数学轶事


作者 mathabc 整理


1,高斯的故事

高斯有许多有趣的故事,故事的第一手资料常来自高斯本人,因为他在晚年时总喜欢谈他小时後的事,我们也许会怀疑故事的真实性,但许多人都证实了他所谈的故事。

高斯的父亲作泥瓦厂的工头,每星期六他总是要发薪水给工人。在高斯三岁夏天时,有一次当他正要发薪水的时候,小高斯站了起来说:「爸爸,你弄错了。」然後他说了另外一个数目。原来三岁的小高斯趴在地板上,一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱。重算的结果证明小高斯是对的,这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆。

高斯常常带笑说,他在学讲话之前就已经学会计算了,还常说他问了大人字母如何发音後,就自己学着读起书来。

七岁时高斯进了 St. Catherine小学。大约在十岁时,老师在算数课上出了一道难题:「把 1到 100的整数写下来,然後把它们加起来!」每当有考试时他们有如下的习惯:第一个做完的就把石板﹝当时通行,写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上,第二个做完的就把石板摆在第一张石板上,就这样一个一个落起来。这个难题当然难不倒学过算数级数的人,但这些孩子才刚开始学算数呢!老师心想他可以休息一下了。但他错了,因为还不到几秒钟,高斯已经把石板放在讲桌上了,同时说道:「答案在这儿!」其他的学生把数字一个个加起来,额头都出了汗水,但高斯却静静坐着,对老师投来的,轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。考完後,老师一张张地检查着石板。大部分都做错了,学生就吃了一顿鞭打。最後,高斯的石板被翻了过来,只见上面只有一个数字:5050(用不着说,这是正确的答案。)老师吃了一惊,高斯就解释他如何找到答案:1+100=101,2+99=101,3+98=101,……,49+52=101,50+51=101,一共有50对和为 101的数目,所以答案是 50×101=5050。由此可见高斯找到了算术级数的对称性,然後就像求得一般算术级数合的过程一样,把数目一对对地凑在一起。

2,“无理数”的由来

公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

不可通约的本质是什么?长期以来众说纷坛,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而,真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来.

同时它导致了第一次数学危机。

3,罗素悖论

  一天,萨维尔村理发师挂出一块招牌:“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。”于是有人问他:“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。  

因为,如果他给自己理发,那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是,招牌上说明他不给这类人理发,因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发,他就是不给自己理发的人,而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发,因此,他应该自己理。由此可见,不管怎样的推论,理发师所说的话总是自相矛盾的。  

这是一个著名的悖论,称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的,他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。  

1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。  

此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量研究工作,由此产生了大量新成果,也带来了数学观念的革命。

4,无声胜有声

  在数学上也不乏无声胜有声这种意境。1903年,在纽约的一次数学报告会上,数学家科乐上了讲台,他没有说一句话,只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果,一个是2是67次方-1,另一个是193707721×761838257287,两个算式的结果完全相同,这时,全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢?  

因为科乐解决了两百年来一直没弄清的问题,即2是67次方-1是不是质数?现在既然它等于两个数的乘积,可以分解成两个因数,因此证明了2是67次方-1不是质数,而是合数。  

科尔只做了一个简短的无声的报告,可这是他花了3年中全部星期天的时间,才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气,毅力和努力,比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。

5,没有捷径可以走

古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家,而且是一个很好的老师,他生前培养过许多学生,在这些学生中有一个特别的人物,他是希腊国王多禄米。

闲着没事的多禄米,有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时,阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米想了一想,决定把阿基米德请来,拜他为师,学习一点几何知识。

接到国王召见,阿基米德不敢怠慢,急忙来到了皇宫。这里金碧辉煌,气势典雅。白玉大理石铺成的透明地板,水晶珍珠般的吊灯,雕龙刻虎的巨大粱柱,把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮。阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰,心中一边想,这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血,尤其是那些精巧、别致的设计,无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很学的造诣。

从此以后,阿基米德就当上了国王的私有数学教师。刚开始上几何课时,国王挺认真,似乎下了决心要学好这门课。可是,时间一长,多禄米的兴趣就逐渐往下落了,尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显,但对于不爱学习的国王而言,一堂课的时间简直比一年还长,他日益显出不耐烦的情绪。

对国王情绪的变化,阿基米德看到眼里,记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的向多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法。可是多禄米对眼前出现的一个个三角形、正方形、菱形的图案毫无兴趣,有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边,用手推推他。这位国王勉强睁开惺松的睡眼,没等阿基米德说话,他反而先问:“请问,到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径?用你这种方法实在太难学了。”

听了国王的问题,阿基米德思考着,冷静地回答道:“陛下,乡下有两种道路,一条是供老百姓走的乡村小道,一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途,请问陛下走的是哪一条道路呢?”

"当然是皇家的坦途呀!”多禄米回答得十分干脆,但又感到茫然不解。

阿基米德继续说:“不错,您当然是走皇家的坦途,但那是因为您是国王的缘故。可现在,您是一名学生。

要知道,在几何学里,无论是国王还是百姓,也无论是老师还是学生,大家只能走同一条路。因为,走向学问是没有什么皇家大道的。”国王多禄米眨巴着眼睛,似懂非懂地思考了一下,总算理解了阿基米德这番话的含意,于是重新打起精神,听阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个趔:追求科学知识没有捷径可走,科学知识对任何人都是一视同仁的。正如伟大的革命导师马克思所说:“在科学的道路上,是没有平坦的大路可走的,只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们,才有希望到达光辉的顶点。”

6,第二次数学危机    首先这个x应该等於0,这是因为  

x=(1-1)+(1-1)+...... =0;  

其次,可以证明x等於1,因为  

x=1-(1-1)-(1-1)......=1;  

最後,还可以证明x等於1/2,因为  

x=1-(1-1+1-1+......)  

x=1-x  

2x=1  

x=1/2  

零表示没有,由於这个x可以等於零,等於1,等於1/2,所以0=1=1/2!而1和1/2表示确确实的有啊!这不是“没有”等於“有”麽!  

还不止於此,格兰第还说,你想创造什麽数,我可以创造出什麽数。比如说想创造16,因为16×x=16×x,既然x可以等於0,也就可以等於1。这时  

16×0=16×1

得到0=16,说明从无中创造出16。  

微积分产生初期,由於还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论),出现了这样那样的问题,被一些别有用心的人钻了空子。事实往後百多年亦没有人能清楚回答这些问题。这就是历史上的第二次数学危机,而这危机的引发和牛顿有直接的关系。  

事情直到19世纪初,情况有变化,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分坚定基础。前面所提的“量的鬼魂”说,都可以用极限理论给予满意的解释。