在小的地方寻找无穷

  你能想象什么是无穷吗?

  无穷是一个永远没有终结的数量.无穷的概念是难于掌握的.

  我们很容易掌握数7,因为它能描述 7个苹果;我们也容易掌握十亿(写为 1000 000 000),因为它能描述一罐沙粒的数.但无穷的数量是没有穷尽的.有一种非常精确的方法可以使人感觉到无穷:取一面镜子放在另一个大一点镜子的前面.那么会发生什么事呢?你能看到一面镜子里有一面镜子,里面又有一面镜子,又有一面镜子,…永无终结.

 

  有人可能会想,一个无穷的数量必然会占据很大的空间.这也未必,比如在一个小小的线段AB上,AB之间就有无穷数量的点.

  今证如下:

  我们应用这样的概念,即任意两点之间必能找到另一个点.于是,如果点A和点B位于一条线段上,那么它们之间必能找到点C.而在AC之间又能找到另外的点,同样在CB之间也能找到另外的点.这种在任意两点之间找另外点的过程可以永远继续下去,这样在线段AB上便有无穷数量的点.

  另一种描述无穷数量的方法是用类似于“跳蚤的故事”所用的方法.

  一只叫“一半”的跳蚤想跳过房间.他的朋友告诉他,他不可能到  

直继续下去.尽管他已非常接近房间的另一边,但他仍须遵循以下的规 

 

  然而,虽说无穷是一个永无终结的数量,它不可能等同于一个数,但我们发现,它既适于一个非常小的空间,也适于一个非常大的空间.