数学趣谈

分形时间

我们常常会想,无生命的东西是固定不动的,然而像风、海浪、河流甚至于玻璃、岩石、塑胶等等都会有一定的运动。事实上,任何物质都在动,只是有些运动是发生在分子级的水平上,我们看不见或无法直接测量到而已。此外,物体的合成也将引起运动(它们的分子自身的运动或再结合),尤其当它们处于外部的强制之下时(例如压力、温度、电场或磁场等)。今天在工业上研究这类变化非常重要,因为生产出的物品,如塑胶、玻璃、橡皮、生丝等等,有关变化对物品的有效期举足轻重。

  在晶体物质中,变化以指数的比率进行。类似地,对于放射性物质,在某一定的时间间隔里以一半的速度衰减。非晶体物质(无定形物质)的分子的变化或移动,则贯穿整个的变化时间,有些是以秒计,而另一些则以年计。这些非晶体物质的重组现象,能够用术语"分形时间"加以描述。"分形时间"是基于与分形同样的思想。一个几何分形细微部分的放大,即为其大形状的复制。观察这种形式复制的时间,一个物质分子从重组到出现差异的时间间隔,类似于分形复制过程的步骤,从而时间也类似地依赖于该物质在上述步骤中存在的景象。这样,分形的数学在研究物质变化的过程中便担负了重要的角色,而有关的发现和成果,也将用于工业上,以改进产品的有效期。

 

  "分形时间"是基于与分形同样的思想。一个几何分形细微部分的放大,即为其大形状的复制。观察这种形式复制的时间,一个物质分子从重组到出现差异的时间间隔,类似于分形复制过程的步骤,从而时间也类似地依赖于该物质在上述步骤中存在的景象。

  1=2的证明

推理的艺术触及到我们生活的方方面面,比如决定吃什么,用一张什么样的地图,买一件什么样的礼物,或者证明一个几何定理,等等。有关推理的种种技巧,都演入了问题的解决之中。在推理中一个小小的毛病都可能导致十分怪异和荒谬的结果。例如,你是一名计算机的程序员,你就会担心由于某一步骤的忽略而导致了一种无限的循环。我们中间谁能保证在我们的解释、解答或证明中不会发现一点错误呢?在数学中除以零是一种常见的错误,它能引发像下面“1=2”的证明那样的荒谬的结果。你能发现它错在哪里吗?

  1=2? 

  如果a=b,且a,b>0,则1=2。 

  证明: 

  1)a,b>0 已知 
  2)a=b 已知 
  3)ab=b^2 第2步“=”的两边同“×” 
  4)ab-a^2=b^2-a^2 第3步“=”的两边同“-” 
  5)a(b-a)=(b+a)(b-a) 第4步的两边同时分解因式 
  6)a=(b+a) 第5步“=”的两边同“÷” 
  7)a=2a 第2,6步替换 
  8)a=2a 第7步同类项相加 
  9)1=2 第8步“=”的两边同“÷”

 

  推理的艺术触及到我们生活的方方面面,比如决定吃什么,用一张什么样的地图,买一件什么样的礼物,或者证明一个几何定理,等等。有关推理的种种技巧,都演入了问题的解决之中。在推理中一个小小的毛病都可能导致十分怪异和荒谬的结果。

 

  “数学”名称的由来

  “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业,经历一个较长的过程,仅在亚里士多德时代,而不是在柏拉图时代,这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远,而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。

古希腊人在数学中引进了名称,概念和自我思考,他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下,但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章,而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。   在现存的资料中,希罗多德(Herodotus,公元前484--425年)是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学,他对一般的数学概念也许不熟悉,但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家,希罗多德指出,古希腊的几何来自古埃及,在古埃及,由于一年一度的洪水淹没土地,为了租税的目的,人们经常需要重新丈量土地;他还说:希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用,以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现,受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

  柏拉图关心数学的各个方面,在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中,他说:

  故事发生在古埃及的洛克拉丁(区域),在那里住着一位老神仙,他的名字叫赛斯(Theuth),对于赛斯来说,朱鹭是神鸟,他在朱鹭的帮助下发明了数,计算、几何学和天文学,还有棋类游戏等。

  柏拉图常常充满了奇怪的幻想,原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了,即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》(Meta-physics)第1卷第1章中,亚里士多德说:数学科学或数学艺术源于古埃及,因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑,但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中,提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论:1.存在为知识服务的知识,纯数学就是一个最佳的例子:2.知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对;但却驳不倒它,因为没有更令人信服的观点.

  就整体来说,古希腊人企图创造两种“科学”的方法论,一种是实体论,而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的,而亚里士多德自己认为,在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征,也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响,实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论,但不知什么原因,数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而,数学名称的产生和出现,却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。

  “数学”一词是来自希腊语,它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”,甚至意味着“可获的东西”, “可学会的东西”,即“通过学习可获得的知识”,数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷(E.Littre 也是当时杰出的古典学者),在他编辑的法语字典(1877年)中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas”中,引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条,但没有直接列出“数学”—词。  

  “数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业,经历一个较长的过程,仅在亚里士多德时代,而不是在柏拉图时代,这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远,而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”,“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌,也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。

  首先,亚里士多德提出, “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法,但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中,只有泰勒斯(公元前640?--546年)在“纯”数学方面的成就是可信的,因为除了第欧根尼·拉尔修(Diogenes Laertius)简短提到外,这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源,即来源于普罗克洛斯(Proclus)对欧几里得的评注:但这一可信性不是来源于亚里士多德,尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”;也不是来源于早期的希罗多德,尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”,甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中,几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特(公元前500--?年)有一段名言:“万物都在运动中,物无常往”, “人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了,但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论,从方法论的角度讲,比起赫拉克赖脱的变化论,更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。

  对于毕达哥拉斯学派来说,数学是一种“生活的方式”。事实上,从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯(Gellius)和公元3世纪的希腊哲学家波菲利(Porphyry)以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯(Iamblichus)的某些证词中看出,似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”,其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”,正式成员称为“数学家”。

  这里“数学家”仅仅表示一类成员,而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说,阿基米德是唯一的独特的数学家,从理论的地位讲,牛顿是一个数学家,尽管他也是半个物理学家,一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家,尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根(Roger Bacon,1214--1292年)通过提倡接近科学的“实体论”,向他所在世纪提出挑战时,他正将科学放进了一个数学的大框架,尽管他在数学上的造诣是有限的,当笛卡儿(Descartes,1596--1650年)还很年轻时就决心有所创新,于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念,并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础,而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。

  在18世纪,数学史的先驱作家蒙托克莱(Montucla)说,他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”,这一事实有两种解释:一种解释是,数学本身优于其它知识领域;而另一种解释是,作为一般知识性的学科,数学在修辞学,辩证法,语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释,因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中,或在任何古代资料中,都没有发现适合这种解释的确证。然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释,而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾,即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

 

  刻痕与咕噜声

  原始人甚至开化的人,在进行口头计数时都往往做出一些手势。例如,在一些部落中,当说到“十”时,往往用一只手拍另一只手的手心,而当说到“六”时,则使一只手迅速地划过另一只手,K·门宁格(Menninger)说:对于某些非洲人, 可以通过观察他们在计数时的动作,来识别他们属于哪个部落、哪个种族:从左手开始还是从右手开始,蜷拢手指还是伸开手指,手心向着身体还是背着身体。

在荷马史诗中有这样一个故事;当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后,那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草,每出来一只,他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞,每进去一只,他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时,他就确信所有的母羊全返回了山洞。

  波吕斐摩斯的故事是利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。还可以举出有关这个原理的许多例证,例如,说来有点可怕,一些美洲的印地安人通过收集每个被杀者的头皮来计数他们杀敌的数目,又如,一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他们杀死野猪的数目。居住在乞力马札罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女,习惯在领上佩戴铜环,其个数等于自己的年龄。从前,英国的酒保往往通过用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数,这就是英语成语“to chalk one up”(记上一笔)的来源;类似地,西斑牙的酒保则通过向顾客的兜帽里投放小石子来计数饮酒的杯数,因而产生了西班牙成语“echai ch—inas”(放一个石子)。一些原始民族往往利用身体的某些部位来示不同的数。这种肢体计数法显然也是以一一对应原理为依据的。这个原理还出现在曾广泛采用的符契之中,这里是用木棒上的适当刻痕来记录帐目的,直到1826年英国财政部还采用符契作为法定计数器。古代秘鲁人用结绳来记载人口或其他数目,所谓结绳就是系有各种颜色的打着结的彩线的一条绳索。当然,现在的孩子们是靠核查日历来计数圣诞节或学校放假以前的天数的。几乎所有的人都常常掰着手指计数较小的数目。

  现存的最古老的、具有数学意义的人工制品是刻着一些缺口的骨棒,这些缺口按一定的数的形式排列着,骨棒头上的窄槽里插着一片石英。1962年J。de海因策林(Heinzelin)在刚果的爱德华湖畔的伊尚戈渔场发现的所谓“伊尚戈骨”,其年代可以追溯到公元前9000年到6500年。对上面所刻缺口的数学意义只能猜测,专家们的意见还有分歧。

  正当几千年前原始人采用在土坯或石板上刻画痕迹这个办法来计数某些集合的数日时,在数学史上最早的一个里程碑出现了。社会发展到这种程度,简单的计数已经成为不可避免的了。一个部落,一个氏族或者一个家庭,都必须在它的成员之间分配食物,也必须记住它的羊群或牛群的头数。这个过程就是应用一一对应原理的简单计数方法,也或许就是有记载的科学的肇始。

  不难揣测:当计数一个不大的集合时,相应于集合的每一个对象,伸开或者蜷拢一个手指。在计数较大的集合时,正如上面的一些例子所表明的那样,往往采用积累石子或水棍,在土坯戒石板上做记号、在骨棒或木棒上刻缺口、在绳子上打结等等办法。或许是在后来,逐渐产生了不同的咕噜声作为表达一些较小的集合的对象个数的音符。再后来,才出现用来表示这些数目的各种书写符号(数字)。

  虽然上面关于早期计数的发展阶段的描述在很大程度上还是猜测的,但是古人类学家关于现代原始民族的研究报告,以及在世界各地出土的一些人工制品,都是支持这种观点的。

  在发音计数时期的最初阶段,对于同样数目的不同对象,例如两只羊和两个人,使用不同的咕噜声。对此,我们只须想到在英语中目前仍然使用的一些词组;team of hores(一对马)、span of mules(一对骡)、yoke of oxen(一对牛)、brace Of partridge(一对鹧鸪)、pair of shoes(一双鞋)。“二”这个共同性质的高度抽象,采用与任何具体对象无关的某一个声音来表示,这或许是很久以后才做到的。英语中所使用的数词最初很可能是指一些具体对象的集合,但是这种联系现在我们已经不得而知了,当然,five(五)与hand(手)之间的联系或许是一个例外。

  在一些现代的原始社会中,仍然可以看出某些数词与具体计数集合之间的联系。例如,根据新几内亚东南部的巴布亚部落人采用的一种特殊的计数系统,圣经中的这一段话(约翰5:5):“在那里有一个人,病了三十八年。”应当翻译成;“在那有一个人,病了一人(20)、两手(10),五和三年。”另外,由于原始民族常常用手指进行计数,所以实际上他们也采用手指的名称作为数词。例如,南美的卡马尤拉(Kamayura)部落人采用“中指”一词作为数词“三”,他们把“三天”说成“中指天”。还有,南美的代尼—迪涅(Dene—Dinje)印地安人是通过相继蜷拢手指进行计数的,所以他们也用下列相应的语言来计数:

  “一”——“蜷拢小指”,

  “二”——“再蜷拢无名指”,

  “三”——“再蜷拢中指”,

  “四”——“只伸着大指”

  “五”——“所有手指都蜷拢”,

  “十”———“双手的手指都蜷拢”,

  “四天”——“只伸着大指的天”。

  西非的曼丁哥部落人使用的“Kononto”一词(数词“九”)字面上的意思是“腹中的婴儿”——指的是怀孕九个月,在马来亚语和阿兹台克语中,数词与具体计数对象之间的联系也是很明显的,在这两种语言中,数词“一”、“二”,“三”在宇面上指的是“一块石头”,“两块石头”、“三块石头”。类似地,在南太平洋纽埃岛人的语言小,前三个数词字面上的意思是“一个果子”、“两个果子”、“三个果子”,而在爪哇语中这三个词的意思是“一颗谷粒”、“两颗谷粒”、“三颗谷粒”。还可以举出这样一些例子,其中采用无声的语言即适当的手势,根据一一对应原理进行计数。例如,在巴布亚人的肢体计数挂中,通过接触身体的适当部位来表示较小的数,其具体对应关系如下:

  1. 右小指  12.鼻

  2. 右无名指  13.口

  3. 右中指  14.左耳

  4. 右食指  15.左肩

  5. 右大指  16.左肘

  6. 右手腕  17.左手腕

  7. 右肘  18.左大指

  8. 右肩  10.左食指

  9. 右耳  20.左中指

  10.右眼  21.左无名指

  11.左眼  22.左小指

  我们看出,除了插入的表示12和13的“鼻”和“口”以外,前后是对称的。

  原始人甚至开化的人,在进行口头计数时都往往做出一些手势。例如,在一些部落中,当说到“十”时,往往用一只手拍另一只手的手心,而当说到“六”时,则使一只手迅速地划过另一只手,K·门宁格(Menninger)说:对于某些非洲人, 可以通过观察他们在计数时的动作,来识别他们属于哪个部落、哪个种族:从左手开始还是从右手开始,蜷拢手指还是伸开手指,手心向着身体还是背着身体。

  英国人R·梅森(Mason)讲过关于第二次世界大战的一个有趣的故事;当印度和日本两国爆发战争时,一个日本姑娘正在印度。为了避免可能会遇到的麻烦,她的朋友把她假充中国人介绍到侨居在印度的英国人赫德利先生那里。这位英国人有点怀疑,要求这个姑娘用手指依次表示1,2,3,4,5。她踌躇了一下以后,这样做了。这时赫德利先生大笑起来,得意地说;“怎么样!你看见了吧?你看见她是怎样做的?先伸开她的手,然后把手指一个一个地蜷上。你看见过中国人这样做吗?没有!中国人和英国人一样,在数数时先把手蜷拢。她是日本人!”

  很久以来,一一对应的概念一直被认为是计数有限集合的根据。德国数学家康托(Cantor)从1874年起发表了一系列重要文章,应用这个基本概念来计数无限集合,因此产生了关于超限数的重要理论。