数学经典问题·连续统之迷



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  (注:文中将阿拉夫零记为alf(0),阿拉夫一记为alf(1),依次类推…)  

  由于alf(0)是无穷基数,阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算,因而,以下的结果也不足为怪:

  alf(0)+ 1 = alf(0) 

  alf(0) + n = alf(0) 

  alf(0) + alf(0) = alf(0) 

  alf(0) × n = alf(0) 

  alf(0) × alf(0) = alf(0) 

  alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数,只要是可数集,其基数必为alf(0)。由可排序性,可知如整数集、有理数集的基数为alf(0);或由它们的基数为alf(0),得它们为可数集。而实数集不可数(可由康托粉尘线反证不可数)推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破alf(0),但幂集可突破:2alf(0) = alf(1)  

  可以证明实数集的基数card(R) = alf(1)。进而,阿拉夫"家族"一发而不可收:2alf(1) = alf(2); 2alf(2) = alf(3); ......  

  alf(2)究竟有何意义?人们冥思苦想,得出:空间所有曲线的数目。但而后的alf(3),人类绞尽脑汁,至今为能道出眉目来。此外,还有一个令人困惑的连续统之迷:“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数?”

  公元1878年,康托提出了这样的猜想:在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。

  公元1900年,在巴黎召开的第二次国际数学家会议上,德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中,连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。

  公元1938年,奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”,意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年,美国数学家柯亨居然证明了:“连续统假设是独立的”,也就是说连续统假设根本不可能被证明。