数学与折纸

作者:[美] T.帕帕斯

一个正方形变形为一个盒子。 

  一个正方形变形为一只鸟。 

  一个正方形变形为一条蛇。 

  一个正方形变形为一头象。 

  ……

   除非你有先见之明,否则你准会以为我们将要谈些有关拓扑(注:拓扑学是一种特殊类型的几何,它研究物体在伸张或收缩的变形中保持不变的性质。不同于欧几里得几何,拓扑学不与大小、形状以及刚性图形打交道。这就是为什么拓扑学被说成是橡皮膜上的几何的原因。想象物体存在于一个能够伸张和收缩的橡皮膜上,在这样变形的过程中,人们研究那些保持不变的性质)或魔术表演之类的话题了。 

  折纸是一种艺术形式,其历史可追溯到公元583年。当佛教的和尚从中国经过朝鲜东渡去日本时,带去了许多纸。由于当时纸张是很昂贵的,所以人们用时格外小心,而折纸就成了一些礼仪的完整的一部分。折纸的艺术就是从那时起一代代传了下来。 

  动物、花、船和人都是折纸的创作题材。(折纸一词是源于“折的”“游戏”。)几个世纪来,人们对折纸的热情有增无减。事实上,今天在英国、比利时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国(注:美国折纸中心联谊会位于纽约西第77街15号,NY10024。英国折纸协会位于斯托克波特(英格兰西北部城市--译者)柴郡,桑恩路12号,SK71HQ)等国家内都有国际折纸协会的区域机构。 

  在创作折纸图形时,折纸能手是由一张正方形的纸开始的,然后运用他们的想象、技巧和决心,变形为任意的形状。 

  一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元,因为与矩形和其他四边形相比,它有四条对称轴;而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴,但它们又缺少正方形所拥有的直角,这就使制作上造成了较大的困难。有时人们也用其他的纸张作为折纸的开始,但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的。 

  折纸的对象被创造出来后,留在正方形纸张上的折痕,揭示出大量几何的对象和性质。 

  右图所示的折痕是在折一只飞鸟时在正方形纸张上留下的。 

  在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念:相似、轴对称、心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代(在图案内不断地重复图案)。 

  研究折纸的创作过程是极具启发性的。人们开始用一个正方形(二维物体)的纸张来折一个形体(三维物体)。如果折出了新的东西,那么折纸的人就把这个形体摊开,并研究留在正方形纸上的折痕。这个过程包含了维数的变动。折痕表示物体在扁平面(即正方体)上的二维投影。而一个二维物体到三维物体,又回到二维,这就跟投影几何的领域发生了关系。 

  《折叠天地》一书的作者P·恩格尔是一位折纸的科学和艺术专家。在他长年的折纸生涯中,有着许多珍贵的发现和创造,恩格尔使折纸达到了一个更高的境界。他强调了在折纸、数学和自然之间强有力的联系,而描画这种联系则类似于极小值问题、分形和混沌理论。 

  折纸的创作始于有限数量的材料(如一张固定大小的正方形纸)并演进为希望的样式。这里并无任何限制,也不像肥皂泡那样受现实空间的制约。 

  折纸经历了一场复兴。从早期的折纸发展到今天经历了漫长的道路。今天,专家们用纸折出了复杂的样式确实令人叹为观止。他们不用胶水、不用剪刀,巧妙地变形纸张,而且熟练的程度简直令人难以置信!最终完成的作品远非简单的盒子或花朵,而是造形逼真的动物,栩栩如生的纸的雕塑!诸如乌贼、蜘蛛、蛇、舞女、家具等等。这些创造性的成就,无疑来自长年的工作、丰富的经验和深刻的研究,就像艺术家M·C·埃舍尔献身于镶嵌艺术的发展那样。 

  数学寓于折纸之中,不管折纸人的身份如何,对数学的了解总然会在折纸中增加人们的能力和创造力。