有趣的数学定理

摘要

 酒鬼总能找到家  定理:喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟却可能永远也回不了家。  如果一个酒鬼在街道上随机游走,假设整个城市的街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一条路

 酒鬼总能找到家

定理:喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟却可能永远也回不了家。

如果一个酒鬼在街道上随机游走,假设整个城市的街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一条路(包括自己来时的那条路)继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是100%。

醉酒的小鸟就没这么幸运了。假如小鸟飞行时,每次都从上、下、左、右、前、后概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远也回不到出发点。也就是说,在三维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率只有大约34%。

这个定理是著名数学家波利亚在1921年证明的。随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率是19.3%,而在八维空间中,这个概率只有7.3%。

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定理:把一张地图平铺在地上,总能在地图上找到一点,这个点下面的地方正好就是它在地图上所表示的位置。

1912年,荷兰数学家布劳威尔证明了这样一个定理:假设D是某个圆盘中的点集,f是一个从D到它自身的连续函数,则一定有一个点x,使f(x)=x。换句话说,让一个圆盘里的所有点做连续的运动,则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理。

这个定理也可以扩展到三维空间中去:当你搅拌完咖啡后,一定能在咖啡中找到一个点,它在搅拌前后的位置相同,虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方。

不能抚平的毛球

定理:你永远不能理顺椰子上的毛。

想象一个表面长满毛的球体,你能把所有的毛全部梳平,不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗?拓扑学告诉你,这是办不到的。

这就是毛球定理,也是由布劳威尔首先证明的。用数学语言来说就是,在一个球体表面,不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间:对于任意一个偶数维的球面,连续的单位向量场都是不存在的。

毛球定理在气象学上有一个有趣的应用:由于地球表面的风速和风向都是连续的,因此地球上总会有一个风速为0的地方,也就是说气旋和风眼是不可避免的。

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