巧分乳酪


  乔记餐馆虽说吃食不算最好,但却以美味乳酪而远近闻名。块块乳酪状如圆盘,绕有风趣。一刀下去,就把一块乳酪一切为二。连切两刀,不难将其分成四块,三刀则切成六块。一天,女招待罗西请乔把乳酪切成八块。乔:“好,罗西。很简单,我只要这样切四刀就成了。罗西把切好的乳酪往桌子上送时,忽然悟到乔只需要切三刀便可以把乳酪分成八块。罗西想出了什么妙主意?
  罗西豁然开朗,悟到圆柱形乳酪是一个立体图形,可以在中线处横截一刀将其一切为二。如果允许移动切开的部分,那么连切三刀也行。可以把第一次切开的两块迭放在一起,切第二刀成四块,再把四块跌放在一起,最后一刀切成八块。罗西的解法是如此简单,几乎可以说是平凡的。然而它给人以明确的启示:对于有意义的切分问题,可以用有限差分演算进行研究并用数学归纳法加以证明。有限差分演算是发现数字序列普通项公式的有力工具。今天,数字序列日益引起人们的兴趣,因为它具有极其广泛的实际应用范围,还因为计算机能够以极快的速度执行序列的运算。
  罗西第一次切乳酪的方法是在乳酪顶面的若干中线同时切数刀。乳酪具有如同薄饼那样平坦的顶面。让我们来观察一下,根据在一张薄饼上切数刀的过程,能够生成一些什么数字序列。假如沿着薄饼若干中线同时切数刀,显然,同时切 n 刀至多可以切出2n块。
  若在其边沿为一条简单闭合曲线的任意平面上同时切下 n 刀,这种方法所切成的块数,是否最多也是 2n块呢?否。可以随意画出许多既非凸面,并且形状各异的平面,即使一刀也可切成你所希望的块数。能否画出一种图形,仅切一刀便可以切出任何有限数目的全等的块?若能办到,这种图形的周长应具有什么特性,才能确保只需要一刀便可以切成全等的 n 块?若不同时进行切分,薄饼的切分将更为有趣。你很快会发现:仅当 n〉=3 时,切 n 刀方可切成不止 2n 块。

  这里,我们并不考虑所切成的块是否全等或面积相同。当 n=1,2,3,4。。。时,可以切成的最多块数分别是2,4,7,11。这一大家所熟悉的序列是根据下列公式求得的:
                           1+n(n+1)/2
  其中,n 是所切的刀数。此序列的前10项(n 自0开始)是1,2,4,7,11,16,22,29,37,46。。。
  请注意,第一行差分是1,2,3,4,5,6,7,8,9。。。第二行差分是1,1,1,1,1,1,1,1,1,。。。
这强烈地暗示着此序列的普通项是一个二次项。
  为什么说“强烈暗示”呢?因为虽然可以用有限差分演算找到一个公式,但是并不能保证该公式对于无限序列也成立。这一点尚需证明。在薄饼公式这一例子中,不难通过数学归纳法做出一个简单的证明。
  从这点出发,你可以发现大量的引人入胜的研究方向,其中有许多将导致非同寻常的数字序列,公式以及数学归纳法证明。这里有一些问题可供你作为初步尝试。采用下列各种方法,最多可以切成几块?
  1。在马蹄形的薄饼上切 n 刀。
  2。在球形或罗西所切的那种圆柱形乳酪上切 n 刀。
  3。用切小圆甜饼的刀在薄饼上切 n 刀。
  4。在状如烛环状(即中心有一个圆孔)的薄饼上切 n 刀。
  5。在油炸圈(圆环)上切 n 刀。
  关于以上这些问题,假设切分是同时进行的,若改成连切方式,并且允许重新安排切开的部分,其答案如何变化?