1、(湖北八校联考)若函数\(f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x\)在区间\((a,10-{{a}^{2}})\)上有最小值,则实数a的取值范围。
解析:\({f}'(x)={{x}^{2}}-1\),函数\(f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x\)在\((a,10-{{a}^{2}})\)上有最小值,则须满足
\(1\in (a,10-{{a}^{2}})\Rightarrow -3 \(a\prec 10-{{a}^{2}}\Rightarrow \frac{-1-\sqrt{41}}{2} \(f(a)\ge f(1)\Rightarrow -2\le a\le 1\)
所以\(-2\le a\prec 1\)
点拨提醒:本题极易忽略\(f(a)\ge f(1)\Rightarrow -2\le a\le 1\),造成错解。解题时最好辅助以\(f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x\)图像。
2、已知函数\(f(x)=\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}(a\ne 1).\)
(1)若a>0,则\(f(x)\)的定义域是 ;
(2) 若\(f(x)\)在区间\(\left( 0,1 \right)\)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
解析:(1)当a>0时,由\(3-ax\ge 0\)得\(x\le \frac{3}{a}\),所以\(f(x)\)的定义域是\(\left( -\infty ,\frac{3}{a} \right)\);
(2)\({f}'(x)=\frac{a}{2(1-a)\sqrt{3-ax}}\le 0\)在\(\left( 0,1 \right)\)上恒成立 \(3-ax>0\frac{a}{2(1-a)}\le 0\)
因为a=0时,\(f(x)\)为常数函 数,所以a的范围是\(\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 1,3 \right)\).
点拨提醒:本题在解决极易忽略因为a=0时,\(f(x)\)为常数函 数这种情况造成错解。需要提醒大家的是\({f}'(x)\le 0\)是体现\(f(x)\)单调递减的充分条件但不是必要条件。