周长、面积和无穷数列

 

  下图描画了无穷多个的三角形,其中每一个三角形都是由外接于它的三角形边的中点所构成.为了确定这些三角形周长的总和,我们先观察以下数列:

  

 

  上面这些分数的和,可以通过观察如下这条标有数的线段而确定.

  我们注意到,该数列每增添一个后继的分数,都使它们的和越来越接近于1,然而决不会超过1.于是我们可以得出这样的结论,这个数列以1作为它的和.

  现在你可能很想知道,这些信息将怎样帮助我们确定前面所讲的三角形周长的和.首先让我们依次列出这些三角形的每一个的周长:

  

  将这一数列的和,即所要确定的三角形周长的和

  

  化简得:

    

  现在用1替代括号内数列和的值得:

45+15×1451560

  此即所求的周长和.

  确定前面那些三角形的面积和则是另一种挑战.你能对这一新的无穷数列的和作一番探索吗?