼兹也承认这种说法合理。英国数学家瓦里承认负数，同时认为负数小于零而大于无穷大（1655年）。他对此解释到：因为a＞0时，英国著名代数学家德·摩根 在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56+x=2（29+x），并解得x=-2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。
        无理数的故事    公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示．事情的起因是什么呢？毕达哥拉斯学派认为：“万物皆是数”，即“宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述，数学之美在于有理数能解释一切自然现象．然而,事实并非如此,学派中有人问毕达哥拉斯,边长为1的正方形的对角线,能不能用整数和整数之比来表示呢?这个问题引起了学派成员的讨论,有位学生名叫希帕索斯，出于无聊，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是他的老师毕达哥拉斯却非常不高兴，因为毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，无理数的存在会引起信徒们对毕达哥拉斯信念的怀疑，将动摇他和一批领导者在学术界的统治地位．其实，希帕索斯经洞察力获致的成果一定是经过了一段时间的讨论和深思熟虑的，毕达哥拉斯本应接受这新数源．然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证．使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死，希帕索斯为真理而献出了宝贵的生命．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代。