对0的拒绝认识利用

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一、0的显然的作用

如在2009或9020这类数字中,零是用来表示空置数位的符号,这是零的功能。如果没有零这个数字,我们就无法区分这两个数字与29和92。在一个位值数字系统中,“2”的意义取决于它所在的位置;在约这个数中,2代表两个十;而在2009这个数中,2代表两个千。

二、为什么人们会拒绝0

首先人们很难想象零肘尺(古代长度单位,指的是从肘至中指指端)或零头绵羊,其次古埃及或古罗马一类不使用位值系统的文化中不需要对应于空位的符号。人们可以很容易地区分罗马数字WⅨ(2009)和XⅪX(29)。

三、空数位的表示

巴比伦人使用了一种位值数字彩但在许多个世纪中,他们也没有想到要用一个记号来表示空数位表面上看,2009和29之间的含混之处似乎没有造成他们的麻烦,或许这是因为人们通常可以从前后关系中明显地看出究竟应该是哪一个数字。同样的情况即使在今天也会发生。如果有人告诉你你今年是哪一年,你会觉得自己将听到一个类似2009的数字;如果他们说的是自己的年龄,29就更合理一些了。只是在大约公元前400年,也就是独立存在的巴比伦行将作古的时候(此时已经是人们开始使用楔形数字彩统之后大约1500年了),书吏们确实开始使用两个垂直的楔形(ΛΛ)来表示一个空数位。这是历史上第一次出现的表示零的符号,但很显然,巴比伦人只是把它作为占据数位的符号,其本身并非数字。

四、真正的0的出现

零的概念出现在印度,即把它作为实际存在的实体对待,例如等式1—1:0中所隐含的意义。这一概念于公元628年,在婆罗摩笈多所著的一本题为《经过更正的梵天B的论述》白书中第一次出现。婆罗摩笈多清楚地理解了零的本质。他这样写道:“两个正数的和是正数,两个负数的和是负数;一个正数和一个负数的和是它们的差;如果这个正数与这个负数(绝对值)相等则和为零。”因此,零是通过两个数量相等(绝对值相等的正数与负数相加得来,例如1+(-1)。这就是现代理念1—1的意义。婆罗摩笈多还进一步写道,任何数加零都不改变它的符号,0+0=0,任何数乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除数会有什么结果。他曾多次重复:“一个负数或正数可以被零整除,则零为其因数。”而且他还错误地认为“零除以零得零”。

五、数学家拒绝负数

值得注意的是,在婆罗摩笈多的著作中,零是与负数一起出现的。的确,想象负数肘尺和负数只绵羊更为困难,或许可以用这一点解释人们对零的抗拒,在·婆罗摩笈多之后的许多个世纪中,数学家们还继续避免在他们的公式中使用负数。例如,求解二次方程与三次方程的过程就是因为数学家们避免使用负数而被弄得过分复杂了他们理解到需要用几种不同的方法求解,而我们今天已经把这些方法归结为单一的公式;

六、0对数学发展的作用

零的存在让数学家有了同样的灵活性。根据问题的需要,人们可以把X表达为X+0也可以由此出发将其改写为X+1·或其他多种方式。数学家在19世纪和20世纪发现了许多正数和实数之外的有用的代数结构,发现了许多普通的加法和乘法之外的有用的运算方式例如计算机使用模运算,密码学家使用椭圆曲线上的乘法运算,量子物理学家在希尔伯特空间内运算矢量加法与乘法。所有这些运算都是“加”与“乘”这两种基本概念的变种,他们共同特点是:大家都有一个单位元素。

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