中学数学课外趣题6则

第1题:面积无穷的墙可用有限体积的油漆涂满
证明:在从1到正无穷的区间上考查曲线1/x。由基础微积分知识可知,将该曲线绕x轴旋转所围体积有限(等于Pi),而该曲线与x轴所夹面积为无穷大。
问题:看起来很合算哪——随便一点点油漆就可以把陋室装扮一新,还有富余;而余下的总也用不完!真是这样吗?

第2题:一种化学元素碘-131的质量呈指数衰减,其半衰期为8天。今天我们手中若有1克碘-131,其2年前的质量大约是多少?
答案:约为3*1027克。
问题:想想我们居住的地球,它的质量约是6*1027克。也就是说,2年前地球的质量是今天的1.5倍!不得了,2年前的今日我正泛舟西湖,没觉得彼时天地与此时竟有这般大的不同?而今日世界上存在的碘-131当不只1克。这是怎么回事?

第3题:我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆,看看知识如何转化为财富。
经调查得知,若我们把每日租金定价为160元,则可客满;而租金每涨20元,就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
问题:我们该如何定价才能赚最多的钱?
答案:日租金360元。
虽然比客满价高出200元,因此失去30位客人,但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入;扣除50间房的支出40*50=2000元,每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。
当然,所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰,据此入市,风险自担。

第4题:你现在是不是正坐在某个房间里的计算机前,一不小心掉进了这个数学世界?听我说,你可能永远都走不出这个房间去!大约二千三百年前,希腊的一位哲人Zeno(季诺)给出如下证明。
证明:一个人要想走到门前去,就必须先走过从脚下到房门之间的距离的一半,然后还必须走过剩下的距离的一半,再走过剩下的距离的一半,......以此类推。因为距离无论多么小,总可以无限细分下去,这个过程就必须进行无穷多次,这个人岂非终其一生都走不出那道门去?
问题:哎呀不得了,快站起来走走看!我相信你如果不是被锁在屋里,终究还是能走出去的。你是怎么走过无穷的呢?

第5题:概率论助你赢老千——老千手里有3张牌,他摊开给你看:一张A,一张K,一张Q。飞快地洗过这3张牌后,他把牌面朝下扣在桌上,请你来赌哪一张是A。显然,如果你的眼睛不够快,那么赌任何一张牌都是一样,只有1/3的胜算。
待你将赌注压在一张牌上后,老千迅速偷看了其余两张牌,其中至少有一张不是A,他就把一张不是A的牌翻过来给你看。
问题:这时你有机会改变主意,把赌注压在另一张牌上。你改不改主意?
答案:改,快改,赶在老千出千换牌之前把注压在他没翻过来的那张牌上!这时你的胜算增到2/3。
当然啦,这种游戏不可以一次成败论英雄,多玩几局才见高下,毕竟你的胜算不是百分之百。

第6题:假如天上掉下个金元宝,你接不接?你不接我接着。
假如天上掉下两个金元宝,问题就不是接不接,而是怎么接?
魔盒悖论:现在天上掉下来两个盒子。

甲盒内有: 十两黄金。
乙盒内有: 万两黄金——如果老天爷猜到你只接乙盒;
空无一物——如果老天爷猜到你两盒都要;
空无一物——如果老天爷猜到你会扔硬币来碰运气。
你可以: 1. 两盒都要;或者
2. 只接乙盒。

所谓天予弗取,反受其咎,只是如何取法,大有讲究。如果你——
两盒都要:错!莫忘记老天爷无所不知,一定猜到你会两盒都要,那么乙盒中便无分文。而如果你只接乙盒,老天爷也一定猜到,便有万两黄金落下来也!所以你应该只接乙盒。
只接乙盒:错!其实无论你如何选择,金子都已经在盒子里了,乙盒中要么有万两黄金,要么空无一物,而金子不会在你打开盒子的时候突然飞走。所以你应该把两只盒子都抱在手里,就算乙盒是空的,你至少还有甲盒中的十两黄金作为安慰。
问题:你作出选择时当然有你的道理,但现在我想知道的是,我的解释有何不对?