代数趣谈

——牛顿二项式定理和贾宪三角形

古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民,通过了以下的几何图形,认识了这个公式(ab2=a22abb2。它是公式(abn的特殊情形。这公式在科学上很有用。而在初中我们学到怎样算(abn,当n是较小的正整数。如:

n1 我们有(ab1ab

n2,我们有(ab2=(ab)(ab

aab)+bab

a22abb2

n3,我们有(ab3=(ab)(ab2

aa22abb2)+ba22abb2

a33a2b+3ab2+b3

是否有较快的方法,写下(abn的展开式呢?

有的,请看底下的方法,这方法的原理和上面的展开方法是一样的,但容易看出来:

我们用符号n!(读n的阶乘)来表示乘积n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1。然后用符号(nr)(这是大数学家欧拉采用的符号)

17世纪末的英国科学家牛顿(INewton)发现了二项式的一般展开式可以写成:

这结果一般数学书称为牛顿二项式定理,这是代数上的一个基本和重要的定理。

今天我们就从这个定理出发,谈谈一些数学故事。首先我们提到的是一个17世纪时科学界上的风云人物。

富有传奇色彩的帕斯卡

帕斯卡(Blaise Pascal 16231662)是法国著名的科学家,我们在中学学到的水压机原理就是他发现的。他的著名的Tori-celli实验,证明了空气是有压力,轰动法国一时。那时他才23岁。在物理上他奠立了流体静力学的基础理论。在数学上他的贡献也是不少。

帕斯卡很小的时候母亲就去世了,由在税务局工作的父亲教育他的姐姐及妹妹。父亲是一个数学爱好者,常和一些懂数学的人交往,可是他认为数学对小孩子是有害且会伤脑筋,因此孩子应该在1516岁时才学习数学。这之前就学一些拉丁文或希腊文。因此在帕斯卡小时父亲从来不教他学习数学,只是教他一些语文和历史,而且帕斯卡的身体也不太强壮,父亲更不敢让他接触到数学。

帕斯卡在12岁的时候,偶然看到父亲在读几何书。他好奇的问几何学是什么?父亲为了不想让他知道太多,只是大约讲几何研究的是图形如三角形、正方形和圆的性质,用处就是教人画图时能作出正确美观的图。父亲很小心的把自己的数学书都收藏好,怕给帕斯卡去翻动。

可是帕斯卡却引起了兴趣,他根据父亲讲的一些几何简单知识,自己独立对几何学研究。当他把他的发现:“任何三角形的三个内角和是一百八十度”的结果告诉父亲时,父亲是惊喜交集,竟然哭起来。父亲于是搬出了欧几里得的《几何原本》给帕斯卡看。帕斯卡才开始接触到数学书籍。

他的数学才能显得很早熟,在13岁的时候就发现了所谓“帕斯卡三角形”。还不到16岁他发现了射影几何学的一个基本原理:圆锥曲线里的内接六边形对边的交点共线。在他17岁时利用这定理写出了有400多个定理的关于圆锥曲线的论文。解析几何的创建人笛卡儿(Descarte)读到这论文时不相信这是一个少年所写的东西。

19岁时他为了减轻父亲计算税务的麻烦,发明了世界上最早的计算机,只有加减的运算罢了。但是所用的设计的原理,现在的计算机还是用到。

数学上的数学归纳法是他最早发现。

可是在165411月的一天,他在巴黎乘马车发生意外,差一点掉进河里去,他受惊后觉得大难不死一定有神明庇护,于是决定放弃数学和科学去研究神学了。只有在偶尔牙痛时才想些数学问题,用这个方法来忘记痛苦。

晚年他更极端,像苦行僧一样,他把有尖刺的腰带缠在腰上,如果他认为有什么不虔敬的想法从脑海出现,就用肘去打这腰带,来刺痛身体。帕斯卡不到39岁就去世了。

帕斯卡非常接近发现微积分理论。德国数学家莱布尼兹后来写道:当他读到帕斯卡的著作,使他像触电一样,突然悟到了一些道理,后来才建立了微积分的理论。

帕斯卡在法国文学上地位也很高,读者对他的生平和文学工作如有兴趣,可以找吴达元著的:《法国文学史》(商务印书馆发行)来看。

帕斯卡怎样得到他的三角形

据说帕斯卡有一天在一张纸上用1111…写了水平和垂直的数列,呈一个倒L字形。(参看图一)

然后在第二行第二列的地方,他写上第一行的第二位数加上第二行第一位数的数字和,即1+1=2。然后他再把这数加上第一行第三位的数,得到21=3,这样继续下去,到了9为止。

现在他把第三行的第一位数加上第二行第二位数,结果是3填写在第三行的第二位数里。这样他又把这个新数和第二行第三位数加在一起,把结果6写在第三行第三位数。

他一直进行这种锯齿形的加法。最后他看到的图形就是图一。他发现这个图形有一个巧妙的地方,如果从左上角到右下角的方向画一条对角线,在这对角线的二边的对字是以这轴为对称轴。

读者如果细心的话,会发现有一个以Z为一顶点的正方形,从右上角到左下角的对角线所经过的数字,恰好是牛顿二项式定理对于一个特别n展开的系数。

欧洲数学家就称这个三角形为“帕斯卡三角形”。可是后来人们发现比帕斯卡还早100年,有一个数学家名叫Petrus Apianus在他著的数学书里就有这个图了,这书是在1527年印刷。

中国人最早发现这个三角形

帕斯卡永远也不会想到中国人在他出生之前的600多年就已经知道这个所谓“帕斯卡三角形”了。

原来中国宋朝的数学家杨辉在1261年著了一部叫《详解九章算法》的书,里面有一个图(见图二),并说明:“开方作法本源,出《释锁算书》,贾宪用此术。”

我们对贾宪的生平知道的不多,而《释锁算书》早已失传。只知道他是北宋时楚衍(10221053)的学生,这样看来贾宪是比帕斯卡早600多年知道这个三角形。因此外国人称它作“帕斯卡三角形”,我们理所当然的该称为“贾宪三角形”。

贾宪为什么会发现这个三角形呢?这里倒有一点历史可以谈谈。我们知道中国古代有一部内容丰富的数学书叫《九章算术》,后来祖冲之和唐初的王孝通推广了《九章算术》中开平方和开立方的方法,求得二次方程、三次方程的正根。贾宪就是在研究开立方的问题时才发现了“增乘开方法”。我们现在中学学的开立方方法事实上就是这个方法。

贾宪的工作对后来的中国代数学家影响很大。在1247年秦九韶的《数书九章》和1248年李治的《测圆海镜》两书中,都用增乘开方法求得高次方程的正根。这个方法就是现在代数学中的所谓“和涅法”(Horners method)。和涅(WGHorner17861837)是在1819年才发现这个方法,这也比中国数学家迟了500多年。

除了杨辉的书有这个贾宪三角形,另外一本元朝朱世杰的书:《四元玉鉴》也有这个贾宪三角形的图(见插图三)。这书出版于1303年。

这个图告诉我们许多有趣的事:①到了14世纪初中国仍旧是用筹算(珠算是在这时期发明)。②中国人很早

我们是否也可以把二项式定理改称为贾宪定理?因为贾宪毕竟是比牛顿早知道这些事实。

我们以前说过日本早期的数学很受朱世杰的工作的影响,这里我们影印了一部在1781年日本出版的数学书有关于贾宪三角形的图。从这图里的筹算的记号和朱世杰的书比较就明显的看出这图是来自中国,而不是日本人发现。(见图四)

贾宪三角的一些趣味性质

帕斯卡同时期有一个法国著名数学家费马(PFermat),他对数论的问题很有兴趣,而且和帕斯卡又很友好。费马三番四次要引起帕斯卡对数论也产生兴趣,这样他们可以一起研究讨论,可是帕斯卡从来对这门数学并不在意,也从来没有做这方面的研究,结果费马只好自己继续“孤军作战”。

可是他们同时却对一个问题产生兴趣,而且一起研究,结果奠立了一门数学的基础理论。他们感兴趣的问题是:丢掷一个铜板或者一粒骰子几次,我们所期望的结果出现的机会是多大?能不能计算出来?

原来在当时欧洲的上层贵族阶级,平日不事生产,“饱食终日,无所用心”,闲来不是打鼠、跳舞作乐,就是赌博。赌博的风气是很盛的,在长期赌博的过程,人们发现这里面好像有一门“学问”,可是却不知道怎样去说明。

帕斯卡和费马研究最简单的情形:掷铜板的游戏。一个铜板只有二面:头和花。我们用英文字母T代表花,H代表头。

掷铜板一个一次出现的可能情形是:TH

掷铜板一个二次出现的可能情形是:TTTHHTHH

掷铜板三次出现的可能情形是:TTTTHTHTTTTHTHHHTHHHTHHH

在这类游戏中,我们并不关心头和花出现的次序而是它们的次数。因此我们把THHT看成是一样的,THTHTTTTH是当作相同,又如果我们把TTTTT简写成T2T3。那么我们看看掷铜板游戏的结果:

掷一次:               T           H

掷二次:             T2                  2TH       H2

掷三次:          T3                  3T2H      3TH2          H3

掷四次:T4      4T3H       6T2H2            4TH3              H4

这就出现了贾宪三角形!

我们现在定义在一个试验过程(如掷铜板游戏或投骰子等等),一个事件发生的概率(或然率或机会率Probability)是等于这件事件出现的次数和所有可能出现的事件的次数的比。这样一定发生的事件的概率是1,不可能发生的事件的概率是0。而一个事件的概率越渐近1,其出现的机会就是越大。

例如:我们掷一个铜板四次,出现二个头二个花的概率是6÷(1+4+6+4+1)。由经验我们知道这情形出现是比出一个头三个花的情形多得多。

费马和帕斯卡就是由这些赌博游戏建立了一门数学“概率论”(Theory of Probability)的基础理论。这门数学是有很大的应用价值,如在预报地震就有用到它。

贾宪三角形和牛顿二项式定理曾经是以前许多数学家研究的对象,到现在还有很多问题可以研究。

首先从二项式系数可以推广到复数的情形来定义:

清朝的李善兰(18111882),就有一个很有用的结果:对于任何实数或复数xy,以及正整数n,恒有:

挪威19世纪的最伟大也是生活最潦倒的数学家阿贝尔在1826年推广了牛顿二项式定理,他的结果是:

z=0时,就是二项式定理。这个证明是相当的难。

在近年一些数学家证明了在贾宪三角形里有这种“星的性质”:如

读者可以从贾宪三角形里验证。

“伯努利公式”和古代的“招差术”

17世纪末的瑞士数学家伯努利(Bernoulli)发现了一个公式,在求高阶等差级数的和时,效用很大。这公式和二项式系数有关系。

如果fx)是x的实函数,那么fx+1-fx)称为fx)的差分,用△fx)表示。△fx)是一个实函数,我们也可以再求它的差分,这差分就叫做fx)的二级差分,用△2fx)表示,因此

2fx=[fx+1-fx]

=fx+2-2fx+1+fx

我们又用△3fx)来表示△2fx)的差分,叫做fx)的三级差分;显然有

3fx=fx+3-3fx+2+3fx+1-fx

依此类推,我们有了△r-1fx)这函数,就可以定义fx)的r级差分△rfx),它是△r-1fx)的差分。而且我们有公式:

-1rfx

伯努利的求和公式是这样:对任一函数fx),则

这个公式的好处是:如果fx)是一个 m次多项式,则对于一切x而言,△m+1fx=0,因此不论 n是怎么样大的数,以上的求和公式只包含m+1个项,计算起来很简便。

14+24+34++n4的和的公式。

我们从前面的文章知道这公式是欧洲的数学家花了将近一千年的时间才找到的,现在我们很容易就可以算出来。

我们先列出逐差表:

f1),f2),f3),f4)…,fk-1),fk

f2-f1),f3-f2),…,fk-fk-1

f3-2f2+f1),…,fk-2fk-1+fk-2

从第二行开始,每一行左边角落的数分别是△f1),△2f1),…。

在这题我们的函数是fx=x4,它的逐差表可以写成:

的大数学家都算不出来。你现在会感觉到伯努利的求和公式是非常有用的吧!可是你不会想到这个方法,事实上是我们祖先在研究天文时所发现出来的“招差术”,这发现距今有1300多年的历史了!

根据中国数学史家李俨的《中国算学史》,在隋朝时的刘焯(544610),在《皇极历》内创造了“招差术”。

到了元朝王洵、郭守敬等撰的《授时历》法用到了招差术推算太阳按日经行度数和月球按日经行度数。

我们在前面谈到过的比费马在级数研究还有深入贡献的中国数学家朱世杰,在他的书《四元玉鉴》里也是用招差术来解决高阶等差级数的求和问题。我们举一个实际的例子来看。在这书里有一个问题是这样:

“今有官司依立方招兵,初(日)招方面三尺,次(日)招方面较多一尺……已招二万三千四百人。……问招来几日?”

第一日招兵33=27人,第二日招兵43=64人,第三日招53=125人,等等,问几日共招到23400人?

朱世杰用招差术先算出fx=x+23的逐差表:

这里f1=27,△f1=37,△2f1=24,△3f1=6

4f1=0,因此如果第n日的总人数是Sn,则我们得公式

现在令Sn=23400,上式就可以转化成n的一个四次方程,朱世杰用增乘开方法求得n=15

中国古代的数学家的确是在数学上作出了很多重要的贡献。就以杨辉和朱世杰在代数的研究来讲比欧洲的数学家还深入,而且他们也是在学习了先辈的数学著作后,再加以发挥创新。

我们现在学习一点中国数学史,并不是要钻牛角尖去考证:“我的本家以前还是怎么样怎么样”,重要的是不要数典忘祖,被外国的权威误导,以为以前我们样样都不如人。知道我们祖先的成就,再学习一些先进方法,相信在“戒骄戒躁,不亢不卑”的作风下定能迅速进步。

动脑筋与学习

这里我们提供了一些数学问题,供给一些自学的青年、对数学有兴趣的人士以及中学教师作为辅助教材。

1)学习华罗庚著的《从杨辉三角谈起》这小册子。里面有丰富的材料和趣味的例子。

2)挪威数学家阿贝尔(HAbel)在182384日从哥本哈根写信给他的老师洪波特谈他在数论及分析上的一些新成果。在信上

3)试用招差术证明清朝陈世仁(16761722)所发现的一个数学公式

12+32+52++2n-12=n4n2-1)÷3

4)证明

5)证明

6)从以上的45题的结果,你能找到一个一般的公式吗?若是能够试试找出一个巧妙的证明,再告诉我好吗?

7)证明

8)证明

9)证明下面元朝数学家朱世杰的一个结果,对于任何正整数m

10)对于任何整数n,我们有下面巧妙的结果:

11)罗马尼亚的数学比赛曾经出过下面的问题:对于任何正整数mn,我们恒有这个公式:

12)在前期我们介绍过的宋朝杰出的科学家沈括发现过的一个高阶等差级数的求和公式:

ab+a+1)(b+1+a+2)(b+2++ab=[2a+a')b+2a+ab+a-a]×h÷6

这里a-a=b-b=h-1。你试试用招差术来证明沈括式子是正确的。