趣味数学题


作者 mathabc 整理


1、简单的智力问题

a、一个破车要走两英哩的路,上山及下山各一英哩,上山时平均速度每小时15英哩问当它下山走第二个英哩的路时要多快才能达到每小时30英哩?

(是45英哩吗?)

b、阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用3分钟。将一个阿米巴放在一个盛了营养参液的容器内,1小时後容器内充满了阿米巴,问如果先前以二个阿米巴开始而不是一个,那麽要多长时间才能使容器充满?

(估计大约半小时,是吗?)

2、他们会相遇吗?

“你从哪儿打电话来?”伯特问道。此刻他正在默顿街和斯普路斯街交角处的办公室里,一边听着电话,一边透过窗户注视着窗外拥挤的交通。

“在戴尔街和金街交叉处的一个公用话亭,”传来的是本恩的微弱的回答,“从你那儿往南走四个街段,往东走几个街段!”

伯特看了一下钟,喊道:“你现在就开始走,我们在半路上碰面!”他砰地一声放下电话。而只是在这个时候他才意识到自己刚才太快挂了电话,没讲清楚互相怎么走法。

实际上,在两个交叉点之间恰好有70种不同走法的线路,而且线路之间的选择跟距离没有什么关系。

那么,你怎么理解本恩话中“几个”的意思呢?

3、他的第一份工作

“嗨!约翰尼斯,”星期天乔在街上遇到一个年轻人向他喊道,“好久不见,我听说你开始工作啦!”

“几个星期了,”约翰尼斯回答道,“这是一份计件工作,我干得挺好的。第一星期我得了四十多美元,而且后来每个星期都比前一个星期多赚99美分。”

“这真是巧事!”乔笑了笑并继续说,“愿你一如继往都能这样!”

“我估计用不了多久我一个星期便能赚到60美元,”年轻人告诉乔,“自从开始工作到现在,我已经赚了整整407美元。这的确不坏!”

试问,约翰尼斯第一个星期赚了多少?

4、聚会之后

“昨晚他们离开的时候似乎都还清醒,”鲍勃说着,此时他刚刚从办公室回到家。

“我看不会比你更糟,”他妻子确信地信,“怎么啦?”

鲍勃淡淡地笑了笑,“他们四个人整天都在给我打电话,”他告诉她,“我得去解开这个谜结。他们一个个都互相拿错了别人的大衣和另一个人的帽子。”

“你到家的时候我就觉得有点不对劲,”贝蒂笑道,“继续讲你这个伤心的故事吧!”

“好吧,我分头说:乔拿走了一个家伙的大衣,而那个家伙的帽子又被史蒂夫拿走;史蒂夫的大衣是被另一个人拿走的,而那个人又拿走了乔的帽子。”

“那么罗恩又怎么样呢?”贝蒂对此颇感兴趣。

“他第一个打电话来,”鲍勃回答,“他把多哥的帽子拿走了。”

这真是一次十足的聚会!试问,乔和史蒂夫拿走了谁的大衣和帽子?

5、一个弹子的游戏

“你们自己来,但每人只拿12个,”吉姆一边说着一边从盒子里摸出了一打弹子,“我们这里绿色的弹子比蓝色的少,而蓝色的弹子又比红色的少。所以大家拿的时候,每人红的要拿最多,绿的要拿最少。但每种颜色都要拿!”

吉姆自己这样做后,其他的男孩也都照着做。这里总共只有三种颜色的弹子,而且盒子里弹子的数量也刚好够大家拿。

“我们大伙拿法全都不一样!”乔观察了一下大家拿出的弹子说道。“只有我有四个蓝的!”

“那又怎么样?”皮特发现自己在地下掉了一个绿色的弹子,于是把它捡了起来,“让我们玩吧!”

于是他们开始玩起弹子的游戏。

这里总共有26个红色的弹子。试问这里有多少个男孩呢?

6、头发的颜色

在一个与外界不往来的村庄中,住了三个人。这三个人都不能说话,但都很聪明。这村庄人的头发,不是黑色就是红色。 这村庄也没有任何可经由反射而看到自己的物体(如:镜子,湖水)所以这三人都无法得知自己头发的颜色。

这村庄有个习俗:知道自己头发的颜色后再自杀,可以快乐的上天堂;若猜错自己头发颜色就自杀,那就会痛苦地下地狱。 这三个人都很想上天堂,但都苦于无法得知自己的发色而迟迟无法进行。 这三人每天中午都会在广场上聚集,彼此相望,希望能得知自己的头发颜色。 这种困境一直到一个外地人的介入而打破。

有一天,一个外地人进入了这村庄,在广场碰到了这三人, 随口说了一句话:「你们三人至少有一个是红头发。」说完便离开村庄了。 当天三人听完这句话,都纷纷回家苦思。 第二天中午,三人依旧一起在广场见面。第二天晚上回去,就有两人自杀成功。 第三天中午,只剩一个人到广场。此人回去后也自杀成功了。

请问:这三人的头发分别为什么颜色?

7、1=2的证明

推理的艺术触及到我们生活的方方面面,比如决定吃什么,用一张什么样的地图,买一件什么样的礼物,或者证明一个几何定理,等等。有关推理的种种技巧,都演入了问题的解决之中。在推理中一个小小的毛病都可能导致十分怪异和荒谬的结果。例如,你是一名计算机的程序员,你就会担心由于某一步骤的忽略而导致了一种无限的循环。我们中间谁能保证在我们的解释、解答或证明中不会发现一点错误呢?在数学中除以零是一种常见的错误,它能引发像下面“”1=2“”的证明那样的荒谬的结果。你能发现它错在哪里吗?

1=2?

如果a=b,且a,b>0,则1=2。

证明:

1)a,b>0 已知

2)a=b 已知

3)ab=bb 第2步“=”的两边同“×b”

4)ab-aa=bb-aa 第3步“=”的两边同“-aa”

5)a(b-a)=(b+a)(b-a) 第4步的两边同时分解因式

6)a=(b+a) 第5步“=”的两边同“÷(b-a)”

7)a=2a 第2,6步替换

8)a=2a 第7步同类项相加

9)1=2 第8步“=”的两边同“÷”

作者: T.帕帕斯

8、乘车兜风

“你在忙乎什么吧,比尔,”教授留意地说。这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡,站起来要走。

“准备带三个女孩乘车游览!”比尔答道。

教授笑了:“原来如此!敢问三位佳丽芳龄几许?”

比尔思考片刻说:“把她们年龄乘在一起得到2450,可她们年龄和恰是您年龄的两倍”。

教授摇了摇头说:“非常灵巧,但对她们的年龄仍然有疑问。”

比尔还在那里,他补充道:“是的,我忘了提起,我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。”而这使得一切都变得清楚了!

当然,教授是知道他朋友的年龄的,请问,你能算出他们的年龄吗?

9、去别墅

“都已经把一家子都带到别墅去了,”鲍勃说道,“那儿多好,晚上非常安静,没有汽车喇叭声。”

“但你那儿警察照常上班,”雷恩评论说,“难道你那里没有警察?”

“我们不需要警察!”鲍勃笑道,“倒是有一个出现在我们驾车中的难题值得你想。情况是怎样的:头15英里我们平均时速40英里。接着大约在九分之几的路上,我们开得快一些。而在剩下的七分之一路程上,我们一直开得很快。全程的平均车速正好是每小时56英里。”

“你说的‘九分之几’是什么意思?”雷恩问。

“这里的‘几’是精确有整数,”鲍勃回答道,“而后面两段路程上的车速,也都是每小时整数英里。”

鲍勃自然不会带着一家子人用疯狂的速度去驾驶,尽管也可能那段路上刚好没有警察!

试问,在最后七分之一的旅途中,鲍勃他们的平均车速是多少?

10、一位在需要时候的朋友

点燃雪茄后约翰靠回到自己的椅子上,他显得对自己的生活很满意。“是的,”他开怀地笑着说,“在三十年前,当我们在一起还是十几岁孩子的时候,我绝没有想过后来会过得这么好。”

他的来访者微微笑了笑。在过去那些日子,他们曾是好朋友,但那是很久以前的事了。今天当他急需一份工作的时候,一种古老的友谊又有什么价值呢?“你的两位兄弟怎么样?”他问道,“他们都比你年轻是吗?”

约翰点点头:“干得不错。本恩,就是最小的那个,已有近百万家产。而泰德,就是原先爱耍小聪明的那个男孩,现在家住华盛顿。比尔,你过去好像计算上挺在行的,看看这样一道问题怎么样?”

这位大亨潦草地写着他的问题,而比尔却在充满希望中等待了几分钟:“本恩的年龄乘以我和泰德年龄的差,与我的年龄乘以他们之间年龄的差恰好少1。这里年龄都是取整年算的。”

“太糟了,”比尔伤心地摇头道,“我本打算来你这儿求份工作,却没想到你倒向我经销起自己的计算能力!”

比尔自然得到了工作。然而,找出那三个人的年龄无疑会给你带来快乐。

11、一场温和的赌博

“我没有一美分的零币,”汉克说着,一边叮当地敲着他的钱币,“你有多少?”

本恩查看了一下回答道:“正好五枚。怎么啦?”

“想知道吗?我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样?”汉克一边说一边开始分牌,“规定这样的:第一局输的人,输掉他钱的五分之一;第二局输的人,输掉他那时拥有的四分之一;而第三局输的人,则须支付他当时拥有的三分之一。”

于是他们玩了,并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了,付完钱后他站起来声明说:“我觉得这种游戏投入的精力过多,回报太少。直到现在我们之间的钱数,总共也只相差七美分。”

这自然是很小的赌博,因为他们合起来一共也只有75美分的赌本。

试问,在游戏开始的时候汉克有多少钱呢?

12、奖金

当秘书走进办公室时,杰克微笑着说:“贝蒂,现在我事情已经做完,请把其他人都叫进来。”

很快,包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前,不知出了什么事。但老板很快使他们轻松起来。杰克告诉他们:“我想你们一定很高兴知道,我在克莱蒙的交易最后赢利了,这里有一笔260美元的奖金,在你们之间分配,作个意思。”

贝蒂想自己职位较低,“也许轮不上我”这令人沮丧的念头,刺伤了她的心。

但令人满意的是,杰克继续说道:“我已经算出了你们跟我工作的完整的年限,并按这个比例发放奖金,但允许男人比女孩每年多得一半。”他一边说,一边递给每人一个信封。突发的感激,使雇员们显得有些局促不安。

这对他们来说确是一种好运气!

已知他们工作的完整年限分别是2,3,5,6和7年。请你算出在杰克的职员中女性有几人?

12、狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场

我写这个寓言是在1997年10月股市大跌的一个星期之后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。在这个村子里,有50 对夫妇,每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道,但从来不知道自己的丈夫如何。该村严格的大女子主义章程要求,如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实,她必须在当天杀死他。又假定女人们是赞同这一章程的、聪明的、能意识到别的妇女的聪明、并且很仁慈(即她们从不向那些丈夫不忠实的妇女通风报信)。假定在这个村子里发生了这样的事:所有这50个男人都不忠实,但没有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实,以至这个村子能够快活而又小心翼翼地一如既往。有一天早晨,森林的远处有一位德高望重的女族长来拜访。她的诚实众所周知,她的话就像法律。她暗中警告说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实,根据她们已经知道的,只该有微不足道的后果,但是一旦这个事实成为公共知识,会发生什么?

答案是,在女族长的警告之后,将先有49个平静的日子,然后,到第50天,在一场大流血中,所有的女人都杀死了她们的丈夫。要弄明白这一切是如何发生的,我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫A先生。

除了A太太外,所有人都知道A先生的背叛,因而当女族长发表她的声明的时候,只有A太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人,她意识到如果任何其他的丈夫不忠实,她将会知道。因此,她推断出A先生就是那个风流鬼,于是在当天就杀了他。

现在假定有两个不忠实的男人,A先生和B先生。除了A太太和B太太以外,所有人都知道这两起背叛,而A太太只知道B太太家的,B太太只知道A太太家的。A太太因而从女族长的声明中一无所获。但是第一天过后,B太太并没有杀死B先生,她推断出A先生一定也有罪。B太太也是这样,她从A太太第一天没有杀死A先生这一事实得知,B先生也有罪。于是在第二天,A太太和B太太都杀死了她们的丈夫。

如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫,A先生、B先生和C先生,那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响,但类似于前面描述的推理过程,A太太、B 太太和C太太会从头两天里未发生任何事推断出,她们的丈夫都是有罪的,因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程,我们能够得出结论:如果所有50个丈夫都是不忠实的,他们的聪明的妻子们终究能在第50天证明这一点,使那一天成为正义的大流血日。

现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年(1997)夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告;妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安;妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足;杀丈夫代替为抛股票;警告和杀戮之间的50天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟,你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说,利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的,但直到某人如此公开地说,并最终发觉了他们自身的不堪一击以前,他们是不会行动的。这样,马来西亚总理在1997年4月批评西方银行的讲话就起着女族长的警告那样的作用,促成了他最担心的这次危机。

幸好不像是故事中的丈夫们那样,市场是能够再生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明,如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话,这种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买和卖。

(注:本文是美国数学家珀洛斯(J. P. Paulos)1998年的科普畅销书《从前有个数(Once upon a number)》的片断。)

13、猎人的手表

一个住在深山中的猎人,他只有一只机械表挂在手上,这天,表因忘了上发条而停了,附近又没有地方可以校对时间。

他决定下山到市集购买日用品,出门前他先上紧机械表的发条,并看了当时的时间是上午6:35(时间已经是不准了),途中会经过电信局,电信局的时钟是很准的,猎人看了钟并记下时间,上午9:00,到过市集采购完,又绕原路经过电信局,看了当时电信局的时钟指在上午10:00,回到家里,手上的表指著上午10:35。

猎人如何调校出正确的时间呢?此时的标准时间应该是多少?