我们知道，三角形的内角可能是锐角，直角和钝角。锐角是小于90°的角，直角就是90°的角，而钝角则是大于90°小于180°的角。很显然，一个角如果是直角那它一定不是钝角，但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明，好奇的读者就先往下看吧。
设ABCD为任意矩形，在矩形之外作与BC等长的线段BE，因而它也等于AD。
∠DAG=∠EBA
也就是一个直角等于一个钝角。
众所周知，直角不可能等于钝角，但证明又错在什么地方呢？细心一点的读者会看出矩形ABCD中∠ABC并不是直角，而比直角稍小一点。实际上，如果我们画图准确一些的话，会发现PE根本不会通过矩形ABCD内部，问题就出在这里，看来，真是差之毫厘，谬以千里！因此，同学们不可小瞧了准确的作图，不准确的作图有时导致了可笑的谬论。
在一个盒子里，装着黑白两种围棋棋子，哪种颜色的棋子更多一些呢？有人说，数一数不就完了吗？不错，分别数出两种颜色棋子的数目，然后比较数字大小，这是一种办法；还有一种更简单的方法，那就是对应，每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子，放到另一个盒子里，一直取下去，最后剩下哪种棋子，就判定这种颜色的棋子多，如果刚好数完，就说明两种颜色的棋子一样多．
前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形，若盒子里的棋子数是无限的．那么，至少有一种颜色的棋子数是无限的．这样，我们就无法确切数出这样颜色的棋子数，因而前一种方法在这儿行不通．后一种方法适用吗？如果若干次之后，只剩下某种颜色的棋子，说明这种棋子多，并且是无数多个，如果每拿出一个黑的，总能拿出一个白的，并且每拿出一个白的，也能拿出一个黑的，那么就说明棋子数一样多了，并且都是无数多个．
整体大于部分，这是一条古老而令人感到无可置疑的真理．哲学是如此，事物内部总是存在千丝万缕的联系，为了精确地分析万物的本质，我们通通先割裂它们．分别对事物的各个部分进行考察，但整体大于部分，它甚至大于各部分之和．从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗？17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了．
伽利略在《对话》中有这样的注解："平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关体大于部分，它甚至大于各部分之和．从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗？17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了．
伽利略在《对话》中有这样的注解："平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关系，伽利略的注解认为，它们的个数是一样多的，不妨用对应的思想来解释一下：
…1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n …
…1 4 9 16 25 36 49 64 81… n2 …
每一个自然数，总能找到一个平方数与之对应，相反，每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应，那么这两个数的集合是一一对应的，也就是说自然数和平方数的个数是一样多的．
像这样的情形还有许多，整数和偶数是一样多的，整数与奇数也是一样多的，只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系，那么它们含有同样多的元素．
在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论．它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一．它告诫人们：不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去．
大象和蚊子哪个重？当然是大象重，这还用说吗？不过在计算过程中有时会得出令人莫名其妙的结果，不信你就自己做做下面这道题。
设大象体重为x千克，蚊子体重为y千克，平均体重为A千克。据此可列出等式
x+y=2A …………………（1）
等式可以变形，因此
（2）×（3）又可得
x2-2Ax= -2A+y2 ………………（4）
等式两边加A2，又可得
x2–2Ax+A2= y2–2Ay+A2
即：（x–A）2=（y–A）2………………（5）
（5）式两边开平方得
x–A = y–A …………………………（6）
∴x=y
这样我们就证明了大象和蚊子的体重一样。这个结论肯定是错误的。错在哪里呢？这就引导人们思考，结果终于发现错误出现在第（5）到第（6）步的推论。在这一过程中需要加注条件。
因为某数开平方时会出现正负根，即：
又因为y<A<x
因而得y-A<0
于是有
所以（5）式到（6）式开平方后，应为
x-A=A-y而不是 x-A=y-A
如果我们在开平方时不对可能出现的各种情况加以说明，就会导致悖论的出现。实际上，在数学发展过程中，下百在许多地方不断地发现和弥补悖论所显示出来的裂缝，才使数学大厦越来越坚固稳定。悖论的出现并不可怕，从某种意义上说，它是推动数学进步发展的动力。
萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．
因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．
这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论──罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．
强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．"
强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了．
这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾．
像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？
德国数学家克莱因在他的名著《以高等数学观点看初等数学》里提了一个后来常为人传诵的命题：任何三角形皆等腰！证明过程如下：
设△ABC为任意三角形，作∠C的平分线和AB边的垂直平分线，设两线交点为E。从E作AC和BC的垂线EF和EG，并且连EA和EB。
同时，直角三角形EFA和EGB是全等的，因为一个三角形的直角边FE等于另一个的直角边EG（角C的平分线与该角的两边等距离），并且因为一个三角形的斜边EA等于另一个三角形的斜边EB（线段AB的垂直平分线上的任一点E与那个线段的两个端点等距）。所以FA=GB。
由上面两条得出：
CF+FA=CG+GB（等量加等量）
即 CA=CB
也就是说，这个三角形是等腰的，这个结论肯定是错的，我们知道，边长为３、４、５的三角形是存在的。然而，问题出在哪呢？推理过程似乎没有问题。噢，原来只要你画一幅精确的图，便知分晓,E点的位置一般来说总是在△ABC的外面而不是在它的里面。可见，正确作图可以帮助我们理解许多问题，几何直观不一定可靠。
公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的
公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家．
说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾．
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