首位数问题

 

人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是,如果仔细研究,这里面可能蕴含着深奥的道理。

  天文学家在进行天文计算时,经常要使用对效表。本世纪韧,有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时,偶然发现了这样的现象:对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时,较多地是使用了以1为首的那几页。于是,纽科姆便产生这样一个疑问:首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例?它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多?人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。

  大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外,共有九个数字:1,2,3,4,5,6,7,8,9,用其中任何一个数字开头的自然数,在全体自然数中的分布是均匀的,机会应该是均等的。这就是说,首位数为1的自然数应该占全体自然数的1/9。可是,事实并不这么简单。1974年,现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯(当时还在哈佛大学做研究生),研究了这个问题,所得到的结论出乎人们的意料:首位数是1的自然数约占全体自然数的1/3。准确一点说,这个数值应该是lg2约为0.30103。这是怎么一回事呢?

  事实上,用不同数字做首位数字,这样的自然数的分布并不是很均匀的,也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是;

  I到9之间,这样的数只有1个,它就是1,所以占1/9;

  I到20之间,这样的数有11个,它们是1,10,11……,19,所以约占1/2,

  1到30之间,这样的数同样有11个,约占1/3,

  1到100之间.这样的数仍然只有]1个,约占1/9,

  l到200之间,这样的数有111个,它们是1,10,11,…,19,100,101,…,199,约占1/2。

  注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值,总是在1/2与1/9之间来回振荡。于是,迪亚科尼斯经过研究,终于运用高等数学的方法,得出这些比值的合理平均值,它就是上面所讲到的lg2。.

  迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来,美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时,用上了这个结论。近年来,美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器,使飞行员在不离开地面的情况下接受训练,而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。