多少只动物


  这是久违的奎贝尔教授.奎贝尔教授:"我又为你们想出一个问题.在我饲养的动物中,除了两只以外所有的动物都是狗,除了两只以外,所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉,我总共养了多少只动物?你想出来了吗?
  奎贝尔教授只养了三只动物:一只狗,一只猫和一只鹦鹉.除了两只以外所有的都是狗,除了两只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉.
  如果你领悟到"所有"这个词可以指仅仅一只动物的话,头脑中就有了这个问题的答案.最简单的情况--- 一只狗,一只猫,一只鹦鹉---既是其解.然而,把这个问题用代数形式来表示也是一次很好的练习.
  令x,y,z分别为狗,猫,鹦鹉的只数,n 为动物的总数,我们可以写出下列四个联立方程:
                                  n=x+2
                                  n=y+2
                                  n=z+2
                                  n=x+y+z
  解此联立方程有许多标准方法.显然,根据前三个方程式,可得出x=y=z.由于3n=x+y+z+6减去第四个方程,得到 n=3,因此x+2=3,所以x=1.全部答案可由x值求得.
  由于动物只数通常是正整数(谁养的猫是用分数来表示只数的?),可以把奎贝尔教授的动物问题看作所谓刁番图问题的一个平凡例子.这是一个其方程解必须是整数的代数问题.一个刁番图方程有时无解,有时只有一个解,有时有不止一个或个数有限的解,有时有无穷多个解.下面是一个难度稍大的刁番图问题,同样也与联立方程和三种不同的动物有关.
  一头母牛价格10元钱,一头猪价格3元钱,一头羊价格0.5元钱.一个农夫买了一百头牲口,每种至少买了一头,总共花了100元钱,问每种牲口买了多少头?
  令x为母牛的头数,y为猪的头数,z为羊的头数,可以写下如下两个方程式:
                        10x+3y+z/2=100
                        x+y+z=100
  把第一个方程中的各项都乘以2消去分数,再与第二个方程相减以便消去z,这样得到下列方程式:
                        19x+5y=100
  x和y可能有那些整数值?一种解法是把系数最小的项放到方程的左边:5y=100-19x,把两边都除以5得到:
                        y=(100-19x)/5
  再把100和19x除以5,将余数(如果有的话)和除数5写成分数的形式,结果为:
                        y=20-3x-4x/5
  显然,表达式4x/5必须是整数,亦即x必须是5的倍数.5的最小倍数既是其自身,由此得出y的值为1,将x,y的值带入任何一个原方程,可得z等于94.如果x为任何比5更大的5的倍数,则y变为负数.所以,此题仅有一个解:5头母牛,一头猪和94头羊.你只要把这个问题中牲口的价钱改变一下,便可以学到许多初等刁番图分析的知识.例如,设母牛价钱为4元钱,猪的价钱为2元钱,羊的价钱为三分之一元钱,一个农夫准备花一百元钱买一百头牲口,并且每种牲口至少买一头,试问他每种牲口可以买多少头?关于这一问题,恰好有三种解.但是如果母牛价钱为5元钱,猪的价钱为2元钱,羊0.5元钱呢?那就无解.
  刁番图分析是数论的一大分支,其实际应用范围极广.有一个著名的刁番图问题,以费马最后定理而著称:设有方程xn+yn=zn,其中n是大于2的正整数,问此方程是否有整数解(如果n=2,则称此为毕达格拉斯三元数组,具有自32+42=52起始的无穷多组解)?这是一个最著名的数论问题,已经由英国数学家安德鲁.威尔斯解决,他用于解决此问题的方法可以说是大大出乎人们的意料,他应用了一种叫做椭圆函数的理论,实际上,他证明的并不是方程本身,而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想: 谷山-志村猜想.由于椭圆函数的模形式与费马最后定理同构,所以,等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题.