你也可以发现数学定理

——有生活的地方就有数学

相信很多人都会有这种印象:数学是一门深奥的科学,除了在学校和课本可以念到外,在实际生活中很少看到它,而且在日常生活中,除了加减乘除外,就很少用到它。

对于喜欢数学的人,他们在读到一些数学家的传记,或者关于他们的发现,往往会产生这样的想法:这些人真的很聪明,如果不是天才怎么会发现这些难得的定理或理论呢?

这些看法和印象并不全部正确。今天我想告诉你的就是如果有天才的话,你也是一个天才。只要你有了一些基础知识,你懂得一些研究的方法,也可以作一点研究,也会有新发现,数学并不是只有数学家才能研究的。

有生活的地方就有数学

人类靠着劳动的双手创造了财富,数学也和其他科学一样产生于实践。可以说有生活的地方就有数学。

你看木匠要做一个椭圆的桌面,拿了二根钉钉在木板上,然后用一条打结的绳子和粉笔,就可以在木板上画出一个漂亮的椭圆出来。

如果你时常邮寄信件,在贴邮票时你会发现一个这样的现象:任何大于7元的整数款项的邮费,往往可以用票面值3元和5元的邮票凑合起来。这里就有数学。

如果你是整天要拿着刀和镬铲在厨房里工作的厨子,看来数学是和你无缘。可是你有没有想到就在你的工作也会出现数学问题。奇怪吗?事实上是不奇怪的。

比方说,你现在准备煮“麻婆豆腐”,你把一大堆豆腐放在砧板上,如果你不想用手去动豆腐,而想一刀刀切下去把豆腐切出越多块越好。那么在最初一刀,你最多切出二块,第二刀你切出四块,第三刀你最多可以切出多少块呢?你切了第五刀最多能切出多少块呢?这里不是有数学问题吗?你会惊奇有一个公式可以算出第n刀得出的块数。

我们每天或多或少都会和钱打交道。你可能也会注意到这样的现象:任何一笔多于6元的整数款项可以用2元硬币及5元纸币来支付。

不是吗?7元可以用一张2元和一张5元的纸币来支付,8元可以用四张2元纸币,9元可以用二张2元纸币和一张5元纸币去支付。一般情形怎么样呢?

你说这不是很容易吗?如果钱数是偶数的话,我只要用若干张2元去应付就行了,如果是奇数的话,我只要先付一张5元钞票,剩下的是偶数款项,当然就可以用2元纸币去处理。是的,这里你就用到了整数的性质。

从这些例子你可以看到数学是在日常生活中是有用的,如果你细心的话,以后你会发现就在你工作的地方会有一些数学问题产生。

发现数学定理的秘诀

数学家是怎样发现数学定理呢?他们是否有一个秘诀?如果能知道那是多好啊!

是的,这里有一个秘诀,下面的一个真实故事就会告诉你秘诀是在哪里?

在中国湖南省的一个农村生产队,在1964年以前禾苗年年受到虫害,粮食老是不够,亩产最多是五百多斤。

那里的虫害最厉害的是一种叫蚁螟的虫,它们能使稻枯心,农民最初看到禾苗出现白线子才喷药。可是农药喷了,虫却没治好。有一个农民看到这种情形,他决定要想法子根治这种虫害,可是有人却认为他文化低,不可能做出这样的事来?但是他不理会这些意见。当第一代的螟蛾生出后,他就守在田边观看,看蛾子如何产卵,发现卵块的地方就插标记,记下产卵日期,看它什么时候孵化。不管刮风下雨,日夜不离田边,终于揭开了秘密。掌握到了这种虫的生长规律,于是就有法子消灭它。以后也控制了其它虫害,粮食亩产到目前增至一千二百多斤。

许多人承认在科学上的发现和发明:如物理上的落体定律,化学上的合成胰岛素,链霉素,在生物上的发现遗传规律,在医学上用针灸医治聋哑病症者,都是需要依靠实验和观察。我说数学上的发现也是靠观察得来的,读者不是会觉得奇怪吗?

数学是研究一些数、形、集合、关系和运算的性质和变化的规律,人们是怎样知道这些性质和规律呢?

是不是像一些宣传宗教的小册子讲,连那大名鼎鼎的17世纪的英国科学家牛顿,也是因为他很虔诚,为上帝所宠爱,让一个苹果在他头上掉下,启发他发现物理上的《万有引力定律》?人的活动是上帝在操纵吗?

让我们看一看 18世纪的一个大数学家欧拉(Leonard Euler17071783)的一些意见吧!

欧拉在他的一篇:《纯数学的观察问题》的文章里写道:“许多我们知道的整数的性质是靠观察得来,这发现早已被它的严格证明所证实。还有很多整数的性质我们是很熟悉的,可是我们还不能证明;只有观察引导我们对它们的认识。因此我们看到在数论——它还不是一个完整的理论中,我们可以寄厚望于观察:它能连续引导我们新的性质,我们较后尝试证明。那类靠观察而取得的知识还没有被证明,必需小心的和真理区别,像我们通常所说它是靠归纳所得的。我们看过单纯的归纳会引起错误。因此我们要非常小心,不要把那一类我们靠观察而由归纳得来的整数的性质当为正确无误。事实上,我们要利用这发现为机会,去研究它的性质,去证明它或反证它,这两方面我们都会学到有用的东西。”(见《欧拉全集》第二册)

欧拉是瑞士人,一生大部份时间是在俄国和德国的科学院度过,对这两个国家特别是俄国的数学发展有很大的贡献。他是最多产的数学家,他在生之日已出版和发表五百多本书和文章,死后还留下二百多篇文章未发表,以及一大堆不太完整的手稿。

他的工作涉及的范围很广,单是数学就包含了当时的数学的差不多所有的分枝,在物理、天文、水利等等一些较有实用的科学他也作出过贡献。

1909年开始瑞士的自然科学会,准备出版他的全集,他的全集到现在还没有出完,他留在列宁格勒(现改名为圣彼得堡)的一大堆手稿,因为内容太多,到现在还要花许多时间和气力去整理。

为什么欧拉能作出这样多的发现呢?在那篇《纯数学的观察问题》的文章里,他已告诉了你一个秘诀,就是:“依靠观察得来的。”事实上欧拉也是一个善于观察的数学家。

发现的工具是归纳和类比

18世纪的法国有一个农民家庭出身的数学家和天文学家——拉普拉斯(PierreSimon de laplace 17491827)。拉普拉斯是现代概率论的奠基者之一。学物理的人对他很熟。

他有一个很好的品德,就是对于年青一代的数学家当作自己的孩子,帮助他们和鼓励他们。有一些人的发现事实上是他早在几十年前就得到了,但他也是把这发现的荣誉让给年青人而不是自己占有、或者像一些所谓“专家”对这些新生的力量,在妒忌之余,加以阻挠打击。

拉普拉斯在关于概率论的哲学问题的一篇文章里曾经指出:“在数学这门科学里,我们发现真理的主要工具是归纳和类比(induction and analogy)。”这里他指出了发现数学定理的一个方法。

我们这里就举一些实际的例子来说明:

1)我们看到等腰直角三角形的全部内角和是180°,正三角形的内角和也是180°,在对几个三角形我们用量角器来量,得到的和也是180°。我们把这些现象归纳起来得到了这样的结论:“任何三角形的内角和是180°。”事实上,这结论是对的。

2)我们知道三角形是三边组成,它的内角和是180°;四边形的内角和是 2×180°;五边形的内角和是 3×180°;六边形的内角和是4×180°。类似的我们得到七边形的内角和是5×180°,因此我们由这些特殊的例子反映出来的事实,猜测了一般的情况会是这样:一个凸的 n边形,它的内角和是(n-2)×180°。

3)我们知道1=1

1-2=-1

1-2+3=2

1-2+3-4=-2

因此你会猜到1-2+3-4+5应该是3,一看果然如此,你有信心接着猜下去的1-2+3-4+5-6应该是-3。由这一些特殊的例子你猜想:

这样你就归纳了一些特殊例子的共同性质,你看到了一些的规律,由这里你推广到一般的情形。

学会推广(generalisation)是一个很重要的发现过程。可是就像法国近代的大数学家庞加莱(Henri Poincaré 18541912)在他的名著:《科学与假设》(Science and Hypothesis)里所说的:“任何的推广只是一个假设,假设扮演(发现的)必要的角色,这是谁都不否认,可是必须要给出证明。”

那么你怎么样证明你所发现的认为是对的数学定理呢?这就很难回答了。不过我知道有一个方法通常数学家常用来证明他们发现的东西,而且有时候反而是最简单方便的证明呢!

这个方法就是我们上期提到的最早由法国数学家帕斯卡所发现的《数学归纳法》。

数学归纳法

数学归纳法是一个很有用的数学证明方法。这个方法的正确性是根据整数集合的一个性质,我们在数学上把这性质叫作“数学归纳法公理”。

如果我们有一个整数a,它可以是正数、负数或零都行,A是所有大于或等于a的整数集合。数学归纳公理是这样说:如果SA的一部分,具有下面的二个性质:

(一)S包含a

(二)对于任何在A的整数k,如果k是在S里面,那么k+1一定也是在S里面。

那么集合S是等于A

数学家就是喜欢讲一些令一般人听来有点难以理解和抽象的东西。其实这个数学归纳法公理四岁的小孩子早就懂得应用了。

你看有一些小孩子收集了人家丢弃的香烟盒,他们懂得把这些香烟盒拿来做一种游戏:把它们竖立排成一行长列,它们之间的距离是使到一个倒下去时会连贯的一个一个的挨倒下去。这样如果我们把竖立着的香烟盒行列当成是上面讲的A,第一个最前面的香烟盒当作小a,用S代表倒下去的香烟盒,那么只要第一个推倒下去,它就会推倒第二个,而第二个倒下又会推倒第三个,这样继续下去最后全部香烟盒都倒下来,因此A=S。这不是很容易明白吗?

现在让我们看看什么是数学归纳法原理?

给出一个整数集合A,这里是所有的整数大过或等于一个固定的整数a。以及一个数学命题如:对于任何在An我们有Tn)。我们可以用下面的方法证明这个命题:

1)对于aTa)是正确的。

2)如果对于任何在A里的k,由假设Tk)的正确性可以推导到Tk+1)的正确。

那么这整个命题是对的。

我们还是举实际的例子来说明怎么样应用这数学归纳法:

1  任意凸n边多边形,它的内角和是(n-2)×180°。

证明  这里我们的a=3,我们的A={n是整数:n3}

命题是Tn):凸n边形内角和=n-2)×180°。

n=3时,T3)是正确的。因为任意三角形的内角和是180°。

现在假定在n=k时,Tk)是正确,即任意凸k边形的内角和是=k-2)×180°。我们要推证 Tk+1)也是对的,给出任意一个 k+1边形A1A2A3AkAk+1我们将A1Ak联成一直线,这样我们得到一个凸k边形A1A2Ak,由假定它的内角和是(k-2)×180°。这 k边形的内角加上三角形A1AkAk+1正好是凸(k+1)边形的内角的和;因此k+1边形的内角和是等于(k-2)×180°+1×180°,即(k-1)×180°,因此Tk+1)也是正确。

由数学归纳法,我们知道以上的命题是正确的。

2  求证对于任何非负整数2xx+1

证明  这里a=0A={所有的整数nn0}一命题是Tn);2nn+1

n=0时,我们看到20=10+1,故T0)是正确的。现假定当n=k时,我们有2kk+1,即Tk)是正确的。对于n=k+1,我们看到

2k+1=2·2k

=2k+2k

≥(k+1+k+1

≥(k+1+1

因此Tk+1)也是正确,所以由数学归纳法知道,这不等式恒成立。

3 你看到13=1

13+23=1+8=9=32

13+23+33=1+8+27=36=62

13+23+33+43=1+8+27+64=100=102

因此你容易猜想到13+23+33++ n3的和是一个完全平方,你注意到13610,…是三角数(见本书《级数趣谈》一文),而它的一般项可以写成 nn+1)÷2

因此,很自然地就会猜到:

我们可以用数学归纳法来检验这样的猜想是否正确。

在这里我们的a=1

A={所有的整数:n1}

命题Tn)是

现在假定当n=k时,我们有Tk),对于n=k+1时,我们看到

所以命题也是对的,因此由数学归纳法,我们证到我们的猜想是正确的。

学会联想和类比

这里我也要讲一个故事,这和数学上的发现有类似的关系:

在长江畔的炼铁厂,工人在修罐库里忙着砌新的和修坏的铁水包子——这是有房子那么高圆鼓鼓的铁家伙,里面可以装一百吨铁水,少了它高炉就出不了铁。

可是砌一个铁水包子要四千多块耐火砖,砖多砖缝多,容易出事故。包子是圆形的,耐火砖却是长方形的,砌砖的时候还要临时加工,又费时间又伤料。而且耐火砖要砌得好像用砂石磨过似的光滑平整,砖缝密得用刀片也插不进,这真是不容易啊!

有没有更快捷的方法,重要的是想法在技术上革新。工人们联想到铁包子圆鼓鼓的像一个大西瓜,如果照包子的形状设计圆弧形的砖,问题不就解决了?而且如果把砖头设计得大一些,一块顶它十几块长砖,砌起来又快,砖缝又少,那不是省事和安全些。如果在包子的尾部用的砖,干脆像西瓜皮一瓣瓣那样,只要七、八块,往包子里一吊一拼,一个圆底就很快出来了。

试验是成功了,结果十几个人可以顶几十个人的工作,而且省时省料,这真是一项技术革新!

在数学上有许多发现也是靠类比和联想得来的。我这里举一些实际的例子来说明:

1  在几何上我们知道:“一点是无大小的东西”我们说它组成零维空间,我们用T0来表示一点空间。

如果在一点之外有另外一点,我们把这二点联起来,我们得到一个一维的单形(one dimensional simplex),我们用T1来表示,它是一个线段。

我们在T1以外的一个点,而且这点不坐落在这线段延展出去的直线,我们把这点和T1的所有的点联起来,我们就得到一个三角形面,是一个二维的单形(two dimensional simplex),我们用T2来表示。

我们现在在T2的空间外取一点,并把这点T2的所有的点联结起来,我们就得到了一个在三维空间的四面体(tetrahe-droid),我们用T3来表示。(见下图)

现在我们来研究T0T1T2T3的边缘(boundary)的性质:T1的边缘是由二个端点组成,T2的边缘是由三个顶点及三个线段组成,T3是由四个顶点和六个线段及四个三角面组成。

现在我们列一个表:

读者如果看过上期的关于贾宪三角形的文章,你们会马上发现以上的表是和贾宪三角形有关系,事实上是它的一部份。

因此你会想如果在四维空间,我也可以找到一个叫T4的图形,它应该是有5个顶点,10个边,10个面,和10个四面体做边缘。事实上,这是存在的,可惜在三维空间不能表现出来。

你看,你用联想和类比发现了一个拓扑学(Topology)上的单形。

2  人类认识的过程是由简单发展到复杂。在初中我们学习几何最初是局限在平面上的几何图形:先认识点、线,然后由线围成的三角形、正方形、长方形、四边形、梯形及多边形等等。

点是零维空间,线和曲线是一维空间,平面是二维空间,是较简单的几何空间,当几何发展到三维空间时,由于几何图形的多样化,内容就比平面几何丰富和多姿多采。

是否在低维成立的理论可以推广到高维呢?答案是:可以也不可以。因为有一些是可以,但有一些是行不通了。

在平面几何上我们学习到了最早由中国人发现的重要定理——商高定理。是否可以在立体几何上找到一个类似商高定理的东西呢?

首先我们想一想在三维空间有什么几何图形是非常类似平面上的直角三角形。

你说这不是很容易吗?四面体就可以看成三角形的推广,那么既然直角三角形是一种特殊的三角形,我们要找的四面体也是一个特殊的四面体。

非常好!你这样的考虑是对头了。是怎样的特殊法呢?你看直角三角形顶点张出的角度是直角,我们是否可以考虑一个四面体,它的一个顶点,对着其他三边张出的角度都是直角。

读者如果是在房里或者课室看到本文此段时,你可以抬头看看你前面的墙脚,你想像一个平面把墙脚的三个互相垂直的边一截,就可以得到这个特殊的四面体了。

如果这还是太抽象的话,你可以拿一块豆腐,就在它的一角斜切,你就得到一个很形象的四面体。

现在我们看商高定理谈的是有关直角三角形边缘的性质,如果能推广这定理到“直角四面体”,这定理也将是关于它的边缘的性质,现在你猜想是这个四面体的三个三角形的面积和顶点对面的三角形的面积的关系。

这样的想法是有道理。

我们现在用△AOB来表示三角形AOB的面积。如果商高定理能推广到“直角四面体”,那么这定理的表达样子应该是:

(△AOB2+(△BOC2+(△COA2=(△ABC2这个样子吧!

可能你又会想到三角形是二维几何图形,所以在商高定理,我们是勾、股、弦的平方。现在我们是在三维空间的四面体,应该考虑的是面积的立方。这个想法很好,所以可能推广的定理表达式是:

(△AOB3+(△BOC3+(△COA3=(△ABC3

现在你找实际的特殊例子来验算,你会发现到立方的表示式是不对,而平方的表示式却成立!这样只有是平方表示式是可能对的。

事实上,商高定理是可以推广而在三维空间,它的样子就是上面的平方表示式。

我们通过了这一些例子,你现在可以初步体会到怎么样发现问题,怎么样考虑问题。

有没有灵感这个东西

很多人时常把一些发现归于灵感(inspiration)的来临。而一些诗人也常说他们的诗是在灵感来后才写出来的。

印度自学成功的数学家拉玛奴江(Ramanujan),他常常说他的数学发现是由于在梦中印度天神给他灵感而得到的。这实在有趣。

我的一个亲戚很迷信,记得他时常要拉左邻右舍,远亲近友去教堂听道,去信教。我少年时,他跑来对我说:“唉呀!你应该信××呀!××是万能的,你忠心他他就会赐福给你。你喜欢数学吗?他就会赐智慧给你,给你灵感,你会发现大定理,你会出名呢!”这也是很有趣,可能我不想出名,到现在还没有信教。

我不知道美国的发明家爱迪生是不是虔诚的教徒,上帝是不是对他特别宠爱。可是他却讲过一句话:“天才是百分之一的灵感和百分之九十九的流汗。”他这句话还是比较有意义。

我相信:“天上没有玉皇,地上没有龙王”,你要认识一件事物,你要改天换地,必须靠双手大脑去实践去劳动,凭空靠坐下来胡思乱想,靠烟酒刺激品等刺激,就能获得你期望的东西,就能使山川改变,那就像守株待兔那个古代蠢人。

在数学也是一样,你要有所发现有所创造,你必须学习,积累了一些知识,你还要去实践,经过一番劳动你才能有收获的。一些提“天才论、灵感论”的人,只不过是想把数学神秘化,让一般人像“敬鬼神而远之”。

在旧时代数学只是几个人研究的专利品,一般人不知道那是什么东西,更谈不上应用。而现在在“普及上提高”的政策下,在神州数学之花遍地开,一些老大娘还应用数学的方法来改进她们的家庭手工业的生产,数学是回到群众的手中,而它也将会蓬勃的发展起来。

动脑筋 想想看

这里的问题有一些容易,有一些难。读者可以拿来练习,第一次不会做不要紧,慢慢你会想到解决的方法:

1.用数学归纳法,证明

对于任何n132n-1能被8整除。

2.在自然数列里12345,…,我们任意取四个连续整数乘起来,然后加上1,例如:

1×2×3×4+1=25=52

2×3×4×5+1=121=112

3×4×5×6+1=361=192

我们看到几个例子的结果是一个平方数,最初几个例子的51119还是素数。是否用以上方法得到的数都是一个素数的平方呢?

3.观察1=1

1-4=-1+2

1-4+9=1+2+3

1-4+9-16=-1+2+3+4

你可以看出底下会有怎么样的规律呢?你能不能证明你发现的规律?

4.将奇数数列135791113,…排成下面的金字塔形

你可以发现它的一些规律吗?

513世纪时的中国数学家杨辉,提出了三角垛公式

1+1+2+1+2+3++1+2+3++n

=nn+1)(n+2)÷6

你利用以上的结果,和观察下图,试求出

12+22+32++n2的一般公式。

12+22+32+42+52