概率与帕斯卡三角形

  以下由六角砖构成的三角形,有一种独特的产生帕斯卡三角形的方式.球从顶部的贮罐下落,并通过六角形的障碍物抵达下方而收集起来.对于每个六角形,球向左或向右滚落有着相同的机会.如图所示,球滚落的机会是按帕斯卡三角形的数分配的.在底部收集到的球会呈示一种钟形的正态分布曲线.这种曲线可以用于诸如保险公司的比率设置,分子行为的科学研究,以及人口分布的宏观探索,等等.

 

  拉普拉斯(Pierre Simon Laplace17491827)把概率定义为:一个事件的发生数与该事件所有可能的总数的比.因此,当我们掷一枚硬币的时候,得到正面的概率为:

 

  帕斯卡三角形可以用来计算不同的组合数和所有可能组合的总数.例如,在空中投掷四枚硬币,正反面可能的组合如下:

  4个正面——正正正正=1

  3个正面与1个反面——正正正反、正正反正、正反正正、反正正正=4

  2个正面与2个反面——正正反反、正反正反、反正正反、正反反正、反正反正、反反正正=6

  1个正面与3个反面——正反反反、反正反反、反反正反、反反反正=4

  4个反面——反反反反=1

  在帕斯卡三角形中,从顶上往下数第四行所指的正是这些可能的结果——14641.这些数的和即表示可能结果的总数=14641=16.于是,掷出31反的概率便是:

 

  对于更大的组合,就帕斯卡三角形而言,只是一种乏味的延伸,但它却能应用于牛顿二项展开式.帕斯卡三角形包含了二项展开式(ab)n的系数.例如,要找出(ab)3的系数,只要看帕斯卡三角形从顶行起的第3(顶行作为零行,即(ab)01).在该行人们可以找到1331,它正是我们要找的系数:

  (ab)31a33a2b3ab21b3

  一般的n次二项展开式可用帕斯卡三角形的第n行.

  二项展开式

  

  r项系数为:

 

  n个物体中一次取出r个的组合数是:

 

  10件物体一次取3个的组合数为

  

   

  也就是说,10件物体每次取3个有120种可能的组合,这可与帕斯卡三角形的第10行加以比较核实.