丢番图和不定方程

——兼谈中国人在这方面的工作

丢番图的工作

埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城,它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。

亚历山大大帝在公元前330年建立这城市,在公元前323年他去世之后,托勒米(Ptalamy)成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都,并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院(Museum),世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。

英国科学史家法灵顿(BFarrington 18911974)在他的书《希腊人的科书》这么描写:“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里,存在一种美国式的豪华。”

编写著名的《几何原本》的欧几里得(Euclid)是博物院的第一个希腊数学教授。

在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图(Dioplantos公元214218年)住在亚历山大城里,他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》(Arithmetica)的教科书。

这书总共有13卷,可惜在10世纪时只剩下6卷,其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意,以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本,以后还有英、德、俄等国的译本,这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。

这本书基本上是代数书,有人称他为“代数学之父”,他书中采用符号,研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。

如第一卷第27题:“两数之和是20,乘积是96,求这两数。”

第一卷第28题:“两数之和是20,平方和是208,求这两数。”

第六卷第27题:“求直角三角形的三边,已知它的面积加上斜边是一个平方数,而周长是一个立方数。”

写成现代的式子,令abc是直角三角形的三边,则有:

a2b2c2

a b cN3

这里就要考虑到三次方程了。

这书除了第一卷外,其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题,我们把这种问题叫不定方程。以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程(Diophantine Equations)。

这里举几个例子,像《算术》第二卷第8题:“将一个已知的平方数分为两个平方数。”

例如将16分成两个平方数,设一个平方数是x2,另外一个是16-x2。由于要求是平方数:

16-x2y2

因此,我们一个方程有两个未知数xy。第四卷第3题:“求两个平方,使其和是一个立方数。”写成代数式子是求:

x2y2=z3 的解。

丢番图不限定解是整数的问题,而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解,这是和他不同的地方。

一次不定方程

我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。这类方程一般是形如 axby=c a b c都是整数。一般人认为这是印度数学家婆罗笈多(Brohmagupta)所给出的解决,他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法,我们举几个例子来说明。

1 1027x712y1的整数解。

我们这里a=1027 b712 c=1

11×13-3×4

   =-3×69+16×13

   16×82-19×69

   =-19×31573×82

   73×712-165×315

   =-165×1027+238×712

于是x0=165y0=238是方程的一个特殊解。

2 33x17y=13的整数解。

先求 33x17y=1的整数解

所以 1=17×1-16×1

           33×1-16×2

  13=33×13-16×(2×13

x0=13y0=26 33x17y=13的特殊解。

我们有下面的定理:

[定理] 丢番图方程 axby=c有解,当且仅当 a b的最大公约数d=ab)能整除c。而它的一般解是:

x=x0+Bt

y=y0-At

这里(x0y0)是方程的一个特殊解,ABa=Adb=Bd给出,t是任意的整数。

因此方程 33x17y=13的一般解是:

x=13+17t

y26-33t

《九章算术》的“五家共井”问题

在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。

在这书的第八章《方程》的第13题是这样:“今有五家共井,甲2绠(绠是汲水桶上的绳索)不足如乙1绠,乙3绠不足如丙1绠,丙4绠不足如甲1绠,丁5绠不足如戊一绠,戊6绠不足如甲1绠。如各得所不足1绠,皆逮(达到的意思)。问井深绠长各几何?”

这书在汉朝写成,文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。现在翻译成白话:“有五个家庭共同用一口井,他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水,甲绳两根连接起来还不够井深,短缺数刚好是乙绳的长。乙绳3根连接还不够井深,短缺数刚好是丙绳的长,丙绳4根连接还不够井深,短缺数刚好是丁绳的长,丁绳5根连接不够井深,短缺数是戊绳的长,戊绳6根连接不够井深,短缺是甲绳的长。问井深、绳长各多少?”

我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为xyzst以及井深为u。于是根据题意,我们得到下面的方程组:

2xyu——(1

3yz = u——(2

4zs u——( 3

5stu——(4

6txu——(5

这里是有6个未知数5个方程式,因此是不定方程组。

我们试试解这方程组:

2×(5-1)得: 12t- y = u——(6

3×(6)+(2)得:36tz 4u——(7

4×(7-3)得:144t-s=15u——(8

5×(8)+(4)得:721t=76u

 

《张丘建算经》的“百钱买百鸡”问题

在距今1500多年前的南北朝时期(公元500年左右),有一位叫张丘建的数学家编辑了一本算术书叫《张丘建算经》,在下卷第38题有一个不定方程组问题。原文如下:

“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”

如果用xyz代表鸡翁,鸡母,小鸡的个数,由题意可得:

xyz=100——(2

3×(1-2)得                        14x8y=200

化简                                            7x4y=100

先解                                            7x4y=1

1=4-1×34-7-4×1

4×2-7×17×(-1)+4×2

所以  7x4y=100的特殊解是:

x0-100

y0200

7x4y=100的一般解是:

x=-100+4t

y200-7t

由于  0x yz100

所以  0-1004t100——(3

            0200-7t100——(4

因此t只能是262728

所以我们得三组答案:

                   t                   鸡翁             鸡母           小鸡

[1]               26                4                  18               78

[2]               27                8                  11               81

[3]               28                12                 4                 84

“百鸡问题”在张丘建的书提出之后,历代的中国数学家都有叙述。北周甄鸾在《数术记遗》,南宋杨辉在《续古摘奇算法》(1275年)也研究“百鸡问题”,在该书里有一道这样的题目:“钱一百买温柑、绿结、扁桔共一百枚,只云温柑一枚七文,绿桔一枚三文,扁桔三枚一文,问各买几何?”这里鸡变成了柑桔!而杨辉还提出将“百鸡问题”转变为“鸡兔同笼”问题。

在清朝研究“百鸡术”的人很多像骆腾凤、时曰醇、丁取思、黄宗宪都是。我们会在下面的部分再介绍他们的工作。

9世纪印度数学家摩诃吠罗(Mahavira)在他的著作中有不定方程问题,和“百鸡问题”完全相同的形式出现!

日本人在18世纪数学受中国的影响很大,会田安明写的《诸约混一术》有:“百钱买百果,柿每十个值十钱,梨每十个值二十钱,粟每十个二钱,问三种果各几个?”你能不能找出11组答案?

《孙子算经》的“物不知数”问题

成书比《张丘建算经》还要早一些的《孙子算经》共有三卷。在下卷有一些算术难题,像“鸡兔同笼”的问题。可是最著名的是第26题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”

如我们设未知数为N,则依题意我们得下面的不定方程组:

3x2 N

5y3 N

7z 2 N

古代称这问题为“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“韩信点兵”、“剪管术”、“神奇妙算”、“大衍求一术”等等。

明朝程大位著的《算法统宗》有一个歌诀讲这个问题的解法:

“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。”

这是什么意思呢?它是把下面的方法用歌诀来帮助记忆:用703除所得的余数,215除所得的余数,157除所得的余数,然后总加起来。如果它大于105,则减105,还大再减,一直到不能减为止,这时所得的正数就是答数了。

因此以上的《孙子算经》的问题,写成式子是:

2×703×212×15=233

233-2×105 233-210 23

23就是答案了。

 

宋代有一本笔记,记载另外一首解法的诗歌:

“三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇;

七度上元重相会,寒食清明便可知。”

这诗需要解释才能参透其中的奥秘,古时候称正月十五日为“上元”,所以“上元”暗指15。古时称“冬至百六是清明”,寒食是清明前一日,所以“寒食清明”暗指105

这间题和古代历法的推算有关,可惜这方法没有流传下来,一直到宋代数学家秦九韶写《数书九章》才有系统的叙述。

这个孙子问题在外国是称为“中国剩余定理”,我在《数学和数学家的故事》第一集有详细介绍这个问题及解法。请参阅《举世闻名的中国剩余定理——兼谈南宋秦九韶及黄宗宪的工作》一文。

印度人在古代有类似的问题,例如在公元522年巴斯卡拉(Bhoskara)的书就有:“求一数除85,除94,除71。”

“告诉我数学家,有一被23456除都剩1,可是却能被7整除。”

中国一直到清朝由于研究数学古籍才发掘秦九韶的《大衍求一术》,在这方面工作的人有张敦仁,他在1831年写《求一算术》,骆腾凤在1815年的《艺术录》中讨论大衍求一术,1873年时曰谆的《求一术指》及黄宗宪1874年《求一术通解》。

我这里想提一点是,时曰谆像著名的欧拉一样,到了晚年两只眼睛都瞎了,他在儿子的协助之下,仍顽强地研究和写作,我会在今后的《数学和数学家的故事》中介绍他的一些工作。

勾股数

在丢番图的《算术》第二卷第8题是:“将一个已知的平方数分为两个平方数。”

该问题是来源于几何的毕达哥拉斯定理,中国由于在《周髀算经》有周公问商高关于测天高的问题,基本上是勾股定理,有人建议称为商高定理。

满足不定方程x2y2z2xyz的自然数( xyz)称为勾股数。《周髀算经》提出“折矩以为勾广三、股修四、径隅五”,因此早在公元前1世纪(即2000多年前),我们的祖宗已经知(345)是勾股数。

我们不算最早知道勾股定理的民族,埃及人也知道用(345)来建造埃及的金字塔。

可是人们找到一块距今4000-3300年间的巴比伦人的泥板书,可以证明生活在幼发拉底河及底格里斯河流域的巴比伦人早就对勾股数有深入的认识。

现珍藏在美国哥伦比亚大学,编号为Plimpton322的泥板书在1945年被由欧洲躲避希特勒迫害的巴比伦考古学家及数学家奥图·奈克包威尔(Otto Nangebauer 1899526-19901219)以及他的助手萨克斯(Sachs)破译。

这泥板书不大,只有5英寸、长3英寸半宽。有四列数据,从右边到左看,第一列是代表行数,第二列是代表斜边。第三列代表直角三角形的一边b,最初不知道最左边那列数的意义。后来奈克包威尔发现如

由于巴比伦人是用60进位制,因此把泥板书的数化成10进制我们得到应该是这样的表。这些是一些勾股数。

奈克包威尔估计古代的巴比伦人是这样解x2+y2=z2。他们先假定xyz的解是形如x=atybtzabt的样本。这里abt都是未知数我们待决定,代进入方程式我们有:

at2+(at2=abt2

化简得:t2-2ab0

如果设 a=2m2b=n2,那么以上的式子得 t=2mn

现在 xa+t=2m2+ 2mn

          y=bt=n22mn

          z=m2+mn2

我们如果令mu-vn=v 代入以上的式子,我们可以得:

x=2uv

y=u2-v2

z=u2v2

以前人们也曾研究过这块泥板,最初以为是巴比伦人的商业记录,没有什么重要的意义。奈克包威尔及萨克斯的破译工作揭示了巴比伦人对数学是曾有深入的认识,对于他们的文明我们还需要更深入的了解。

在中国的《九章算术》的“勾股章”有八组勾数:(345)、(51213)、(72425)、(81517)、(202129)、(2099101)、(485573)、(6091109)。

现在让我们看《九章算术》勾股章第14题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三。乙东行,甲南十步而斜东北与乙会,甲乙行各几何?”答数:乙东行10.5步,甲斜行14.5步。这里晋朝的刘徽给出一些注释,并给出求勾股数的一般方法。

由于这注不容易给现代的人明白,中国数学史家沈康身教授在《中算导论》(上海教育出版社1986)给出了一个解释(见下表)。可以看出刘徽的公式基本上是和前面给出的勾股数公式是等价的。

三次的丢番图方程

在丢番图的《算术》第四卷第3题:“求两个平方数,使其和是一个立方数。”

写成代数式子是x2+y2=z3

丢番图给出一个解答是这样:假设y=2x,则x2+y2=x24x25x2

如果zx的第一倍数,比方说它就是x,于是5x2=x3x=5,所以 y=2x=10

故两个平方数是25 100,而25100=125=53

丢番图没有给出一般解,你能找到它的一般解吗?

在《算术》书里还有第六卷第17题:“求直角三角形三边,已知它的面积加上斜边是一个平方数,而周长是一个立方数。”

写成式子是   a2+b2=c2

这里我想讲一个故事:印度有一个靠自学成功的数学家,他的名叫拉玛奴江(Srinivasa Ramanujan 1887-1920)(见图一),他在27岁之前靠自修发现了一些美妙的数学定理,后来有机会到英国剑桥大学去和著名的数学家哈地(GHHardy 18771947)一起工作。

哈地发现拉玛奴江在某方面的数学知识是很无知就像白痴一样,可是在对数学以及级数的认识以及直觉能力惊人就像天才。哈地认为他不需要去上课,而是直接和他讨论共同研究一些有趣的难题。

拉玛奴江在留英期间不长,只是短短的五年,可是发表了21篇论文和17篇注记。后来由于他在青少年时因贫病,身体衰弱,肺部被结核菌侵蚀,住进医院一个时期。他后来要求回印度,过了不久就去世,死时才33岁。

哈地有一次去医院探望拉玛奴江,他叫了一辆出租汽车,到了医院就对在病床上显得百无聊赖的拉玛奴江说:“我刚才乘的汽车,车牌号码是1729,看来这个数字没有什么特别的意义。”

谁知拉玛奴江稍微思索就回答:“这是最小的整数能用二种方法来表示为二个整数的立方的和。”

  1729= 13 123 =93 103

后来哈地惊叹地回忆:“所有的数字,好像都是拉玛奴江的朋友,他对他们都非常的熟悉能讲出关于它们的许多美丽的性质。”(读者可以参看《数学和数学家的故事》第一集里“邮票上的印度数学家”一文。)

事实上拉玛奴江是给出三次丢番图方程:

x3y3u3v3

的最小整数解。

人们发现和小于十万的解只有10个:

172913123=93103

41042316393+153

1383223+243=183203

20683103273193204

3283243+323183+303

3931223+343153+333

4003393+343163+333

4668333+363273+303

64232173393263363

65728123403313333

拉玛奴江给出了以上问题的一般解:

x=α+λ2γ

y=λβ+γ

u=λα+γ

v=β+λ2α

这里α,β,λ,γ满足下面的等式:

α2+αβ+β2=3λγ2

拉玛奴江对不定方程有许多精彩的结果以后我会再谈。

中国的丢番图方程权威

我们知道不定方程中国人曾经在历史上有着卓越贡献,现代也有一位中国人在国际上闻名,他的名字叫柯召。

柯召(1910- )是浙江省温岭人,他在1928年进入厦门大学念数学系,两年后为了要到更好的清华大学去,他教了一年中学,筹备学费在1931年转入清华大学算学系。

当时清华大学算学系系主任是留学法国的熊庆来教授,还有一些名师像孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)、郑桐荪(陈省身的岳父)等。

与柯召一起上课的有陈省身、华罗庚、吴大任和许宝騄。那时华罗庚是系的助理员、收发文件、打字刻写讲议,又管理图书、兼管改两个班的卷子,一个月拿四十块大洋。

熊庆来知道柯召家庭贫困,就安排他改一班微积分作业,给他每个月二十块大洋,当时一个月伙食费是五块大洋,他就可以不为衣食而担心,能够安心上课学习。

柯召和杨武之的感情很好,常到他的家中下围棋。杨武之是芝加哥大学毕业,受业于美国著名的数论家狄克生(LEDickson 1874 1221954117),狄克生在 1919年写了两卷巨著《数论历史》(History of the theory of numbers),特别是第二卷专门谈丢番图方程。杨武之指导过华罗庚和柯召进入数论的不定方程的研究。

1933年柯召以优异成绩毕业,数学系和物理系都是闻名的淘汰率极高的系,同届一年级入学的有三十多人,到他毕业只剩下他和许宝騄两人,其他学生不是留级便是淘汰了。

毕业之后,到姜立夫主持的天津南开大学任数学系的助教,教过复变函数、实变函数和理论力学几门课,薪水是80大洋,第二年升到100大洋的月薪。

1935年,他考上了中英庚子赔款的公费留学生,到英国曼彻斯特大学,跟著名的数学家莫德尔(LJMordell 1888128-1972 312)学习。

导师看了他在清华读书时所写的论文,对他很满意,按规定是要三年学习年限,他缩短为两年。并给他德国数学家闵可夫斯基(Minkowski)的猜测让他去做。

第一个星期,柯召回去报告说他没有什么进展,莫德尔教授安慰他:“我对这问题已做了三年还未解决,所以不要失望。”并鼓励他再接再厉。

两个月后,柯召完成了一篇很有创见的研究论文。莫德尔认为这论文已有博士论文的水平,不过按制度他还要两年后才能毕业,并要他到伦敦数学学会去报告这篇论文。

其中的听众有著名剑桥数学家哈地,两年后,他还是他的博士论文的校外考官。

在曼彻斯特大学,他和从匈牙利来的保罗·厄多斯(Paul Erd s)成为好朋友,他们常到老师的家玩桥牌。(关于厄多斯的传请见《数学和数学家的故事》第二集)

1938年,厄多斯提出这样的猜想:

不定方程 xxyy=zz,当 x1y1z1时没有整数解。

1940年柯召证明当xy是互质时该不定方程是无解,但如果xy有公共素因数,则上式有无穷多组解。

厄多斯在许多会议提起柯召这个工作,认为是非常漂亮的结果,并且建议人们是否可能找到其他的解。可是50年过去了还没有什么进展。

我在约20多年前曾在法国巴黎的庞加莱数学研究中心遇见厄多斯,他问我是否认识柯召,有没有他的消息?对这老朋友他是非常的怀念。

1962年柯召研究了1844年法国数学家卡特兰(Catalan)的猜想:89是仅有的两个大于1的连续整数,它们都是正整数的乘幂。

柯召证明了不存在三个连续数都是正整数的乘幂。请看PRibenbeim的书“Catalon's conjecture”。

莫德尔是美国人在英国剑桥大学读书,他最初对数论兴趣是看到查马考虑的一个丢番图方程,求y2=x3k的整数解问题。

柯召受莫德尔的影响也考虑类似的问题,在1962年,他解决了方程x2-1=yn n3时无xy0的正整数解。他的老师在他的名著《丢番图方程》(Diophantine equations)里记载介绍柯召的结果。

1960年,柯召证明了xyzxyz1没有有理数解。

他本身也考虑了下面的不定方程:

1axbyczn

2)(a2-b2x+(2aby=a2b2z

3x3+y3z3xyz

4x4pqy21                                   (和孙琦)

5x4-Dy2=1                                       (和孙琦)

6x3-Dy2=±1                                    (和孙琦)

7x2-Dy4=1                                       (和孙琦)

8)表数相同的三元二次型(和郑德勋)

他在1980年和孙琦合写《谈谈不定方程》是中国第一本较系统和全面地介绍这领域的通俗读物。