级数趣谈

——从1+2+3+…+n谈起

在建筑工地上堆积了许多圆木条,从侧面看去它们堆积成一个三角形的样子。最顶层只有一根,第二层只有二根,第三层只有三根,……。

你想要知道这堆木料究意有多少条圆木?于是你开始计算:一、二、三、……。

可是这样计算并不太快,而且容易错误。为了能较准确和迅速得到堆积木条的总数,我们介绍一个古代中国和希腊劳动人民所知道的一个方法。但在还没讲这方法之前,请听一个著名的德国天文、物理和数学家的故事。

八岁孩子发现的数学定理

18世纪的德国出了一个大科学家高斯( Carl   Friedrich  Gauss17771855)。他生在一个贫穷的家里,父亲什么工作都做过:园丁、劳工、商人助手、杂货店的算帐员等等。母亲是一个石匠的女儿,虽然只读一点点的书,但人非常的聪明。高斯在还不会讲话时就自己学计算,在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时,还纠正父亲计算的错误。

长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献,现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。

他八岁时进入乡村小学读书。教算术的老师是一个从城里来的人,觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书,真是大材小用。而他又有些偏见:穷人的孩子天生都是笨蛋,教这些蠢笨的孩子念书不必认真,如果有机会还应该处罚他们,使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是算术教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑悒的脸孔,心里畏缩起来,知道老师又会在今天捉些学生处罚了。

“你们今天替我算从123一直到100的和。谁算不出就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

课室里的小朋友们拿起石板开始计算:“12等于333等于6  64等于10,……”一些小朋友加到一个数字后就擦掉石板上的结果,再加下去,数字越来越大,很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了,有些手心额上渗出了汗来。

还不到半点钟,小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师,答案是不是这样?”

老师头也不抬,挥着那肥厚的手,说:“去!回去再算!错了!”他想不可能这么快学生就会有答案了。

可是高斯却站着不动,把石板伸向老师面前,“老师!我想这个答案是对的。”

算术老师本来想要怒吼起来,可是一看石板上整整齐齐写了这样的数:5050,他惊奇起来。因为他自己曾经算过,得到的数值也是5050,这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?

高斯解释他发现的一个方法,这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+23+…+n的方法。高斯的发现使到老师觉得羞愧,觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的,他以后也认真教起书来,并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下,高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

古时的中国和希腊人怎样算这和

2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1121 +231234,等等为三角数(Triangular number)。他和门徒用1个圆球代表1,并且把三角数用下面的图形表示:

一般我们用Sn来表示123+…+n的值。现在要知道Sn的数目,我们可以设想有另外一个Sn(这里用白圆球来表示),把它倒放,并和原来的Sn靠拢拼合起来;我们就得到一个菱形(图二,这里n是等于4的情形),总共有n行,每一行有n1个圆球,所以全部有nn1)个圆球。这是两个Sn,因此一个Sn应该是nn1)÷2

无独有偶,中国人也是用这方法找出Sn的值。宋朝数学家杨辉,他考虑由草束堆成的尖垛,顶层是一束,从上到下逐层增加一束,如果知道底层的束数,就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是:“今有圭垛草一堆,顶上一束,底阔八束。问共几束?答:36束。”他的计算方法和以上的说明是一样的。

毕达哥拉斯和门徒们发现了三角数的一个性质:任意两个连续三角数的和是一个平方数。用图形表示是:

读者可以用公式对以上的性质给出证明。

很容易联想到的一个问题:是否122232+…+n2,以及132333+…+n3也能找到简单公式来算它们的和?

据说那个在澡堂里发现了“浮力定律”而忘记自己仍旧是赤身露体奔跑在街道上高喊着“EurekaEureka!”(我已发现了!我已发现了!)的希腊科学家阿基米德(Archimedes,公元前287—公元前212)早已知道这两个和的公式是:

122232+…+n2=nn1)(2n1)÷6

132333+…n3=12+…+n2

可是在阿基米德以后的希腊数学家想要知道142434+…+n4的和的公式,却是无能为力。这个和的公式要在1000年后11世纪的阿拉伯数学家Alhean时才知道。

我们问一个问题:对于任何m3,是否有一般的公式表示1m2m+…+nm的和呢?

法国数学家费马解决此问题

1636年法国数学家费马(PFermat)兴高采烈的给朋友写了一封信:“我已解决了在算术中可以算是最漂亮的一个问题。”他所讲的问题就是上面问的问题。

费马发现了这样的公式:

他很自然的想到,是否

令他惊奇是,结果真是如此。

他还从这里出发,得到了一个很漂亮的公式:

对于P2,以下的式子是恒等式

现在可以用这公式来解决千多年来数学家想要求出的公式。先看最简单的情形,即p2

左边的式子是可以展开写成

现在已知Σr的公式,我们代进去再化简就可以算出Σr2的公式了。

知道了Σr2的公式,再对p=3的情形考虑,由于

到Σrm的值。费马倒是很巧妙的解决这个问题。

中算家在这方面的成果

中国数学家很早就认识了等差级数,在中国最早的数学书《周髀算经》里谈到“七衡”(日月运行的圆周)的直径以19833100步×2递增,这就是等差级数。

约在公元1世纪成书的中国重要数学著作《九章算术》在《衰分》和《均输》二章里的问题和等差级数有关。

5世纪末南北朝的张丘建在他著的《张丘建算经》就有三个问题是等差级数的问题:

[题一]今有女子善织布,逐日所织的布以仝数递增,已知第一日织五尺,经一月共织39丈,问逐日增多少?

[题二]今有女子不善织布,逐日所织的布以仝数递减,已知第一日织五尺,末一日织一尺,计织30日。问共织布多少。

答:9丈。

[题三]今有某君以钱赠给许多人,先第一人给三钱,第二人给四钱,第三人给五钱,继续依次递增,钱给其他许多人。给完钱后把诸人所得的钱全部收回,再平均分派,结果每人得100钱,问人数多少?

答:195人。

唐朝和宋朝的数学家研究级数,并不是单纯追求趣味性,而是实际的需要。当时的天文学家都假定日、月、星辰在天空中的运动是等加速或等减速运动,每日经行的路程是等差级数。

比如唐朝的天文学家僧一行(683727),是世界上最早发现恒星在天上的位置会变动的天文学家。在他所著的《大衍历》里就是利用等差级数的求和公式来计算行星的行程。

宋朝时对等差级数和高阶等差级数的研究有最卓越的贡献的该是沈括(10311095),他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三类的东西推成长方台,底层排成一个长方形,以上的每层长阔各减少一个,因此他想要知道是否有简单的式子可以计算。

他看古算术书:《九章算术》的《商功》章原有长方台体积(古书称为“刍童”)的公式。用这公式来求实际的问题,常常是比原数少。因此他创造了新法《隙积法》以补“古书所不到者”。(“用刍童法求之,常失于数少,予思而得之。”)

假设长方台上底是a×b,下底是a'×b'共有n层,因为从上到下,每一层的纵横各增加一个,所以a'-a=b'-bn-1,沈括的求和公式是:

ab+(a+1)(b1)+(a2)(b2)+…+a'b'

读者如果令a=b=1a'b'n,代入以上的公式就可以得到

1222+…+n2nn1)(2n+1)÷6

沈括留给后世的《梦溪笔谈》是一部内容丰富的科学著作,里面谈到数学、天文、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医药和工程技术等,英国自然科学史家李约瑟教授对这书评价极高。而日本数学家三上义夫(Mikami Yoshio 18751950)对沈括非常推崇,他认为对古代数学来讲:“日本的数学家没有一个比得上沈括,像中根元圭精于医学、音乐和历书,但没有沈括的经世之才;本多利明精航海术,有经世才,但不能像沈括的多才多艺。如果在别国中能找到和沈括相比的数学家,那么德国的莱布尼兹和法国的卡罗,在某点上或可和沈括比较,但若一面远胜沈括,同时又多才多艺,那就谈不到了。仅有希腊的阿契泰斯,他的学识经验最能和沈括相比。总之沈括这样的人物,在全世界数学史上找不到,惟有中国出了这一个人。我把沈括当做中国数学家的模范人物或理想人物,是很恰当的。”(见《中国算学之特色》)

在沈括后,宋朝的数学家在级数研究有较好成果的,该算13世纪时的杨辉。他提出了三角垛公式:

1+(12)+(123)+…+(123+…+n)=nn1)(n2)÷6

元朝朱世杰是一个到处传授数学的教书先生,他在1299年写了一部《算学启蒙》以及1303年写的《四元玉鉴》就研究等差和高阶等差级数,特别是在后面那部著作,他扩充了杨辉的三角垛和公式,建立起属于

的公式,以及更复杂的公式。这些也是比费马早三百多年的时间。

朱世杰的书在17世纪流传到日本去,对日本数学家的级数理论的研究影响很大。反而在中国,自从朱世杰以后的400年来,级数理论却停顿着没有再发展。要到18世纪时的董祐诚和李善兰等才有一些论见。

级数理论和微积分学的产生有密切的关系,好像公式

家很早就有),可以很容易算出球体的体积公式,中国数学家很早就用几何方法来推算球体的体积。在宋元的时候中国基本上具备了产生微积分的准备条件,可惜却没有一个人能像以后的西欧的莱布尼兹及牛顿那样承先启后的工作。更糟的是在明清时中国数学却衰退起来。

原因是在那里呢?最近中国数学工作者顾今用先生认为:“中国古代数学至少自秦汉有记载以来,许多方面一直居于世界上的遥遥领先的地位,发展到宋元之世,已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件,不妨说我们已经接近了微积分大门。尽管历代都有儒法斗争,儒家思想的阻挠放慢了数学发展的速度,甚至使许多创造淹没不彰或从此失传,但我们还是有可能先于欧洲发明微积分的。然而,宋朝的程朱理学已使当时的一些优秀数学家(例如杨辉)浪费精力于纵横图之类的数学游戏,陷入神秘主义,违反了我国自古以来的优良传统,到了明朝八股取士,理学统治了学术界的思想,我国的数学也就从此一落千丈了。”(见《数学学报》18卷第1期。

我想补充的一点是:欧洲那时期本上已完成封建社会过渡到资产阶级社会的阶段,生产力的提高自然提供了许多和生产有关系的如:热学、电磁学、流体力学等的问题产生在这种情形下,旧有的数学工具是不够解决这一类问题。一种崭新而能处理变动问题的有威力的新数学就要产生。而中国还是一个古老的封建社会,生产方式不改变,就束缚了它的科学发展。

看看过去,不必怪我们明清的老祖宗不争气,他们是有着社会条件的限制。“忆古伤怀易断肠”,还是“思今图强应加鞭”来的好。

动脑筋问题

读者如有兴趣,可以考虑底下几个问题:

1.证明三角数1+2+…+n的最后一位数不可能出现2479。例如S1=1S2=3S3= 6S410S5= 15S621S7=28。这是波兰中学数学比赛出过的一个问题。

2.证明2378不会在122232+…+n2的最后一位数出现。

3.是否以上的情形会出现在级数和1323+…+n3的情况。

4.有一些三角数是平方数,如S8=62S49=352,你能证明有无穷多的三角数是平方数吗?

5.是否能找到一个公式来表示和1-23-4+…+ -1n+1