幻方

  多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣.从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系.在古代亚洲的城市,人们在考古挖掘中发现了它们.有关幻方的最早记录,是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”.传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的.

 

  黑色的结表示偶数,白色的结表示奇数.在这个幻方里它的变幻常数(即任何一行、一列、或对角线上数字的和)15

  在西方世界最早提到幻方的是公元130年伊士麦(现称士麦那,土耳其西部的一个港口城市——译者)的勒恩的著作.公元9世纪,幻方在占星学领域逐渐蔓延,阿拉伯占星家用它们来占星和算命.最后,大约公元1300年,通过希腊数学家莫斯切普罗的著作,幻方及其性质被传播到西半球(特别在文艺复兴时期)

  幻方的一些性质:

  幻方的阶数是由幻方的行或列的数目来规定的.例如右图的幻方阶数为3,因为它有3行.

 

  幻方的“幻”在于它具有令人迷惑的性质.其中一些性质如下:

  1)每行、每列及对角线上数的和为同一个数,这个数即变幻常数,能够通过以下方法之一获得:

  23,…,n2构成的.

 

  b)取任意大小的幻方并从左上角开始,沿着每一行依次写下连续的数.则每条对角线上数的和即为变幻常数.

  2)任意两个与中心等距离的数(在同一行,同一列,或同一条对角线)互补.一个幻方的数互补是指它们的和是同样的,而且都等于该幻方最大数与最小数的和.

 

  把已有的幻方变换为另一个幻方的方法:

  3)把一个幻方的每一个数同时加上或乘以任一确定的数,所得的依然是一个幻方.

  4)如果把与中心等距离的两行及两列交换,所得结果还是幻方.

  5)a)在一个偶数阶幻方里交换两个象限,所得结果仍为幻方.

  b)在一个奇数阶的幻方里交换适当的象限和行,所得结果仍为幻方.

 

  关于幻方的论述比其他娱乐数学的课题都要多.B·富兰克林(Benjamin Franklin)花了很多时间用在设计幻方上.构造5阶幻方具有相当的挑战性(即用头25个自然数组成5×5方阵,使得每行、每列和每条对角线上数的和是同样的).行数和列数为奇数的幻方称奇数阶幻方;如果行数和列数是偶数则为偶数阶幻方.偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍在探求.但另一方面,却已有不少的方法可以构造任意大小的奇数阶幻方.其中劳伯尔(La Loubere)发明的楼梯法,在幻方热心者中最为知名.上图说明了如何用这种方法构造一个3×3幻方.

  楼梯法:

  1)从位于顶行中央的小方格的数字1开始.

  2s)下一个数放在位于右上对角的小方格里,除非该格已被占据.如果下一个数落在幻方所在框架外头想象的小方格里,那就必须在你的幻方中找出安放它的位置,这个位置在你的幻方中与想象的方格处于对等的部位.

  3)如果你的幻方中,原拟放下一个数(右上角)的小格已被占据,则可以直接将此数写在原数下面的小格内.例如图示中的数47

  4)继续(2)(3)的步骤,直到幻方剩下的数都各得其所.

  现在我们尝试用楼梯法来构造5×5幻方(用头25个自然数).检验一下方法中那些使得幻方改变的环节,看看它们是怎样运作的.

楼梯法

(对于3×3幻方)

 

 

  用你所构造的任何一个幻方,将它的每一个数都乘一个你所选择的常数,所得的结果仍是幻方吗?

  对于偶数阶幻方而言,有许多方法是为特殊的偶数而设计的.

  例如:对角线方法只用于4×4幻方.

 

  作法:

  由自然方阵(一个按行依次写下连续数的方阵)开始.如果某数位于对角线上,则必须与它的互补数交换位置.

  用一个4×4的幻方,通过适当的行或者列的交换,使得结果仍是幻方.如果适当交换象限,结果也还会是幻方.

  如果你能设计出构造其他偶数阶幻方的方法,那么或许你也能发现对所有偶数阶幻方都适用的一般性方法.同样你也有望找到或设计出构造任意奇数阶幻方的其他方法.