浩瀚的“集合宇宙”中奇异的无穷集

——兼谈德国数学家康托的发现

一个很奇怪的数学现象

在日常生活中,我们常常用到比较这个观念。

“我的朋友老王比老张慷慨,因为他常请我去喝茶。”

妻子对丈夫说:“你看隔壁的林先生就会照顾家庭,常常买东西给家里人。”这意思就是:你比不上林先生会买东西,应该买点东西送给我。

父亲责骂孩子:“为什么这样蠢?数学测验常搬个大鸭蛋回来?看你姐姐测验常拿满分,你要学你姐姐用功学习,不要贪玩。”在学习上比,弟弟成绩比姐姐差了一大截。

比可以比大小,多少,穷富,善恶,好坏,优劣等等。为了比产生了阿Q精神胜利法:“比上不足,比下有余。”

数学上也有比较,常见的是比大小和多少,不像日常生活里那种错综复杂的比。可是有一些比较现象却令许多人困惑,我举一个简单的例子看看:

你会很熟悉自然数集合N{123,…},这是你在呀呀学语时,大人就教会你的东西。

pq没有公约数的这类型的数,老师告诉你这种数叫有理数(Rational number)。

现在我们用A来表示所有正有理数的集合。

我问一个问题:“这两个集合NA,哪一个含有的元素较多?”

你一定会笑起来:“这样简单的问题也要问。1234…都

好!现在我把所有的有理数摆成下面的样子:

然后我在这些有理数上面编号:

你看对于任何正有理数,都有一个圆圈号码对应。或者你就想像每一个有理数身上佩带一个徽章,徽章上有号

上“2号,12号,…”等的徽章。2带上“3号,14号,…”等的徽章。

每一个正有理数身上都佩带两个以上的整数徽章,这样看来,N的个数一定是多于A的个数。

“你是否在玩魔术?照你这样说A的确是比N的元素少!这真是奇怪?!”

你再重复看一下上面的解释,注意看我有没有用“障眼法”使到你“走火入魔”?

我的解释是合情合理,没有弄什么花巧吧?相信你可以信服了。

现在问题产生了。在日常生活中我们说张三比李四有钱,这是因为李四的钱数比张三的钱数少。现在在数学上我们可以说集合X比集合Y“富有”,是指集合X的元素个数是比Y的多。因此根据你最初的理由,正有理数集A是比自然数集N“富有”,现在经我解释你又相信N又比A“富有”。天呀!究竟谁才是真正“富有”?

集合宇宙的出现

最早对集合及其性质研究,以至发现“集合宇宙”(Sets universe)的是19世纪末本世纪初的德国数学家乔治·康托(Georg Cantor 18451918)。

对于许多没有学过新数学的读者,我先在这里介绍“集”(Set)及“元素”(Element)这两个在数学上的基础概念。

集是指具有某种特定性质的抽象或具体的事物的全体。而其中的事物就称为这个集的元素。

比方说现在“世界三分”:第一个世界的国家组成一个集A,第三世界组成另外一个集C

美国、苏联属于第一世界,我们就说美国和苏联是集A的元素。印尼、中国、印度、埃及属于第三世界,我们说集C包含元素:印尼、中国、印度、埃及等等。

在数学上用底下的弧号表示集及其元素:

第一世界  A{美国、苏联}

第三世界  C={中国、印度、埃及、印尼、……}

例如中国的所有科学家组成一个集合B这里就有元素:钱学森、周培源、钱三强、华罗庚、陈景润、童第周、汪德昭、唐敖庆、赵建础、吴友三等等。

现在在这集合里我指定要一些归侨科学家,你就可以找到比方说像从事肿瘤研究的吴垣兴,遗传学家方宗熙、岩土力学专家陈宗基等等。这些人组成归侨科学家是集B的一部分,我们就说是B的子集(Subset)。

再看下面例子:N={1234,…}是所有的自然数集合,则所有的素数集P={23571113,…}N的子集,我们用

如果有一个集合A={东,南,西,北}含四个中国字。B{东,123,?}是由数字,符号及文字组成的集合,我们用联合(union)的方法可以构造新的集合,即把AB的元素拼凑在一起(如果元素在AB同时出现,我们只写一次就够了),这新集用符号AB表示(读着AB,或AB的联集)。

这里AB{东,123,?,南,西,北}

另外也可以构造集A减集B的差集(difference set):由集A中不等于B的那些元素全体组成。因此对于上面的例子,我们用符号A\B表示差集:

A\B{南,西,北}

那么对于任何集合 A A\A是什么东西呢?这是一个“空空如也”

empty set)。

康托想像有一个包罗万象的世界——叫着“集合宇宙”(Sets universe),这世界容纳各种各样的集合,然后他研究这个世界里有限和无限(无穷)的意义。

古代的希腊及中国数学家很早就有无限的观念。例如在《老子》一书里就有:“道生一、一生二、二生三、三生万物。”孕育着无穷观念;在《墨子》里也能找到类似的记载,《庄子》里也有:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”这一些牵涉到“无穷”的记载。

我们现在常说的“学海无涯”,这“无涯”就是无穷没有边际的意思。数学上用像倒写的“8”的符号“∞”来表示无穷大。

以往的数学家由于认识的缘故,对“无穷大”及“无穷”是抱着“敬而远之”的态度,不敢再深入追究。到了19世纪末,科学发达刺激了数学分析的一部门“三角级数论”的研究。康托在19世纪末为了研究一些连续函数及三角函数的关系及其不连续点集的性质,才开始对无穷集研究,发现了“集合宇宙”,奠立了成为目前数学基础的“集合论”(Theory of Sets)。而且还比较无穷集的大小。

康托研究两个非空集合的关系,这关系是依靠映射来实现。映射(mapping)是什么东西呢?若AB是两个非空集,如果存在一个规则f,使A的任一元素x,在这规则f之下,确定B里的唯一个元素y与之对应,则叫这规则fAB的映射,数学上用fAB来表示,元素y称为元素xf的象(image)写成fx)=y

举个实际例子说明:

例子:碗里有六粒鸡蛋,小弟弟来计算,只见他屈指而算:“一粒!两粒!……”

A=五只手指,集B=碗里六粒蛋。

手指和鸡蛋存在着对应,这就是映射!

无穷集合的观念

在近代数学研究中,数学家常常和无穷集合(infinite set)打交道,这里我们给出无穷集合的数学定义,然后学习它的一些奇怪性质。

假定我们现在有两个集合AB,它们之间有一个映射存在FAB

我说这个映射F是一对一的(one-one),如果x1x2A内,则有Fx1)≠Fx2),也可以说如果Fx1)=Fx2)则有x1=x2

我说FAB上的映射(F is onto),如果 FA=B,即对于任何在B的元素b,我一定能找到最少一个xA中,使得Fx=b

定义

两个集合AB称为对等,如果存在一个映射FAB,从AB上,并且是一对一的。

我们简称这样的映射为一一对应(one-one Correspondence)。并且用符号~表示AB对等,即AB

在集合宇宙当中,对等关系有底下的基本性质:

1.(自反性  reflexiveAA

2.(对称性 symmetryAB,则BA

3.(传递性  transitiveABBCAC

现在我们可以定义什么是“有限集”什么是“无限集”。首先在集合宇宙当中,对等关系把相互对等的集合归于一类,这样集合宇宙就被分成许多部分,不对等的两个集是在不同的部分里。

一个集合A,如果是和集合{123,…,n}对等,我们就说它是有限集。不是有限集的集合就称为无穷集(infiniteset)。如果A是和{123,…,n}对等,我们说A的元素个数是n。我们要把有限集中的“个数”这个概念推广到无穷集去,我们就在那被对等关系分成n部分的集合宇宙当中,在每一部分给一个记号,把这记号称为这部分的集的基数(cardinalnumber)。比方说我们是用N做记号,那么如果A在这里面,我就写cardA)=N在有限集部分,仍用普通的0123,…为记号。这里我们有Card(空集)=0。(图一)

最简单的无限集是可数集(countable Set),这是指那些能和自然数集N={123,…}对等的集。我们用符号No(读做“阿列夫零”Aleph-zero,阿列夫是希伯仑文字)表示可数集的基

数。下面是一些可数集的例子:

1  所有偶自然数集E={2468,…}是可数集映射FE

2  所有奇自然数集合是可数集。因为我们有底下的一一对应:

11

32

74

3  伽利略(Galileo)在研究物理时发现所有的平方数S={14916,…}{123,…}的一一对应,可是S只是{123,…}的一部分,S的基数却是与{123,…}的基数相等,这令他感到非常困惑。

4  P={23571113,…}为所有的素数集合。希腊数学家欧几里得(Euelid)证明P是无穷集。事实上,P是可数集。

但是,数学家没法子找出一个映射F{123,…}P可以容易地写出第n个素数Fn)。

5  所有的有理数集合Q是可数集。(我们等一下会证明这结果。)

6  所有在实数轴的闭区间[01]里的所有有理数点组成一个可数集。

7  在座标平面上方程x2y2=1代表平面上以原点为中心,单位长为半径的圆,这圆上的所有有理数点是组成一个可数集。

无穷集的一些古怪性质

我们这里列下一些无穷集的重要性质,读者稍后可以看出康托如何利用这些性质得到惊人的数学定理。

性质1  任何无穷集包含一个子集是可数集。

〔证明〕假定A是给定的无穷集,我们从A中构造一个子集B。由于A是非空集合,存在一个元素x1A里,我把x1放在B中。由于A是无穷集,还有一个元素x2A{x1}里;我把x2取出放在B中,我们可以这样一直进行,把A的一序列元素x1x2x3x4,…放进B中。B就是A的可数子集。

性质2  可数集A的任何子集B是可数集或有限集。

〔证明〕由于A是可数集,可以把A中元素编号:

a1a2a3,…,an,…

如果A的子集B不是空集,假设an1an2,…是根据以上编号后B中元素全体。如果自然数n1n2,…nk,…中有最大的数,那么B就是有限集。如果不存在,那么让ank与自然数k相对应,就可以看出B是可数集。

性质3  如果有可数个A1A2A3,…的可数集,则它们的和集

〔证明〕不失去一般性我们可以假定对于任何ijAiAj没有共同元素。

我们现在对A1A2A3,…的元素编号:

对于固定kAk的元素是形如:ak1ak2ak3,…等等。像以上排好元素后,我们就用有圆圈的123,…照以上的方法注明,现

a12F3)=a2bF4)=a13F5)=a22F6=a31

An仍旧是可数集。

读者如果将②、③用直线连起来,可以看出它是长方形①②⑤③的对角线,同样连④⑤⑥这是长方形①④(13)⑥的对角线。以上的证明是康托发现的“康托对角线法”(Cantors diagonalmethod)。这证明是很巧妙。

我们现在利用以上的结果证明下面的:

定理  有理数集Q是可数集。

〔证明〕令A是所有的正有理数集,A-是所有的负有理数集。Q=A∪{O}A-

由这篇文章前的“一个很奇怪的数学现象”的说明你知道A是可数集。定义一个映射 TAA-,对于任

由以上的性质3可以知道Q一定是可数集。〔证毕〕

假定有两个集合AB,我们可以构造一个叫“AB的乘集”A×B的新集合,这是包含所有的对偶(Couple)(ab),aA的元素,bB的元素。

比方说A={东,南,西,北}B={12}A×B={(东,1),(东,2),(南,1),(南,2),(西,1),(西,2),(北,1),(北,2}我们常用的座标平面,实际上就是两个实数集数轴的乘集。

性质4  如果AB是可数集则其乘集A×B也是可数集。

〔证明〕假设A{a1a2a3,…}B{b1b2b3,…}A×B={a1b1),(a1b2),(a1b3),…}

{a2b1),(a2b2),(a2b3),…}

{a3b1),(a3b2),(a3b3),…}∪…

由于它是表示成为可数个可数集的和集,因此A×B是可数集。

〔证毕〕

利用数学归纳法我们可以得到底下的结果。

性质5  如果有可数个可数集A1A2A3,…,则它们的乘集A1×A2×A3×…仍是可数集。

我们知道有限集A里,不可能找出一个真子集(不等于全集的子集)B,使得AB对等。可是在自然数集N里,所有的偶数集合E是它的真子集,而NE是对等的。

是否对于其他的无穷集,都会有这样的性质呢?

答案是肯定的,下面是德国人戴德金(Dedekind 18311916)发现的。

性质6  任何无穷集与它的一个真子集对等。

〔证明〕假定X是无穷集,由性质1,可以在X中找到一个可数集B={x1x2x3,…}

现在取AX{x1x2x3,…},然后我们取X的真子集X{x2x3,…}A(即X′是从X中去掉x1)现在定义  FXX

Fxi)=xi1   i=12,…

Fx=x    xA

F是一一对应,故XX′对等。〔证毕〕

康托在数学上的惊人发现

我们用一条直线表示实数集R,我们取下面的几个集合:

I1=01=所有实数x0x1

I2=01=所有实数x0x1

I3=(1,∞)=所有大于或等于1的实数。

可以证明I1I2I3R的基数是一样的。(见图二)

康托在距今100年前证明了下面的结果:

定理:I1不是可数集。

〔证明〕假定I1是可数集,在它里面的任何数可以和自然数集N的唯一个数对应。现在假定这对应是像下面的表示:

10·C11 C12 C13 C14

20·C21 C22 C23 C24

30·C31 C32 C33 C34

40·C41 C42 C43 C44

这里的Cij{0123456789}中的一个数。

我们现在构造一个新数r=0a1a2a3a4…具有性质:aiciiai0对于所有的i,而ai是从{123456789}构造组成。明显的这个数r是大于0而小于1,而r又不等于以上的任何一个数。因为任何上面的数0ck1ck2…它的小数点后第k项是和r不一样。因此r不在上面的表里,这产生了矛盾。因此I1不是可数集。〔证毕〕

我们把那些与I1对等的集合的基数用C(胖胖的英文字母C表示),这基数叫“连续统”(continuum)。

这里列下具有连续统基数的集合:

1  任何开区间(ab  ab

这就是说不管区间的长或短,它里面元素(点)的个数是和区间的I1的一样多。

2  任何圆,不管它是多么大或多么小,它的圆周上的所有点数是和区间I1一样多。

3  平面R2=R×R的所有点数是和I1一样多。一般的n组空间Rn的所有点数是和I1一样多。

这结果的确是令人吃惊。在我们的直观感觉中,总觉得空间的点数是一定比平面的点数还要多。

我现在证明任何圆的圆周上的点是和R一样多点,即具有相同的基数。首先你画一个任意大小的圆O,然后画一条直线R不和这圆相交于任何一点。(图三)

图三  圆周和直线上的一一对应

从圆O的圆心作一直线垂直这R,并交圆周于C1C2两点。现在在圆O上取掉远离直线R的那一个点C2,这一个集合根据“无穷集的性质6”是和圆周对等。

现在你任取R上的一点P,和C2连起来画线一定会交圆O上的一点P′,明显的这建立了集合“圆周少掉C2”与R的一一对应,因此由对等的传递性,我们知道圆周与R是对等,即具有相同的基数。

我们令Zx〕表示所有整系数多项式的集合,即它包含形如a0xna1xn-1+…+an=0,这里a0,…,an都是整数。

一个数(实数或复数)如果是Zx〕的一个元素的根,我们就说

x2+1的根,故是代数数。

是否存在一些数不是Zx〕元素的根呢?如果有的话就叫这种数为超越数(Transcendental number)。在康托同时的数学家曾花许多气力证明超越数的存在。如法国数学家柳维尔(Liouville)证明下面这个数:

是超越数,厄米特(Hermite)证明圆周率π也是超越数。一般判断一个数是否是超越数是非常困难的问题。

1873年康托证明了有理数集Q是可数集,Zx〕是可数集,从而所有的代数数集A也是可数集,可是实数集R却不是可数集。将R分成两部分,即R={所有实超越数}{所有实代数数},如果Card{所有实超越数}=N0,则由“无穷集性质3”可知CardR=N0,这产生了矛盾。因此实超越数全体的基数是C。康托用这方法不但证明了超越数存在,而且个数比代数数还多,这是惊人的成就。

著名的康托假设

如果两个集合AB,可以找到一个一一映射从AB,可是找不到映射是AB上(not onto),那么我们就说A的基数是小于B的基数。

这样对于无穷集的基数我们就可以比较大小了。

对于一个集合A,用符号2A表示它的所有的子集组成的集合,如A

康托发现了下面的一个重要定理:

康托定理

对于任意非空集合,我们恒有A2A不会对等,而且Card ACard 2A

〔证明〕我们定义映射FA2A为:

fx={x}

即对于任何A的元素xf对应到只包含一个元素的子集{x},明显的f是一一的,但不是从A2A上。因为对于多过两个元素的子集B,我们找不到A的元素能对应到B上。

现在我们证明不可能找到一个一一映射g是从A2A上(即gonto),这里我们用反证法来证明。

假定 gA2A是一一对应,即A2A对等。

对于任何A的元素xgx)是A的一个子集。xgx)有两种可能关系:(1xgx)里,(2x不在gx)里。

我们令B为所有的A的元素xx是不在gx)里。

BA的子集,因此B2A里面,由于gA2A是一一对应,我一定能在A里找到一个元素c使得gc=B。(根据gA2A上的映射的性质。)

现在考虑下面的情形:

情形1:假定c是在B当中,则由B的定义我们有c不在gc)里。而gc)=Bc不在B里,这产生了矛盾。

情形2:假定c是不在B里面,则c不在gc)。因此由B的定义,我们知道c是在B里,这又产生了矛盾。

矛盾所以会产生是由于我们假定存在从A2A上的映射。所以不可能找到一个从A2A的一一对应,也就是说A2A是不对等的。

由于存在fA2A的映射是一一,所以我们有

CardA)<Card2A                                                       〔证毕〕

由康托证明的这个定理,我们可以对“集合宇宙”有一个这样的感性认识:它是“天外有天”,给出一个集合,一定存在另外一个集合,其基数比先前那个还大。

现在我们可以介绍康托著名的连续统假设(Continuum hy-potheses)。他问:是否在“集合宇宙”里能找到一个集合W,使得我们有:

fNWgWR 都是一一映射,而W不对等于N,也不对等于R

康托认为这是不可能的,即在基数NoC之间不存在有其他基数,或等价地说:2N0=C

这问题提出后,许多数学家想要证明,但是不能成功。直到1963年在美国斯坦福大学读书的25岁青年保罗·柯恩(Paul Co-hen)解决了这个问题,他的证明只有五页长登在《美国国家自然科学院会讯》〔ProcNatAcadSciUSA501963),11431148

在这文章里他证明了康托连续统假设是和我们一般接受的集合论的公理是没有关联的(即独立于这些公理之外),因此在这些公理定义的集合论里我们是没法子证明康托连续统假设是正确或者错误。

浩瀚的宇宙有许多奥秘正在等着人们去发现,同样的“集合宇宙”里是有着许多广阔天地可以任人驰骋。希望读者本着“上下求索”的精神,在“集合宇宙”发现新天地,创新理论,在科学上为人类作出像康托不朽的贡献。

动脑筋  想想看

1.你看过《七十二家房客》的戏吧?里面有一个佩带“369号”的警察。想像在正有理数集A里,那个佩带“369号”的是“何方神圣”?(即是什么有理数对应这号码?)

2.如果读者想深入自学一点集合论,有一篇康托的短文从德文译成英文是值得一读。这文章收集在《数学宝藏》一书里:Henrieffa MidonickThe Treasury of Mathematics vol2PelicanBooks塘鹅丛书,1968年出版,第396408页。

3.一个只包含一个元素a的集合,它的所有子集是:Æ|a|所以共有一个子集。包含二个元素ab的集合,它的所有子集共有四个:Æ{a}{b}{ab}。试列出集{abc}可能的子集。由此考虑这样的问题:如果集An个元素,它的所有子集组成的集合2A有多少元素?

4.满足代数式子x2y2z2的整数数组(xyz)称为“商高数组”。所有“商高数组”组成的集合是否是可数集?

组成的集合其基数应该是怎么样子?

可数集?