奇妙的“缺8数”

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所属分类:趣味数学
摘要

12345679,被人们称为“缺8数”。 “缺8数”具有许多奇特的性质。它与几组性质相同的数相乘,会产生意想不到的结果一,清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8,却是7。于是有人对他说:“总统先生,你不是挺喜欢7吗?拿出你的计算器,我可以送你清一色的7。”接着,这人就用“缺8数”乘以63,顿时,77

12345679,被人们称为“缺8数”。 “缺8数”具有许多奇特的性质。它与几组性质相同的数相乘,会产生意想不到的结果

一,清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8,却是7。
于是有人对他说:“总统先生,你不是挺喜欢7吗?拿出你的计算器,我可以送你清一色的7。”
接着,这人就用“缺8数”乘以63,顿时,777777777映入了马科斯先生的眼帘。

“缺8数”实际上并非对7情有独钟,它是一碗水端平,对所有的数都一视同仁的:
你只要分别用9的倍数(9,18……直到81)去乘它,则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。

12345679× 9 =111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=444444444
12345679×45=555555555
12345679×54=666666666
12345679×63=777777777
12345679×72=888888888
12345679×81=999999999

二,三位一体

“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣,于是人们继续拿3的倍数与它相乘,发现乘积竟“三位一体”地重复出现。

12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×21=259259259

12345679×30=370370370
12345679×33=407407407
12345679×36=444444444

12345679×42=518518518
12345679×48=592592592
12345679×51=629629629

12345679×57=703703703
12345679×78=962962962
12345679×81=999999999

这里所得的九位数全由“三位一体”的数字组成,非常奇妙!

三,轮流“休息”

当乘数不是3的倍数时,此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象,但仍可看到一种奇异性质:
乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律,它们是按照“均匀分布”出现的。
另外,在乘积中,缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

先看一位数的情形:

12345679×1=12345679(缺0和8)
12345679×2=24691358(缺0和7)
12345679×4=49382716(缺0和5)
12345679×5=61728395(缺0和4)
12345679×7=86419753(缺0和2)
12345679×8=98765432(缺0和1)

上面的乘积中,都不缺数字3,6,9,而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1,且从大到小依次出现。

让我们看一下乘数在区间 [ 10~17 ] 的情况,其中12和15因是3的倍数,予以排除。

12345679×10=123456790(缺8)
12345679×11=135802469(缺7)
12345679×13=160493827(缺5)
12345679×14=172869506(缺4)
12345679×16=197530864(缺2)
12345679×17=209876543(缺1)

以上乘积中仍不缺3,6,9,但再也不缺0了,而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。
乘积中缺什么数,就像工厂或商店中职工“轮休”,人人有份,但也不能多吃多占,真是太有趣了!

乘数在[19~26]及其他区间(区间长度等于7)的情况与此完全类似。

12345679×19=234567901(缺8)
12345679×20=246913580(缺7)
12345679×22=271604938(缺5)
12345679×23=283950617(缺4)
12345679×25=308641975(缺2)
12345679×26=320987654(缺1)

一以贯之 当乘数超过81时,乘积将至少是十位数,但上述的各种现象依然存在。

再看几个例子:

(1)乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997,只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上,仍呈现“清一色”。 又如:

12345679×108=1333333332 (乘积中最左边的一个数1加到最右边的2上,恰好等于3)
12345679×117=1444444443 (乘积中最左边的一个数1加到最右边的3上,恰好等于4)
12345679×171=2111111109 (乘积中最左边的一个数2加最右边的“09”,恰好等于11)

(2)乘数为3的倍数,但不是9的倍数

12345679×84=1037037036,只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上,又可看到“三位一体”现象。

(3)乘数为3k+1或3k+2型

12345679×98=1209876542,表面上看来,乘积中出现雷同的2;
但据上所说,只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后,所得数为209876543,是“缺1”数。
而根据上面的“学说”可知,此时正好轮到1休息,结果与理论完全吻合。

四,走马灯

冬去春来,24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变,表现为周期性的重复。
“缺8数”也有此种性质,但其乘数是相当奇异的。

实际上,当乘数为19时,其乘积将是234567901,像走马灯一样,原先居第二位的数2却成了开路先锋。
深入的研究显示,当乘数成一个公差等于9的算术级数时,出现“走马灯”现象。

现在,我们又把乘数依次换为10,19,28,37,46,55,64,73(它们组成公差为9的等差数列):

12345679×10=123456790
12345679×19=234567901
12345679×28=345679012
12345679×37=456790123
12345679×46=567901234
12345679×55=679012345
12345679×64=790123456
12345679×73=901234567

以上乘积全是“缺8数”!数字1,2,3,4,5,6,7,9像走马灯似的,依次轮流出现在各个数位上。

五,回文结对 携手同行

“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣,人们偶然注意到:

12345679×4=49382716
12345679×5=61728395

前一式的积数颠倒过来读(自右到左),不正好就是后一式的积数吗?
(但有微小的差异,即5代以4,而根据“轮休学说”,这正是题中的应有之义。)

这样的“回文结对,携手并进”现象,对13、14、31、32等各对乘数(每相邻两对乘数的对应公差均等于9)也应如此。

例如:

12345679×13=160493827
12345679×14=172839506

12345679×22=271604938
12345679×23=283950617

12345679×67=827160493
12345679×68=839506172

六,遗传因子

“缺8数”还能“生儿育女”,这些后裔秉承其“遗传因子”,完全承袭上面的这些特征。
所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如,506172839是“缺8数”与41的乘积,所以它是一个衍生物。
我们看到,506172839×3=1518518517。

将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后,得到8。 如前所述,“三位一体”模式又来到我们面前。

“缺8数”还有更加神奇壮观的回文现象。

我们继续做乘法:

12345679×9=111111111
12345679×99=1222222221
12345679×999=12333333321
12345679×9999=123444444321
12345679×99999=1234555554321
12345679×999999=12345666654321
12345679×9999999=123456777654321
12345679×99999999=1234567887654321
12345679×999999999=12345678987654321

奇迹出现了!等号右边全是回文数(从左读到右或从右读到左,同一个数)。
而且,这些回文数全是“阶梯式”上升和下降,神奇、优美、有趣!

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目前评论:5   其中:访客  5   博主  0

    • avatar 志言 5

      这就是数学美

      • avatar 内大臣 6

        数学这东西,我看到了现象,却没看到本质。现象很神奇,本质很简单,可惜我还是看不明白

        • avatar 仁心博客 5

          真是奇怪啊

          • avatar 左岸读书 5

            这就是数学之美!

            • avatar ooaixt 3

              有点意思~~~