超限数

  你说在下面的集合里各有多少个元素呢?

  abc|?

  

  {    }

  如果你的回答是350,那么实际上你所给出的就是这些集合的基数.

  现在请问在以下集合里有多少个元素:

{12345,…}?

  如果你回答是一个无限的量,那么你的答案是不够明确的,因为存在着各种各样的无限的集合.事实上,上述无限集合的基数是被称为超限数的第一个数.

  正如名称所暗示的那样,超限数(超越有限)是描述无限数量的一种“数”,它可以充分地描述一个无限集合.两个集合如果它们元素之间能够配成一一对应,不多也不少,那么我们就说这两个集合具有同样的基数.

  例如:

  {abcd }

  ||||

  {1234}

  有基数4,也就是在每个集合中含有4个元素.

   集合A={12345,…,n,…}

   |||||

  集合B=1222324252,…,n2,…}

  集合A和集合B有同样的基数,因为两个集合的元素之间能够如图所示形成一一对应.这里似乎出现一种自相矛盾的情形,集合A中显然含有非完全平方数,但它在配成一一对应的过程中却没有元素留下来.

  19世纪德国数学家康托(George Cantor18451918)创造了一种适用于无限集的新数体系,从而解决了上述悖论.他采用了符号N(读阿列夫——希伯来字母表的第一个字母)作为无限集中元素的“数”.特别地,N0是其中最小的超限基数.

  以下集合中元素的数目可表为N0(阿列夫——零)

  自然数集 =12345,…,n,…}

  非负整数集=012345,…,n1,…}

  正整数集 ={+1,+2,+3,+4,+5,…,n,…}

  负整数集 ={-1,-2,-3,-4,-5,…,-n,…}

  整数集 ={…,-3,-2,-10123,…}

  有理数集.

  (以上n代表整数)

  所有上述集合都可以与自然数集配成一一对应,从而都具有基数N0

  下例显示了自然数集与非负整数集之间的一一对应的方法:

  12345,…,n,…}自然数集

   |||||

  01234,…,n1,…}非负整数集

  自然数与正有理数之间的对应如下:

  123456789,…}

  |||||||||

  

  下表显示了在前面集合中有理数的位置顺序:

 

  康托还发展了一种完整的超限数算术体系:

 

  他还证明了