回文诗,镜反数和华林问题

——兼谈黄志华的工作

此文是199786日在台湾师范大学对暑期班数学老师的演讲纪录,感谢洪万生教授提供这个机会让我和他的学生交流这方面的知识。

从一首回文诗谈起

杨振宁教授曾在香港大学演讲“物理和对称”时举了苏东坡的七律诗《游金山寺》作为对称(Symmetry)的例子。

这首诗是这样(见图一):

潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓月明。

桥对寺门松径小,槛当泉眼石波清。

迢迢绿树江天晓,霭霭红霞晚日晴。

遥望四边云接水,碧峰千点数鸥轻。

你试试倒读就会变成另外一首诗。

宋朝的苏东坡、秦少游、王安石等人写回文诗、回文词不少。像南宋吴文英的《西江月·泛湖》词,下阕是上阕的倒读!

过雨轻风弄柳,湖东映日春烟,

晴无平水远连天,隐隐飞翻舞燕。

燕无翻飞隐隐,天连远水平无,

晴烟春日映东湖,柳弄风轻雨过。

宋朝的李禺写了一首丈夫思念妻子的回文诗:

枯眼望遥山隔水,往来曾见儿心知。

壶空怕酌一杯酒,笔下难成和韵诗。

途路阻人离别久,讯音无雁寄回迟。

孤灯夜守长寥寂,夫忆妻兮父忆儿。

如果你从后倒读回去,你会发现诗变成了妻子思念丈夫,这真一首绝妙好诗。

中国语文是很优美的,如果你能巧妙灵活地运用,你会发现不单有音律词藻的美,也有形式变化的美丽。

秦少游是苏东坡的好友也是亲戚,在文字的驾驭上不输东坡,有一次苏东坡去探望少游,刚好他外出回家,苏东坡问他去哪里?少游不答,就在纸上写了一圈十四个字(见图二)。

苏东坡一看这是一个回文谜图,他哈哈的大笑,拿起笔来把这谜底写出,这是顺读回文七绝:

赏花归去马如飞,

去马如飞酒力微,

酒力微醒时已暮,

醒时已暮赏花归。

在民间也有许多像这类的回文诗词的对联,就像对岸福建厦门鼓浪屿鱼脯浦就有一副有名的回文对联:

雾锁山头山锁雾,

天连水尾水连天。

对仗工整,只用八个字就把那里的自然壮阔境界以及山与雾互锁的迷韻意境表达出来。如果你们以后看到这类好东西请寄给我,我是很喜欢这类文字。

镜反数

上面举的一些例子在数学上有很多。例如英文字母“ABCD”,倒读是“DCBA”。

我们现在定义一个数字的镜反数(mirror-image number)是这样,如果na1a2ak则它的镜反数mn=akak-1a2a1。因此1234的镜反数m1234=4321

我们现在想像给出一个数或词,它的镜反数或镜反词就是它的镜子的映射。

这后面四句是明朝王元美的《菩萨蛮·暮春》,你可以看出每句的镜反句组成了另外一首词。

我们称数n满足mn)=n为对称数(palindrome)。12111 12344321都是对称数。

我们现在定义一个运算F ZZ,对于任何x Fx=xmx)。有一个猜想是对任何数x,存在一个整数k,使得Fk会把x 映射到对称数去。这问题看似简单但还没有证明。

例如: 176847159575461400344044,第 5次递代就变成对称数。

平方镜反数

19793月中旬,一位搞固态物理的梅维宁博士给我一封信,谈他的一些发现。

他说他发现二位数、三位数、四位数中有一些数n是满足下面的关系:

 

他当时问了下面的几个问题:

[问题一] 是否在n位数,也是这样?(n6

[问题二] 1213是相邻的数,它们都满足:

m 12)×m 12=m12×12

m 13)×m 13=m 13×13

112 1131112 1113都有类似的性质。还有没有其他的数字(相邻正整数)有此性质?

[问题三] 为什么数会有这样的性质?

他说他是学物理的,觉得这数字很好玩,希望能大家一起来玩玩。

我当时在《广角镜(月刊)》介绍他的发现和问题,并且也介绍了我的一些观察:

[] 对于任何n位数,都存在平方镜反数。(我把满足mn)×mn=mn×n)关系式的数称为平方镜反数,)如12102100210002,…,在12之间插进任何数目的0组成的新数都是平方镜反数。

[] 除了梅维宁找到的相邻平方镜反数{1213}。我发现还有{1112}及{2122}。现在只要把它们扩充如{101102},{10011002},{1000110002},……就可以得到无穷多组这类数组。

[] 这数会有一些特殊性质,请看二位数中有111213212231。三位数中有15个,它们是:101102103111112113121122201202211212221301311

至于四位数中共有 39个。它们是:1001100210031011 1012 1013 1021 1022 1031 1101 1102 11031111 11121113 1121112212011202121112121301200120022011201220212022210121022111 2121 2201 2202 22113001 3011 3101 3111

我们可以看到这些平方镜反数的数值是由0123组成的。

当时我建议读者去研究这方面的问题。而且提出满足mn×n×n)=mn)×mn)×mn)的立方镜反数的概念。

例如,11就是立方镜反数。而小于一万的立方镜反数总共只有6个,希望读者去寻找。

我又列了几个有趣的问题,像:

1)任何三位数n=a1a2a3,下面的绝对值|nmn|一定能被99整除。

2)找出四位数 na1a2a3a4,具有性质 9×n=mn)。

答案只有一个:n=1089

这些问题引起了许多读者的热烈反应。陈景润在他 1988年出版的《初等数论》第3册,介绍这问题。其中一个香港读者当时是中学五年级的学生,竟由此十多年继续在这方面钻研,他得出了许多可喜的结果,今天我要介绍他的一些工作。

华林及他的华林问题

在还没有介绍黄志华先生的工作之前,让我们去看一位二百年前的英国数学家华林所提出的问题。

爱德华·华林(Edward Waring 17361798)是一位很杰出的人,他在 1757年在剑桥大学的数学学位考试中考第一名,取得学士学位。在1760年获得硕士学位,还没得博士学位就被聘为剑桥大学的卢卡斯(Lucas Professor)教授。(见图三)

卢卡斯教授是剑桥大学一个重要的职位,只有在学术上有成就的人才能担当,在这之前I.巴罗(IBorrow)和牛顿(INewton)就是卢卡斯教授。现在许多人都知道在黑洞理论有卓越工作的半身瘫痪的斯蒂芬·霍金(SHawkin)也是卢卡斯教授。

华林不到30岁就当卢卡斯教授,一直到去世为止,前后38年。可是他的博士学位却是医学博士(1770年取得),他曾在伦敦、剑桥及亨丁顿的医院行医。

华林对数论很有兴趣,他在《代数沉思录》(Meditationes algebraicae)里提出了这样的猜想:“每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数的和。”这猜想和1742年德国数学家哥德巴赫(CGoldbach)提出的所谓“哥德巴赫猜想”:“每个大于2的偶数都是两个素数的和”推动后人对数论的研究。