奇妙的平方数

——纪念数学史家梁宗巨教授

那里有数,那里就有美。

——Proclus

如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果,我们就不可能理解近五十年来数学的目标,也不可能理解它的成就。

——M.韦尔(Hermann Weyl

给我最大快乐的,不是已获得的知识,而是不断地学习。不是已有的东西,而是不断地获取。

不是已经达到的高度,而是继续不断地攀登。

——C F.高斯( C FGauss

平方数

一个数的平方是定义为它自己乘自己,我们列下最初10个自然数的平方:

12345678910

对应的平方数是

1 4 9 16 25 36 49 64 81100平方数有许多奇怪和美妙的性质,今天就让我带你去数学王国里去拜访这些平方数,让我们对它们有深一层的认识,你说好吗?

首先我要请你乘上一辆“时光机器”(Time machine)。对了,就像电影“Back to the Future (回到未来)”那种机器,我要带你去“过去”拜访一些有名的数学家,听他们讲述他们怎么样研究平方数,然后再带你去“未来”看看你是怎么样对这数做研究?

真的,相信我是“数学魔法师”,我有这能力使你走到过去也可以看到未来,但是有些东西我要你暂时保密,天机不可泄漏,因此在你坐进这“时光机器”之前我要你保证有一些你看到的东西,在时机未成熟时不要随便和其他人说。

对,就算你最好的朋友也不可以说。

“如果违背了怎么样?”“违背了,你就会马上把想要讲的东西全部忘得一干二净,结果你讲的东西就变成像神龙一样只见首而不见尾,没有人明白你要说什么。”

“好!你同意我的要求,那么现在请坐进这架‘时光机器’,我们要超越时空遨游数学王国了。”

远溯古希腊

在还没出发前,我要你看看几个数:

1233=122+332

8833=882+332

9562=913935                                          913935=1849=432

9572=915849                                          9158491746=(422

9582917764                                         9177641681=412

9592=919681                                          9196811600=(402

9602921600                                         921600=1521=392

 

9612=923521                                          923521=1444=382

你可以一直续算到968

968937024                                          937024=961=(312

这是很奇妙?以上的结果是一个印度年青人所发现的,你能找到类似的例子吗?

还有一个很巧妙的是(11111111112=1234567900987654321把它折成两部分 123456790 987654321然后把它们加起来,你会得到1111111111原来的数!

现在你同意希腊哲学家Proclus的说法:“哪里有数,哪里就有美!”

“好,我们现在要出发了,我要带你到西方世界去,到古代的希腊。希腊在地中海旁,你可以利用这机会去旅游。”

“我们到那里,可以和他们打交道吗?比方说我看到香喷喷的羊肉串我能试一试吗?看到漂亮的姑娘,我可以和她交朋友吗?”

“不行,我们对那个时代只是‘未来’,我们就像精灵一样能穿墙过户,人们看不到我们,而且我们也不要影响他们的生活。

HGWell的‘时光机器’把人带到过去,可是如果你不幸踩死古代的一只蝴蝶,以后的历史就会改变。我的“时光机器”只能让你作一个旁观者,我们的活动不对未来作任何改变,这是稳定的机器,不然天下大乱,我会受到严厉的惩罚。”

“时光机器”转眼就到了一个海边,我们走出车外,只见山上有一座优雅的别墅,我们走上去只见一个年青人正对着不同的长度的弦乐器在试声音,另外一青年正在敲击不同的陶器研究它们发出的声音,然后倒水进去试验不同深度的水声音有什么变化。

“这些人在做什么?”

“他们都是毕达哥拉斯派的成员,这是一个宗教及政治团体,他们在研究声学,要发现和数字有什么关系?他们的首领是数学家毕达哥拉斯。

“是那位发现直角三角形斜边平方等于其他两边的平方和的数学家吗?”

“是的,我们中国人叫那定理为商高定理。毕达哥拉斯在公元前530年在意大利南部的Crotona组织了这个学派,他们研究数学和物理,探索自然的奥秘。这里有三百多个学生。”

我们走近一个有喷水池的园子,看到一个老人在一个凉亭上对一个少年讲话,凉亭可以看到前面的地中海,海水澄蓝,凉爽的习习海风吹拂在身上令人感到舒适。

“孩子,我现在要给你看一个很奇妙的东西。”

老人在沙上用树枝写了1234567……(这些都是希腊字,我用“万能翻译机”把它们翻译成现代的语言。)

“你说,什么是奇数和偶数?”

1357、…都是奇数,偶数是2的倍数,像2468、…”

“对了,我现在要你把1点代表12点代表2,把这些奇数摆放成一个正方形的样子,你能不能做到?”

“老师,是不是这个样子?”

“是的,你现在发现了什么东西?”

“我发现如果把1357、…这些奇数加起来,我会得到平方数。

1+ 3 422

1+ 3+ 5 932

1+ 35 7 1642

1 3 5 7 9 25=52

这真是太美妙了!”

“宙斯把许多美妙的东西隐藏起来,然后让我们寻找,我们就像寻找珍宝一样,找到了欣喜若狂。孩子,今天你第一次尝到这个得到真理的快乐的滋味吧!

可惜,我年纪大了不能再从事这样的探索,我要你和其他的哥哥姐姐一起继续寻找,把这些发现记载下来传给以后的人,知道吗?”

这少年点点头,然后扶起毕达哥拉斯带他走进屋里休息。

“毕达哥拉斯相信数字安排宇宙一切事物,对数有特别的崇拜,我想你可能知道他发现毕达哥拉斯定理。他也研究什么样的整数能表示为两个平方数的和,可是这却不是太容易解决。

在他死亡后,对了!他是死于非命,在一次城市暴动,人们不喜欢他的团体把他当作异端邪说的首领,虽然他的学生尽力保护他,他不幸被人杀死,他的许多学生也被杀害。

他的一些学生跑到别处重新组织起来,可惜新的领袖患有偏执狂,刚才你看到的那位少年,他说x22y2是没有整数解,可是领袖却竟然以胡说八道的罪名把他丢进大海里去了。”

“我想离开这里到别的地方去。我感到恶心。”

大了。”

奇怪的墓志铭

我们的《时光机器》在时光隧道呼啸而过,不到一刻钟就停止下来。我们到了一个郊野,草地上开满了黄色和红色的花。

“这么漂亮的地方,我真希望死后能葬在这里。”你呼吸了一口新鲜的空气很愉快地说。

我笑了:“如果你要知道一千年之后现在这是什么地方,你就不想在这里了,这是亚历山大市,埃及的一个大港口,住满拥挤的市民,我们现在所站的地方是阿拉伯人的屠宰场,空气充满了血腥的臭味,牲畜的哀号,你如果躺在这里,灵魂也不会安宁。”

你睁大眼睛看着我:“真的是这样吗?”

“是的,千年的变迁是很大的,山岳可变成平地,平地可起高楼,整个城市可以消灭。我们现在站的地方在一千年前是基督教徒的坟地。来,我带你看一个人的坟墓。”

我们拨开一些长得像人高的芦苇,看到一个上面竖立有十字架的碑石,我们把一些攀附在上面开红花的野草拨开,露出一些碑文。

“怎么上面的字不是埃及的象形文字呢?”

“噢,这里曾被希腊人亚历山大大帝占领过,所以希腊文曾取代了埃及的文字。而我们要看的这个人却是一个希腊的数学家。”

“我读不懂上面的文字。”

“没关系,我手上的‘万能翻译机’能把它译成中文,你现在看我对准碑文照射,荧幕上会出现译文了。”

只见下面的词句一句一句的被翻译显现出来:

“这里的坟中安葬着丢番图,

多么令人惊讶,

它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一,

又过十二分之一,两颊长须,

再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子,

可怜迟到的宁馨儿,

享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补,

又过四年,他也走完了人生的旅途。”

“这真是别开生面的墓志铭,不像我们中国帝王将相的墓志铭上面记载都是一些丰功伟绩的东西,只是朴实地记载他一生的经历。”

“是的,这是他的学生根据他的精神写的墓志铭。丢番图(Diophantus)是希腊数学家,年青时曾到过许多地方,学习了巴比伦、埃及和希腊的数学,年纪大了定居在温暖的阿历山大市,在迪奥尼斯主教办的学校教孩子算术。他是一个谦卑的基督教徒,因此碑文也就平实地记载他的一生。你知道吗?这碑文事实上也是一个算术题目!”

“啊!真的。如果我用x表示丢番图的岁数,我就可以得到一个一元代数方程

我算出他是活x=84岁,活得真长命!”

“我想带你去看他在七十多岁时的生活,请上我的‘时光机器’。”

“我们要去那里?”

“这附近的一所希腊式建筑物,那就是迪奥尼斯主教(Dionsiys)办的学校。”

我们穿过墙壁,走进一间房子里,只见一个七十多岁的老头子,身上穿着羊皮袄,满脸胡子在纸上计算东西。

“我们可以看他在做什么吗?”

“他就是丢番图,他在写他的巨著《算术》(Arithmatica),里面的材料是凝集着他一生的教学经验,以及他在各处所搜集的一些问题,这是作为一本教科书献给迪奥尼修斯主教,因为他能关心教育,体恤贫病,是一个好的牧羊人。”

他正在写一些东西,“万能翻译机”把它翻译成现代的语言是:我们要找两个数xy使得任一数的平方加上另一数变成一个平方数。

即找xy使得x2+y=m2

y2+x=n2

只见他先设一个未知数是 xy=2x1,因为x2+(2x1=x12,然后他要求

2x12x= 平方数

4x24x1x=n2

他设n=2x-2,于是就把方程变成

4x25x1=4x2-8x4

13x3

他很高兴地把这个结果写进他的书里,羊油脂的灯冒出黑烟,只见他的眼睛不断地流出眼泪。以后的人怎么知道这个孤独的老人为了写一本具有独特方法和见解的书要付出多少心血?

“这本书共有13卷,里面有130个题目。可是在150年之后有7卷失传,在这城里出了一个世界第一个女数学家希帕蒂娅(Hypatia 370415),曾批注丢番图的《算术》 6卷,可惜她后来被一些基督徒当作女巫烧死,她的著作也付之一炬没有流传下来。

在欧洲16世纪时,人们翻译成拉丁文,直到1973年有人在伊朗东北的马什哈德的图书馆发现一本阿拉伯文的手抄本,从这里补充他的6卷中遗失的一些部分。”

“这本书真是难得啊?!”

“我们中国有许多珍贵的数学书也是失传,比方说生在希帕蒂娅之后的祖冲之(429500),他在几何上有着卓越的贡献,算出圆周率π的值准确到小数点七位,得到球的体积公式,可是记载他的工作的书《缀术》到了唐代时却失传了!”

“这真可惜。”

“是的,好书如果不广为流传就很容易消灭。好,我现在要带你到另外的时代和另外的地区,看看这本书有什么影响?”

会晤费马数学大师

我把“时光机器”方向盘转向西北方,把时间定向到日期是1640615日,地点是法国的图卢兹(Toulouse)市。

“我们现在要拜访谁呢?”

“我要带你去看三百多年前的一位法国市议会的议员。他事实上是一个律师,可是他的业余的爱好是数学,因此有空时他就阅读一些古代希腊数学家的工作,并且自己也钻研一些问题。”

“他叫什么名字呢?”

“他名叫费马(Pierra de Fermat 16011665)。”

“啊!我知道他,前一段时间报纸和杂志曾提到以他的名字命名的“费马最后定理”(Fermat Last  Theorem)终于给一位英国数学家解决了。”

“是的,我们现在就要停留在他的家去看望这位先生。”

我们经过种植梧桐树的院子,走进一座两层刷白粉的房子。费马房子是在图卢兹的南端,只见一辆马车走过来。

车上坐一位头戴白假发的中年人,到了费马家门前,他走下来对车夫说:“明天十点前来接我,我十点半要回我的律师馆工作。”

我们尾随他进入屋里,他走进书房就把他的白假发取下给仆人放好,然后接一杯红葡萄酒喝,就嘱咐仆人:“在晚餐之前,不要让任何人来打扰我,我要在书房工作。”

仆人服从地把酒杯取走,然后随手关门,费马就坐在桌前,拿起羽毛笔,沾上墨水继续前晚没写完的信。

“我们能偷看他写些什么吗?”你好奇地问。

“好的!让我把‘万能翻译机’对它照射。”

只见荧幕上出现:

“敬爱的麦爽神甫:

我要告诉你一些对你提出的问题的研究。

你告诉我形如2n-1的整数,当n2357时都是素数,我检查了对应于2357,我计算得3731127果然都是素数。

但是当 n468时,对应的数是 1563255,它们都不是素数。

现在我告诉你发现的下面三个定理:

1.如果n是合数,那么2n-1是合数。

2.如果n是素数,则2n-2会被2n整除。

3.如果 n是素数,则除了2kn1这种形式的数之外,2n-1不能被其他素数除尽。

我上次告诉你,我在研读巴歇先生(Bochat)校订注释的希腊—拉丁文对照的《亚历山大的丢番图算术6卷,多角数1卷》,每次阅读都给我一些惊喜和新发现。

该书第2卷第8题:将一个平方数分为两个平方数。引起了我考虑什么数能表示成两个平方数的和的问题。

我断言没有一个形如 4n3的素数能表达为两个平方数之和。

对于4n1的素数像1729,我们有17421229=5222。我想形如 4n1的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数的和;它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数的和:它的五次方和六次方都能以三种方式表达为两个平方数的和;如此等等,乃至无穷。

如果等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数,则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和。

如果第一个素数乘以第二个素数的平方,则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和;若乘以第二个素数的立方,则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和;如此等等,乃至无穷。”

“哇!费马律师这么厉害写下这么多的发现!”

“他刚才提出的断言说没有一个形如 4n3的素数能表达为两个平方数的和是正确的。你可以把整数分成 4大类,形如4k4k14k2 4k3。如果取平方数,就只有两类 4k 4k1。因此两个平方数的和,只能是形如 4k4k1 4k+2而不会有 4k3的形式!”

“他现在在做什么?”

只见费马站起身走到书架上抽出一本书翻看,然后把书带回书桌,拿起笔在另外一张纸上计算和书写:

他喃喃自语:“丢番图说这四个数有下面的性质,任意两个数相乘加1都会是一个平方数。

 

这个问题是否有整数解呢?”

只见他在纸上列下一些平方数149162536,…他写 4-1=3=1×3

9-181×8

3×812552

他找到三个数138任何两个的乘积加上1都是平方数。是否有第四数d,能使{138d}具有以上的性质呢?只见他划掉62728292102,到了112 他验算112-1121-1=120

3×1201360+1361192

8×1201=960+1961312

1×120+1=120+1=121=112

他很高兴地继续在信中写道:

“我想告诉你另外一个有趣的事实,丢番图知道下面问题的解:四个数,任何两个的乘积加1都是平方数。他给出的答案是

而我给出的整数答案是 1 3 8 120

你能不能找出其他的答案呢?”

费马把他的新发现写在丢番图的书上,然后心满意足地离开书房。

“我能不能翻看他的书?”你问我。

“为了满足你的好奇心,你可以翻看书桌上的《算术》那本书。”

只见费马在丢番图的书上写了许多批注,你翻到第2卷第8题发现有一个较长的批注,你问我:“是否可以让“万能翻译机”翻译这一段批注呢?”

“好的,这段是用拉丁文写的。”我对着书照射,只见荧幕上出现了:

“相反地,要把一个立方数分为两个立方数,一个四次方数分为两个四次方数。一般地,把一个大于2次方的乘方数分为同样指数的两个乘方数,都是不可能的;我确实发现了这个奇妙的证明,因为这里的篇幅不够,我不能够写在这个底页上。”

“天呀!你现在看到的就是费马提出的‘费马最后定理’。”

“他究竟有没有证明呢?”

“我在《数学和数学家的故事》第一集里有介绍,费马发明了“无穷下降法”(Infinite Descent),他可以用这方法证明y4+y4=z4 是没有非零的整数解,因此他以为同样的方法可以对其他的情形都能证明。

好,我们现在回到20世纪的法国,你看在图卢兹市有一个纪念碑纪念费马,这雕像是一个艺术杰作。我现在要离开这里,带你到另外一个世纪和另外一个地方,看看一个费马的问题解决的情形。”

三百年后解决的费马问题

我把“时光机器”调整到西边的方向,时间放在 1986814日,地点是美国加利福尼亚的圣荷西市。

“我们现在要去哪里呢?”

“我要带你到我所居住的城市,这是美国高科技的中心‘硅谷’,我现在带你到我执教的大学,这里正举行第二届斐波那契数及其应用的国际会议。”

“斐波那契数是什么东西呢?”

“这是一个由 112358132134 55 89,……组成的数列,从第三项开始,以后的每一项是前面两项的和。

今天有一个人要报告他用斐波那契数解决了费马的一个问题。”

“不是‘费马最后定理’吧?”

“不是,那个问题还要等十年后才解决,现在我们上数学系的第三楼的会议大厅看一看。”

只见会议厅上有来自日本,德国,希腊,法国,澳大利亚,英国等地的数学家。

“嘿!里面有一个中国人,为什么没有看到你呢?”

“那位中国人是来自台湾的薛昭雄教授,他现在在美国大学教书。我当天有事没有出席这会议所以你没有看到我。”

会议主席介绍底下的演讲者:“我们这位演讲者伯恭教授(GBergun)是不需要介绍,他是《斐波那契季刊》的主编,也是南远荷大州的‘斐波那契会’的主席,现在他要讲的题目是:‘丢番图的一个问题’。”

“谢谢主席,我这里要讲的工作是我和“斐波那契会”的全国主席卡文·龙(Calvin Long)合作的,我们以这文章纪念我们的会以及季刊的创办人之一 EHogatt

数的乘积加1会是一个平方数。费马发现138120也有这样的性质。以后许多人要找寻是否有其他的答案,可是却找不到。1969年英国数学家DovenportBaker证明138c有以上的性质c必须是120。因此在某种意义下费马的解是唯一的。

1977Hoggatt和我发现了这些数和斐波那契数有关系,你看1=F23=F48=F6 120=4×2×3×5=4F1F3F5

因此我们猜想F2nF2n+2F2n+4 4F2n+1F2n+2F2n+3会满足以上的性质。快要十年了,我总算在龙教授的合作下证明了下面的定理

定理  如果Fn表示第n个斐波那契数且 x=4F2n+1F2n+2F2n+3,则我们有

全场为这三百年问题的解决热烈地鼓掌。

飞向未来

“我们已经走过几个过去的地区,你想不想到未来看一看?”

“真的可能吗?”

“好!如果要的话,我带你到2002年去,我们到美国加利福尼亚的好莱特利市去。”

“时光机器”一下子就到了一个滨海的城市,我们走出来,看到一群人往一间大木屋走去,我们就尾随他们,并听在我们前面一对像情侣的人在讨论。

“我想去海边晒太阳,这里的阳光真是暖和。”

“你还是最好不要去,等下有一位中国人要讲他解决的一个数论难题,我相信这个演讲就像 van der Wardem的成名演讲,你错过了要终身后悔。”

“讲的是什么问题呢?”

“他要讲的是推广毕拉哥拉斯定理:在二度空间直角三角形的边有这样的关系

x2y2z2

我们知道除了324252 外有无穷多的整数解。

人们问是否能在三度空间找到一个立方体,它的三边都是整数边,三个面的对角线也是整数,而它的体的对角线仍然是整数。

化成代数问题就是下面的丢番图方程:

x2y2a2

y2z2b2

z2+x2c2

x2+y2+z2=d2

是否有整数解的问题。”

“这问题是不是很简单?”

“错了,许多人花许多功夫都没有解决,用电脑帮助计算也没有结果。这问题如果减少一个条件,比方说不要要求体的对角线是整数,我曾用电脑的帮助找到最小的三角形一是边长44117240而体的对角

“如果你不要三个边都是整数,而要求面及体的对角线都是整数,你能找到解吗?”

线及体的对角线都是整数。”

“那么如果我要三个边都是整数,但我不要求所有的对角线都是整数,比方说有三个对角线是整数,一个对角线是实数,可能找到吗?”

“有的,如果你的立方体边长是104153672就符合你的要求。事实上,人们发现有无穷多这类的立方体。”

“奇怪,为什么其他弱条件的问题有无穷多答案,在一个加强的条件上问题就变得困难?”

“这就是数学美妙的地方,所以你今天要陪我进去听,这中国人的发现是有一些可以学习的东西。”

你问我:“这是什么地方呢?”

“这里是美国一群爱好数论的数学家每年在这里开办的交流会,吸引了许多国际有名的数学家来参加,人们喜欢这里优美的景色和怡人的天气,另外人们也想去附近的卡美市看他们银幕的英雄 Clint Eastwood的纪念馆,Eadtwood曾是卡美市的市长,这里是值得来玩。”

“哗,整个厅挤满了人,我们只能在后面看。”

只见大银幕上投影了彩色的幻灯片,讲的人开始叙述这问题的历史:

“……能找到三个边及四个对角线都是整数的立方体是一个吸引人看来简单的问题。人们称这样的立方体为完美立方体(perfect box)。

人们不知道这问题是什么时候开始引人注意,在1719Halcke发现边长(44117240)的立方体是接近完美。

Brocard1895年证明了完美立方体不存在,因为他以为立方体的三边一定是互素就像在二度空间的直角三角形那样。

当然在不正确的假设下,人们可以得到不正确的结果。(全堂哄笑。)

事实上,完美立方体的两边会有公约数不等于1,而且这数组 {(xd2 xc2,(cd2,(bc2}会有这样的性质:任何两个差都是一个平方数。

于是人们就来寻找是否有四个平方数有这样的性质,任何两个的差也是平方数。苏格兰数学家 John Leech在上个世纪 70年代在这方面做了许多研究,人们也用电脑来寻找也找不到。

1984IKorec宣布了一个惊人的事实,他利用电脑的帮助,发现如果完美立方体存在每个整数边一定大过一百万!

我现在和大家分享我的一些研究……”

整个大厅都鸦雀无声,大家聚精会神地听这个数学家的演讲。等他讲完之后,有些人用脚顿厅的地板,有些人吹口哨,大家一致给予热烈的鼓掌。大厅充满了兴奋的气氛。

你突然拉我的手:“这个人的脸很熟,我好像认识他。”

“哈!哈!他就是你,5年后的你!你只是现在开始努力钻研,不断地学习,努力攀登,你会像高斯一样在数论上有一些卓越的贡献。

好,我们现在要回去现在,你到了现在之后,会把你看到的未来的方法全忘记。你得一步一步脚踏实地勤劳工作历尽艰苦寻找这方法。

我很高兴地看到你五年后的成功!”

动脑筋 想想看

1.我们观察在一位数当中只有1=(012,而二位数的81=(8+1292,你是否能找到其他数a1a2ak具有性质:

a1a2ak=(a1a2+…+ak2

2.类似于上题,我们考虑有那一些数具有性质:

a1a2ak=a1a2+…+ak3

我这里列下一些例子:

512=(512383

4913=(4913)=173

5832=(5 8 3 2)=183

17576=(1 7 5 7 6=263

19683=1+9 6 8 3)=273

3.在 1943年有一个数学家WLjunggren发现 11 20的平方数有下面的性质:

1+3+32+33+341+3+9+27+81=112

1772731749343202

他证明除了这两个数外,再也找不到xy满足下面的等式

1xx2 x3+…+xny2

你能找出理由证明吗?

4.你能找到三个数xyz在{12345678g}满足下面的关系式:

x2-y2-z2=xyz

(有两组答案。)

带领,它会有一个子孙是{1},或者掉进像{4163758 89 145 42 20}的黑洞里去。

例如:

请参考《数学和数学家的故事》第二集里的“大家搜索数学世界的‘黑洞’”一文。

6.试证明丢番图方程x4y4=z2 没有非零的整数解。

7.试证明丢番图方程x44y4=z2没有非零的整数解。

8.试证明丢番图方程x2y2=z3有无穷多整数解。

参考文献

①梁宗巨,《毕达哥拉斯》,《丢番图》,吴文俊编:《世界著名科学家传记》第2集,科学出版社1992

②李信明,《中国数学五千年》,台湾书店1997

③李学数,《数学和数学家的故事》(香港版)第三集,广角镜出版社1996第三版。

E. T. Bell, Men of Mathematics, vol1,  Penguin Book 1953.

L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, vol.

2 Chelsen Publishing Co. 1971.

P. ver Ecke, Diophante d' Alexandrie,  Paris 1959

E. Grasswald, Representations of Integers as sums of squares, Springer-Verlag 1985.

C. Long and G. Sergum, On a problem of Dioplantus, Applications of Filonacci Numbers, Kluwer Academic Press, 1988.

V.  Klee and S.  Wagon,  Old and unsolved problems in plane geometry and number theory, Mat. Association of America,