芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

 

  悖论是有趣的,而且是数学的一个非常重要的部分.它突出地表明,在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要.在数学中,我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面,例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象.概括无疑是重要的,但它也可能导致危险.我们务必谨慎从事.一些悖论就说明了这种危险的存在.

 

  公元前5世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始.假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍.当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米.当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟依然前于他10米.

  芝诺辩解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但他决不可能追上它.那么芝诺的理由正确吗?如果阿基里斯追上了乌龟,那么他是在赛程的哪一点追上呢?

  (见附录“阿基里斯与乌龟”的解答)

  欧布利德悖论与芝诺悖论

  希腊哲学家欧布利德断言,一个人绝不可能有一堆沙.他的见解是:一粒沙不能构成一堆沙,如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆.如果你没有一堆沙,那么即使给你加上一粒沙,也同样没有一堆,从而你永远不会有一堆沙.

  依着同样的思路,芝诺把眼光瞄在线段上.他断言,如果点是没有大小的,那么加上另一个点依然不会有大小.这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体,因为这些物体是由点结合而成的.接着他进一步推断说,如果一个点有大小,那么一条线段就必然有无限的长度,因为它是由无穷数量的点所构成.