奇妙的幻方

    据说很早以前,夏禹治水时,河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟,背上有一个很奇怪的图形,古人认为是一种祥瑞,预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"。
  如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字,就成了下图的样子。

4 9 2
3 5 7
8 1 6

    我们注意到左面的图形中,九个数字正好是从1到9,既无重复,也没有遗漏,但它们并不是按递增或递减顺序来排列。按照左图的排法,到底有何奥妙呢?
  原来,图中任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和全都相等,等于 。具有这种性质的图表称为"幻方"或"纵横图"。上面这个三行三列的幻方就称"三阶幻方",15是三阶幻方的常数。古代又称三阶幻方为"九宫"。古书上记载:"九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,载九履一,五居中央。"
  把上面的九宫图旋转90°、180°与270°,再把它们与原图一起画在透明纸上,从反面来观察,这样一共可以得到八个图,但它们并无实质上的不同。
  现已证明:三阶幻方只有一种构造方法。南宋数学家杨辉,在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法:只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排,然后把上、下两数对调,左、右两数也对调;最后再把中部四数各向外面挺出,幻方就出现了。
  杨辉还介绍了四阶幻方的构造法,并列出了4,5,……,10各阶幻方图。
                      摘自《趣味数学辞典》