“数学王子”高斯

——被誉为“数学王子”的德国大数学家,物理学家和天文学家

1979430日是德国大数学家高斯(Carl Friedrich Gauss17771855)诞生202周年。在去年这个时候,德国政府准备发行新的五马克纪念盾币,上面就有高斯的像,以纪念这位1819世纪德国最伟大、最杰出的科学家。

如果单纯以他的数学成就来说,很少在一门数学的分支里没有用到他的一些研究成果。

贫寒家庭出身

高斯的祖父是农民,父亲除了从事园艺的工作外,也当过各色各样的杂工,如护堤员,建筑工等等。父亲由于贫穷,本身没有受过什么教育。

母亲在34岁时才结婚,35岁生下了高斯。她是一名石匠的女儿,有一个很聪明的弟弟,他手巧心灵是当地出名的织绸能手。高斯的这位舅舅,对小高斯很照顾,有机会就教育他,把他所知道的一些知识传授给他。而父亲可以说是一名“大老粗”,认为只有力气能挣钱,学问这种捞什子对穷人是没有用的。

高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事。他说他在还不会讲话的时候,就已经学会计算了。

他还不到三岁的时候,有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数,最后长叹的一声表示总算把钱算出来。

父亲念出钱数,准备写下时。身边传来微小的声音:“爸爸!算错了。钱应该是这样……”

父亲惊异地再算一次,果然小高斯讲的数是正确的。奇特的地方是没有人教过高斯怎么样计算,而小高斯平日靠观察,在大人不知不觉时,他自己学会了计算。

另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小时就有很快的计算能力。当他还在小学读书时,有一天,算术老师要求全班同学算出以下的算式:

1+2+3+4++98+99+100=?

在老师把问题讲完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050,而其他孩子算到头昏脑胀,还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。

高斯的家里很穷,在冬天晚上吃完饭后,父亲就要高斯上床睡觉,这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书,他往往带一棵芜菁(Turnip)上他的顶楼去。他把芜菁当中挖空,塞进用粗棉卷成的灯芯,用一些油脂当烛油,于是就在这发出微弱光亮的灯下,专心地看书。等到疲劳和寒冷压倒他时,他才钻进被窝睡觉。

高斯的算术老师本来是对学生态度不好,他常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。现在发现了“神童”,他是很高兴。但是很快他就感到惭愧,觉得自己懂的数学不多,不能对高斯有什么帮助。

他去城里自掏腰包买了一本数学书送给高斯。高斯很高兴和比他大差不多十岁的老师的助手一起学习这本书。这个小孩子和那个少年建立起深厚的感情,他们花许多时间讨论这里面的东西。

高斯在11岁的时候就发现了二项式定理(x+yn的一般情形,这里n可以是正负整数,或正负分数。当他还是一个小学生时就对无穷的问题注意了。

有一天高斯在走回家时,一面走一面全神贯注地看书,不知不觉走进了布伦斯维克(Braunschweig)宫的庭园。这时布伦斯维克公爵夫人看到这个小孩那么喜欢读书,于是就和他交谈,她发现他完全明白所读的书的深奥内容。

公爵夫人回去报告给公爵知道,公爵也听说过在他所管辖的领地有一个聪明的小孩的故事。于是就派人把高斯叫去宫殿。

费迪南公爵(Duke Ferdinand)很喜欢这个害羞的孩子,也赏识他的才能,于是决定给他经济援助,让他有机会受高深教育,费迪南公爵对高斯的照顾是有力的,不然高斯的父亲是反对孩子读太多书,他总认为工作赚钱比去做什么数学研究是更有用些,那高斯又怎么会成材呢?

高斯的学校生涯

在费迪南公爵的善意帮助下,15岁的高斯进入一间著名的学院(程度相当于高中和大学之间)。在那里他学习了古代和现代语言,同时也开始对高等数学作研究。

他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的作品。他对牛顿的工作特别钦佩,并很快地掌握了牛顿的微积分理论。

哥庭根大学在德国很有名,它的丰富数学藏书吸引了高斯。许多外国学生也到那里学习语言、神学、法律或医学。这是一个学术风气很浓厚的城市。

高斯这时候不知道要读什么系,语言系呢还是数学系?如果以实用观点来看,学数学以后找生活是不大容易的。

可是在他18岁的前夕,现在数学上的一个新发现使他决定终生研究数学。这发现在数学史上是很重要的。

我们知道当n3时,正n边形是指那些每一边都相等,内角也一样的n边多边形。

希腊的数学家早知道用圆规和没有刻度的直尺画出正34515边形。但是在这之后的2000多年以来没有人知道怎样用直尺和圆规构造正11边、13边、14边、17边多边形。

还不到18岁的高斯发现了:一个正n边形可以用直尺和圆规画出当且仅当n是底下两种形式之一:

1n=2k  k=23,…

2n2k×(几个不同“费马素数”的乘积)

k012,…

“费马素数”是外表像Fk=22k+1的素数。

17世纪时法国数学家费马(Fermat)以为公式Fk=22k+1,在k0123,…给出素数。

事实上F0=3F15F2=17F3=257F4=65537都是素数。在1732年欧拉(Euler)发现F5有一个因子641所以F5不是素数。目前我们知道的费马素数只是F0,…,F4五个。是否还有其他费马素数,或者费马素数是有限还是数学上未解决的问题。

高斯用代数方法解决了2000多年来的几何难题,而且找到正17边形的直尺与圆规的作法。他是那么的兴奋,因此决定一生研究数学。据说,他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正17边形,以纪念他少年时最重要的数学发现。

1799年高斯呈上他的博士论文,这论文证明了代数一个重要的定理:任何一元代数方程都有根。这结果数学上称为“代数基本定理”(Fundamental theorem of algebra)。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明,可是没有一个证明是严密的。高斯是第一个数学家给出严密无误的证明。高斯认为这个定理是很重要的,在他一生中给了一共四个不同的证明。高斯没有钱印刷他的学位论文,还好费迪南公爵给他钱印刷。

20岁时高斯在他的日记上写,他有许多数学想法出现在脑海中,由于时间不定,因此只能记录一小部分。幸亏他把研究的成果写成一本叫《算学研究》(Disquistiones Arithmeticae),并且在24岁时出版,这书是用拉丁文写,原来有八章,由于钱不够,只好印七章。

这书可以说是数论第一本有系统的著作,高斯第一次介绍“同余”(Congruent)这个概念(现在的中学“新数学”就有教这玩意儿)。而且还有数论上很重要的高斯称为“数论的酵母”的“二次互逆定理”(Law of Quadratic reciprocity)。这定理是描述一对素数的美丽关系,欧拉和勒让得知道这些关系,但没有法子证明。高斯在18岁时重新发现并给了第一个证明,他认为这是数论的“宝石”,一生给出五个不同证明。

在天文学上的卓越贡献 

24岁开始,高斯放弃在纯数学的研究,几年专心搞天文学。许多朋友认为他是在浪费他的才能,可是他们哪里知道高斯不能在大学找到工作,而他又不愿意永远靠费迪南公爵的恩赐过日子,因此他选择报酬不错、而且比较稳定的职业,成为专业天文学家。

他最初研究月球的运转规律,他的方法和公式是和欧拉的不同。可是后来有一件事吸引他的注意,因此显示出他的才华出来。

原来在1776年,一个德国数学家提丢斯(JTitius)发现太阳和行星距离的经验规则:如果把数列03612244896192,…写下,这个数列是这样构造的:从第三项开始,以后的每项是前面的数的两倍。然后把这数列每项逐项加上4,我们得到数列4710162852100196等等。

提丢斯和天文学家波得(JBode)发现这些数接近水星、金星、地球、火星、木星、土星到太阳的距离的比。可是在当时在位置28的地方却没有行星。

到了1781年,英国天文学家威廉·赫歇耳(WHerschel)发现了天王星位置在196的地方。因此根据提丢斯—波得定则,人们猜测在28的地方应该有些星还未被发现。

1801年的新年晚,意大利的巴勒摩的天文学家发现在28的位置有一颗新星,它被命名为“谷神星”(Ceres),现在我们知道它是在火星和木星之间的几千个小行星组成的小行星带(As-teroid belt)的一颗小行星。可是当时欧洲天文学家之间意见分歧不一,有人说这是行星,有人认为这是彗星。

必须继续对这新星观察才能判决,可是当人们想要观察时,它却杳然失去踪影。

如果能知道这颗星的轨道就好办了。可是一开始人们就不知道它的轨道是圆,还是椭圆或是抛物线,决定它的实际轨道是个很困难的问题。在这颗星发现后的六个月,天文学家还不能决定它的轨道是怎么样子。

高斯这时对这个问题产生兴趣,他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题,由于用以前的天文学家的方法来找是太麻烦,高斯自己独创了只需要三次观察就可以用来计算星球椭圆轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。人们利用他的方法去算,果然准确无误地找到谷神星所在的位置!

1802年人们又用他的方法准确地找到小行星二号——智神星(Pallas)的位置,而且人们利用他所发现的方法可以计算彗星的轨道,只需要一两小时的时间,而旧的方法却需要三、四天才能完成。

高斯这时的名声远传国外,他的数学才能没有一个天文学家和数学家能匹敌的。这时荣誉滚滚而来,俄国圣彼得堡科学院选他成会员,并且要他成为它的天文台主任。当这消息传到费迪南公爵的耳朵,他觉得不能让本国的人才跑到俄国去工作,于是主动提高高斯的年薪,并且保证在布伦斯维克建一个天文台给他。

高斯把他的研究方法以及星球的摄动(Perturbation)理论写在:《天体运动理论》一书里。

18211823年,他用他在17941795年发现的“最小二乘法”(Method of least squares)这种基本数学方法来处理一些观察数据。而且为了用积分解天体运动的微分方程,他考虑无穷级数,并且研究级数收敛的问题。在1812年他研究超几何级数(Hyper geometric series)并且把研究结果写成专题论文呈给哥庭根的皇家科学院,在数学上这是很重要的工作。

高斯后来成为哥庭根的天文台主任,他有一个助手是光学仪器商,他的职务之一是带一些访客参观天文台,并作通俗讲解,以及让他们用望远镜看看天象。有一次一位女观众问这助手:地球和金星的距离是多远?这助手回答:“我不能告诉您,夫人!高斯先生负责天空上的数学,而我只注意天空的美丽。”

事实上,高斯的计算能力是惊人的,在没有计算机的帮助,他有时需要算到小数点后20多位数。而后来人们发现他的计算很少有错误。

比方说,天文学上的一个基本单位高斯常数k。这是在天体力学的“二体问题”的公式中出现:

这里mSmEmL分别是太阳、地球、月球的质量,P是月地系统绕日的椭圆轨道上的周期,a是以上轨道半长轴的长,π是圆周率。高斯准确地算出k0.01720209895

在测地学和电磁学上的贡献

1820年到1830年之间,高斯为了测绘汗诺华(Hanover)公国的地图,他开始搞测地的工作。他测量哥庭根的阿多那(Altona)的子午线。他写了关于测地学的书,由于在测量时的需要,他发明了日观测仪(Heliotrope)。

为了要对地球表面作研究,他开始对一些曲面的几何性质作研究。在1827年写了《曲面的一般研究》一书;现在大学念的“微分几何”有大部分的材料是源自高斯的发现。

早在16世纪时英国物理学家威廉·基伯尔特(WGilbert)认为地球本身是一个大磁体。在1803年时高斯开始对地磁现象产生兴趣。他的朋友,一位著名的探险家及业余科学家阿历山大·封·宏博特(Alexander Von Humboldt)曾经请求高斯对磁的现象作数学研究。可是高斯忙于其他问题,没有时间从事这方面的工作。

1828年高斯看到宏博特收集的关于磁的实验仪器,被它们深深吸引住。第二年一个比利时科学家来拜访高斯,并和他一起做几个磁学实验,这时高斯对磁的兴趣被引起来了。

他发明了磁强计(Magnetometer),以及解决怎样在地表任何地点测量地球磁场强度的问题。在一年后他写了一本小书谈测量磁强问题,并且把磁的所有测量分解为现在物理的三个基本单位:长度、质量和时间。

18301840年这段期间,高斯和一个比他小27岁的年青物理学家韦伯(Withelm Weber)一起合作从事研究。他们的合作是很理想的:韦伯是一个实验家,高斯是一个理论家,韦伯引起高斯对物理问题产生兴趣,而高斯用数学工具处理物理问题,影响韦伯的思考工作方法。

1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线,跨过许多人家的屋顶,一直到韦伯的实验室,以伏特电池为电源,构造了世界第一个电报机。

许多因无知而产生偏见的人对他们的工作嘲笑,说他们浪费钱花掉时间搞这些没有用的玩意儿。火车在1830年出现时也一样受到许多保守的人的攻击。韦伯在1835年就预言:“当地球被盖上铁路网和电报电线网,这些网络提供的服务就好像人体的神经系统,一方面是运输,一方面是把思想和感觉以光的速度传播。”这的确是真知灼见。

1835年高斯在天文台里设立磁观测站,并且组织“磁协会”发表研究结果,引起世界广大地区对地磁作研究和测量。

高斯已经得到了地磁的准确理论,他为了要获得实验数据的证明,他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图,而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。

1841年两个美国科学家确证高斯地磁理论的正确性。他们找出了磁南极和磁北极的确实位置,和高斯用理论推算的地方相差几度而已。可以想像高斯是多么的高兴。

高斯在18341840年写的《关于作用和距离的平方成反比的力》一文里给出了势论(Potential theory)的基本理论。

高斯的生活及工作态度

高斯对自己的工作是精益求精,非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说“宁可发表少,但发表的东西要是成熟的成果。”

许多当代的数学家和朋友要求他,不要太认真,把结果写下来发表,这对数学的促进是很有帮助的。但是这方面他是不会退让,他要他的工作无瑕地出现在众人之前。

有一天高斯在哥庭根的街道上走,迎面蹒跚地走来了一个大学生,他是喝得这么泥醉,还没有到高斯跟前就摔倒。高斯赶快扶起他,并对他说:“年青人,我希望科学能像我们哥庭根的好啤酒那样使你沉醉。”的确他一生对己严待人宽,但对那些掩饰自己的无知,知错而不承认错的人,他则是非常的嫌恶和卑视。

美国著名数学家贝尔(ETBell)在他著的《数学工作者》(Men of Mathematics)一书里曾经这样批评高斯:“在高斯死后,人们才知道他早就预见一些19世纪的数学,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏,很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作,而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者,可以把他们的天才用到其他方面去。”

高斯的生活很简朴的,他并不是太注意物质的享受。他的一个好朋友描述他的生活:“就像他年青一样,高斯从老直到去世还是那个简朴的高斯。一个小工作室,一张有绿色桌布的小桌子,一张漆白色的直立书桌,一张狭沙发,在他70岁后才增添一张扶椅,不明亮的灯,没有温暖设备的睡房,平淡的食物,一条睡袍及紫色的睡帽,这就是他全部需要的东西。”

不从事数学或科学工作时,高斯就广泛地读当代的欧洲文学和古代文学作品。由于他对学习外语很有兴趣,因此他能阅读外国的原著。

莎士比亚的悲剧他不太喜欢,读了时常令他痛苦。

司各脱的小说他倒喜爱,他常常把作者不符合科学实际的描述加以改正。

吉朋的历史书:《罗马帝国的衰落与覆灭》,文字是很优美,阅读时把人们的想像引进古代社会里去。

他不喜欢拜伦的诗歌,听说这是个好酒与沉迷女色的人,唉!年青人怎么能这样浪费青春和生命?

他也读与他同时代的哥德及席勒的作品,两个人他都不满意。他觉得歌德写的东西并不太吸引人。他不喜欢席勒的那种带社会主义的哲学思想,虽然他的诗歌有些写得还不算坏,高斯在席勒的诗集上写道:“腐败的诗歌!”

他对世界政治很感兴趣,每天最少花一小时在博物馆里看所有的报纸,这自英国的泰晤士报到哥庭根的当地报章。但是他认为报章及政府的报告有许多是骗人的东西,每天他仍阅读,自己判断,然后得到结论,他认为这比去外面旅行,到处奔波还要有趣味。

他很喜欢学新的语言,认为有助以使他的思想变年青。在62岁的时候,他在没有任何人帮助的情况下自学俄文。在两年之内他能顺利地读俄国的作家和诗人的散文诗歌及小说。而且可以和俄国圣彼得堡的科学工作者用俄文通信。后来一些从俄国来的科学家拜访他,发现他讲的俄语还算相当标准。

他后来也学梵文,但发现太枯燥而放弃掉。

在他的六个孩子中,第四个是最聪明的,很小就在数学和语言上显示才能。这孩子后来长大后到美国去,并在印第安人地区工作,把圣经译成印第安文字。高斯并不像一些人“望子成龙”希望自己的儿子也成为数学家。

高斯工作时是专心一致的。高斯很爱他的妻子,他曾经花两年的时间写信追求她,他太害羞没有勇气在他所爱的人面前表示爱意。可是她不幸在结婚四年后就病死了,留下三个儿女。

据说在她病重时,高斯正研究很深奥的问题。仆人匆匆忙忙告诉他,夫人病得愈来愈重了。高斯好像听到,可是他却继续工作。过了不久,仆人又跑来说,夫人病很重,要求高斯立即去看她,高斯回答:“我就来!”可是仍旧坐在那里沉思。仆人第三次再走来通知高斯:“夫人快死了,如果您不马上过去,就不能看到她生前的最后一面了!”高斯抬头冷静的回答:“叫她等一下,等到我过去。”

这种心无旁鹜的工作精神,真是常人少有的。当然,他的妻子去世给他的打击是很大。幸好,他后来再取妻子的好朋友,一个相当贤慧的女人,能了解他的工作的重要,并且对前妻的子女视如己出一样的爱护。高斯在婚姻上还算是很幸运的。

在德国慕尼黑的博物馆有一幅高斯的油画像,底下几行字,很贴切地说明他的成就:“他的思想深入数字,空间、自然的最深秘密;他测量星星的路径,地球的形状和自然力;他推动了下个世纪的数学进展。”

动脑筋  想想看

1.费马数F5的一个因子是641,你能算出它的其他因子吗?

2.当k增大时,费马数Fk也增大的很快。有人说当k73时,Fk这数是这么大,把它从头到尾排出来,这数本身印出的书,全世界没有一个图书馆可以容纳得下。你能解释这理由吗?

P6,…,P16,使弧P0P1=P1P2=P2P3==P15P16连结P0P1P1P2,…,P16P0就得到正17边形。(图一)你试证明这个方法是正确的。

212836,…等等。在1796710日,高斯在他的日记上写:“我发现了任何正整数可以表示成三个三角数的和。”你能不能证明这个结果呢?

高斯把这个证明放在他的《算学研究》一书。这本书在1965年翻译成英文,现列下译者和出版社,有兴趣的读者可以买来看:

CFGaussDisquisitiones ArithmeticaeTranslated byArthur AClarke1966Yale University Press

4.在1836年高斯的朋友苏马赫(Schumocher)写信告诉他一个名叫Rümeker的人发现从椭圆外一点做切线的方法:

下面是1893年数学家理查蒙(HWRichmond)简化高斯用直尺和圆规构造正十七边形的方法。他的方法步骤如下:

1)以点O为中心,任意长OP0为半径画一个圆;过OOB

是角OJP0的四分之一。然后作角FJE使其度数为四十五度;

2)以FP0为直径作一个圆;这小圆交OBk点;

3)现在以E为中心,EK长为半径画一个小圆;这小圆和直线OP0交于N3N5两点;

4)在N3N5画两条直线垂直于直线OP0交大圆于P3P5两点;

5)把弧P3P5等分,我们得到P4

6)然后以P0开始在大圆上取一些点P1P2

如果椭圆外的给定点是P,任意画四条椭圆的截线PAiBi i1234)(如图二),则线段A1B2A2B1A3B4A4B3相交在椭圆内CD两点。连直线CD交椭圆于Q1Q2两点则PQ1PQ2是所求的切线。

苏马赫告诉高斯,他改进以上的方法:只要从P引出三条截线PAiBi=123)就行了。因为A3B2A2B3的交点在CD线上。

过了六天高斯写一封信回给苏马赫,告诉他可以更简化:只要从P引两条截线PA1B1PA2B2就行了。因为A1A2B1B2的交点R也在直线CD上。

圆是椭圆的特殊情形,你试用高斯的方法就可以单用直尺从圆外一点画两个切线。试试证明这个方法是正确的。

6.中古时期欧洲的僧侣常花许多时间,用非常复杂的方法算“复活节”(Easter)的日期,这日子可以在322日到425日之间。

1800年高斯才23岁发现一个可以计算500年内“复活节”日期的方法。先看下表:

比方说,你要算1978年的“复活节”日子,你就要挑选m24n=5,然后照下面步骤做:

步骤一:将这年用4除,把余数用a表示。然后把这年分别再用719除,余数分别是bc

步骤二:用309cm,写下余数d

步骤三:用72a4b6dn,设余数是e

步骤四:复活节将是322de日或4de-9日(即如果22de大过31,那么就必须是4de-9日)。

你试用这方法算今年的“复活节”日期,看是否符合?

7.令n45,…,25。利用高斯的结果,把这些数分成两类,一类是可以用没有刻度的直尺和圆规画正n边形;另外一类是不能如此构造的正n边形。