数学经典问题·商高定理
(毕达哥拉斯定理、勾股定理)



作者


  若一直角形的两股为a,b斜边为c,则有a2+b2=c2。我们都很熟悉这个性质,人们相信是毕达格拉斯〈约公元前560年~公元前480发现的,因此把它叫做毕氏定理。毕氏定理也可以用几何的形式来解释,那就是直角三角形直角边上的两个正方形的面积和等於斜边上正方形的面积。如下图所示:

勾股定理

  传闻这个定理有一个绰号叫“新娘图”,又有人称为“新娘的椅子”,可能是从其几何图形得到的敏感吧!

  中国在商高时代(公元前1100年)就已经知道“勾三股四弦五”的关系,远早於毕达格拉斯,因此有人主张毕氏定理应该称呼为商高定理,但普遍性的定理则在陈子时代(公元前6﹑7世纪),而提出定理的证明则首推赵君卿(见周髀的赵君卿注)。赵氏是三世纪的人,现在这个定理普通称为勾股弦定理或勾股定理。

  毕达格拉斯曾提一组勾股数的正数数解:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1,其特点是斜边与其中一股的差为1。柏拉图也给了另一组公式:a=2n,b=n2-1,c=n2+1,此时斜边与其中一股之差为2。但他们都不是方程式a2+b2=c2的所有解,全部解的公式是a=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2其中m,n(m>n)是互质且一奇一偶的任意正整数。