希尔伯特问题与20世纪数学

作者:胡作玄

自从《21世纪100个科学难题》出版之后,希尔伯特的名字也逐渐为更多的人知道,由于数学,特别是现代数学,很难为一般人所理解,自然,数学在媒体上难得有什么地位,而数学家的名字听起来也格外陌生了。无论国外国内,稍有科学素养的人都知道牛顿和爱因斯坦。无疑,牛顿应该是有史以来最伟大的科学家,而爱因斯坦是20世纪最伟大的物理学家。但是,谈起20世纪的数学,我想,至少应该记住三个人的名字:庞加莱、希尔伯特和冯·诺伊曼,他们是20世纪最有影响的数学家。庞加莱是非线性数学(如现代时髦的浑沌理论)的奠基人以及当代数学女王——拓扑学的创建者。冯·诺伊曼被称为“计算机之父”和现代计算数学的奠基人,而数理经济学和对策论(一译博奕论)也由他首先取得突破的。而对20世纪主流数学——结构数学有巨大影响的当属希尔伯特。 

  希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响:一条是通过自己遍及数论、代数、几何、分析以及数学基础的工作,一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学发展的方向。他之所以能做到这点,除了他的天才和格廷根的优美环境之外,就要归结为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望,不断地去深入理解数学的任何一个部门。总之,使数学成为生活中不可或缺的东西。笔者在格廷根的档案馆中发现他的记录和笔记中,有一部分是他取得博士学位以后,访问国内国外知名数学家的记录;另有三大本笔记,详细记录他提出的各种问题以及对各种问题的思考;而他在1900年8月8日关于《数学问题》的报告显然不是急就章,而是长年思考积累的结果。 

  希尔伯特的报告不是大会报告,而是数学史组的分组报告,从这个意义上来讲,那时人们的确重视科学发展的历史,而也正是这种重视历史的心态,才使这些最伟大的数学家成就其历史的伟业。从另外一个意义上来讲,希尔伯特的23个问题是一个继往开来的文献,说它继往,是它总结了19世纪几乎所有未解决的重要问题;说它开来,是这些问题的确推动了20世纪数学的进步。因此各数学大国,美国、前苏联、日本以及法国、德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状,并进一步提出新的问题。这里我们也极简单地概括一下,欲知其详,则有待于专著的问世。 

  希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。从顺序上讲,显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上,他自己的工作也正为缔造数学大厦牢固的基础而努力。从19世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他还是集合论最早的少数支持者之一,把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以解释他为什么把集合论头号问题——连续统假设列为自己的第1问题。希尔伯特通过自己的工作包括他的基础问题对于20世纪数理逻辑的发展起了决定性的影响。但是希尔伯持的纲领却由于哥德尔1930年的不完全性定理而不能实现,从此数理逻辑走向独特的发展道路。从新的观点看,第1、第2以及第10问题属于数理逻辑的范围,第3、第4、第5、第6属于较为具体的学科。从某种意义来讲,这些问题可以说都在不同程度上得到解决。 

  数论这一块是希尔伯特本人在1900年之前最为关注的领域,他本人的工作对这领域的发展也有决定性的影响。出乎他本人的预料,第7问题在他在世时已经解决,而第8问题的黎曼猜想却至今还距离完全解决尚远,成为未来世纪数学家的头号难题。由第12问题衍生出的朗兰兹(LangLands)纲领,更是远未解决,而其它4个问题可以说已经基本解决。 

  20世纪的代数学已由方程论和不变式论发展为抽象代数学或近世代数学,这条发展路线虽然同希尔伯特问题关系不大,但的确是在希尔伯特本人工作的影响之下发展起来的。13、14和17这三个代数问题可以说基本解决,它们也给20世纪数学带来新的方向。几何的三个问题中,第15问题对于代数几何学的严格化有重要影响,而代数几何学在20世纪是一门对各方面都有巨大影响的主流学科,它的基础已经建立在交换代数学的基础上。与此相反,16问题前半的实代数几何学进展不大,尽管希尔伯特的问题有很大进步。16问题后半的极限环问题经过一个世纪的努力可以说进展甚微,具体讲每一个重要进展在多年之后都发现不对。18问题共有三问,前两问已经圆满解决,而第三问则发展成一个十分活跃的领域,特别是开普勒(就是发现行星运动的三定律的那位)猜想终于在本世纪结束之前完全证明。 

  希尔伯特的5个分析问题,可以说都基本解决。希尔伯特从1900年起研究分析,特别是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之,希尔伯特23个问题有4个问题仍是下世纪的大问题(第8、第12、16B、18C),而其他问题则应在基本解决的基础上提出更多更新的问题。 

  回顾一个世纪数学的发展,我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的问题,把20世纪数学带上一条健康发展的道路。当然,即使像希尔伯特这样的数学巨人,也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作,E·嘉当关于李代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是,他的工作和他的问题同20世纪特别是上半世纪一半以上的数学研究有联系。而到20世纪末,数学已发展成如此庞大的领域,已经找不到一个人来提出全面数学问题的清单,他的工作需要几十人来代替。这些领袖人物虽然不像希尔伯特那样广博,但决不是狭窄领域的专家,他们都多少继承希尔伯特的基因,在学科交叉上看到数学未来的前沿。而这正预示着下一世纪数学辉煌的前景,也是解决老问题,提出新问题的关键所在。

希尔伯特的23个问题

希尔伯特(Hilbert D·,1862.1.23 ̄1943.2.14)是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心,他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者,使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时,德国《自然》杂志发表过这样的观点:现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大,在整个数学版图上,留下了他那显赫的名字。

  1900年,希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究,这就是著名的“希尔伯特23个问题”。

  1975年,在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上,数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计,约有一半问题已经解决了,其余一半的大多数也都有重大进展。

  1976年,在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中,有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见,能解决希尔伯特问题,是当代数学家的无上光荣。

  下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况:

  1.连续统假设

  1874年,康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数,这就是著名的连续统假设。1938年,哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此,连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决 

  2.算术公理的相容性

  欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年,哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性 

  1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出,数学相容性问题尚未解决。

  3.两个等底等高四面体的体积相等问题

  问题的意思是,存在两个等边等高的四面体,它们不可分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等。M·W·德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

  4.两点间以直线为距离最短线问题

  此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多,因而需增加某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距离情况下,问题获得解决。

  《中国大百科全书》说,在希尔伯特之后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展,但问题并未解决。

  5.一个连续变换群的李氏概念,定义这个群的函数不假定是可微的

  这个问题简称连续群的解析性,即:是否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间经冯·诺伊曼(1933,对紧群情形)、邦德里雅金(1939,对交换群情形)、谢瓦荚(1941,对可解群情形)的努力,1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了完全肯定的结果 

  6.物理学的公理化

  希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理,首先是概率和力学。1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化,很多人表示怀疑 

  7.某些数的无理性与超越性

  1934年,A·O·盖尔方德和T·施奈德各自独立地解决了问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0
  ,1,和任意代数无理数β证明了αβ的超越性 

  8.素数问题

  包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润(1966),但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

  9.在任意数域中证明最一般的互反律

  该问题已由日本数学家高木贞治(1921)和德国数学家E·阿廷(1927)解决。

  10.丢番图方程的可解性

  能求出一个整系数方程的整数根,称为丢番图方程可解。希尔伯特问,能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的IO·B·马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在 

  11.系数为任意代数数的二次型

  H·哈塞(1929)和C·L·西格尔(1936,1951)在这个问题上获得重要结果。

  12.将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去

  这一问题只有一些零星的结果,离彻底解决还相差很远。

  13.不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程

  七次方程的根依赖于3个参数a、b、c,即x=x(a,b,c)。这个函数能否用二元函数表示出来?苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形(1957),维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形(1964)。但如果要求是解析函数,则问题尚未解决。

  14.证明某类完备函数系的有限性

  这和代数不变量问题有关。1958年,日本数学家永田雅宜给出了反例。

  15.舒伯特计数演算的严格基?

  一个典型问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

  16.代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

  这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论

  的极限环的最大个数和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例(1979)。

  17.半正定形式的平方和表示

  一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,。。。,xn)

  都恒大于或等于0,是否都能写成平方和的形式?1927年阿廷证明这是对的。

  18.用全等多面体构造空间

  由德国数学家比勃马赫(1910)、荚因哈特(1928)作出部分解决。

  19.正则变分问题的解是否一定解析

  对这一问题的研究很少。C·H·伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

  20.一般边值问题

  这一问题进展十分迅速,已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

  21.具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明

  已由希尔伯特本人(1905)和H·罗尔(1957)的工作解决。

  22.由自守函数构成的解析函数的单值化

  它涉及艰辛的黎曼曲面论,1907年P·克伯获重要突破,其他方面尚未解决。

  23.变分法的进一步发展出

  这并不是一个明确的数学问题,只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

  这23问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展。