从“整箱买进文具盒”引出的问题

陈琦和王芮两位女工下岗后,合办一家"学生超市"。

    一天,进货回来的陈琦刚走进超市,王芮问:"你进 什么货了?"

     陈琦点头答道:"花了2600元买了三箱不同品种 的文具盒。"

    "如果质量好,就能卖出去"。王芮赞同的说,"你买 进多少?"

     陈琦掏遍了所有衣袋也没找到发货票。"一定是我把 发货票弄丢了,总共260只。"她说,"每箱货中,每种文具 盒以角为单位的单价数等于每箱货中的文具盒数目。"

    你能算出陈琦采购的文具盒的只数与单价吗?

 


                            分析与解答

    解答这道题绝非轻而易举的事儿, 它包括若干具体概念。下面给出解答过程。

    在这三箱整批购进的不同文具盒中,设买x角的 文具盒x只,用了x2角;买y角的文具盒y只,用了y2 角。这样,买第三种为(260-x-y)角的文具盒(260-x-y)只,用了(260-x-y)2角。

    那么x2+y2+(260-x-y)2=26000

    化简,得:x2-(260-y)x+y2-260y+20800=0,把这个式子看作含有x的一个二次方程式,得

    wjh1.jpg   (*)

    由于x、y是自然数,因此一定有520y-15600-3y2=K2(K是非负整数),从而可化 简为(3y-260)2十3K2=20800。

    由于三箱数量不等(总只数为260,因而三箱数量 相等是不可能的),可假定最少一箱中的只数为y,显然 y<8),由此260-3y>0.进一步由

    (3y-260)2十3k2=20800 及3k2≥0 有

    wjh2.jpg

    所以y>38.

    由于以2、3、7或8结尾的都不是整数的平方.因 此根据方程(260-3y)2+3k2=20801可有如下分析:

     k2以0、1、4、5、6或9结尾;相对应的3k2以0、3、2、5、8 或7结尾,于是,(260-3y)2必须以0,7,8,5,2,3结尾.但 没有平方数是以2、3、7或8结尾的,因此(260-3y)2一定 是以0或者5结尾,所以y一定是5的倍数.

    这样,我们就确定了y的可能值,这个值是5的倍 数,且38<y<87.

     对每个7的值进行检验(这种方法简称为枚举检 验),将数据展示如下:

y=40

45

5080

85

(260-3y)2=19600

15625

12100400

25

3k2=1200

5175

870020400

20775

k2=400

1725

29006800

6925

k=20

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    可以发现k和y的整数值只能是y=40,k=20.

    回到(*)式,求得x=100或120.

    因此,260-x-y=120或100.

    这样,三箱分别装40只、100只、120只文具盒,三 箱中每只文具盒的单价分别是40角、100角、120角, 即4元、10元、12元.

    [编者按]这是从一类古老的整数解问题中改编 而来的数学趣味题.在解题过程中,我们必须注意到最 后的枚举法检验是非常重要的.这种解题方法叫做计 算试验,要用电子计算机来做,是现代重要的科学研究 方法.我们认为,在初中阶段,可适当渗入计算试验的 启蒙问题,但不要加重学生的负担.首先要弄出一批合 适的问题,进一步可以研究教学方法.