从直角三角形谈起

——到“费马最后定理”

学过平面几何的人们都知道直角三角形的勾、股、弦有一个重要的关系式:

2+2=2

中国人称它为《商高定理》,因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载古代数学家商高谈到这关系式。

希腊数学家欧几里说的《几何原本》称这定理为《毕达哥拉斯定理》,受英文教育的朋友也称这定理为Pythagoras定理。在早期的几何书上给出了a2+b2=c2的一般解公式:

a=2pq×db=p2-q2)×dc=p2+q2)×d

事实上,这些并不是最古的记载。在40年代时,两位古巴比伦考古学家纽格包尔(O. Neugebcuer)及沙赫斯(A. Sachs)发现了巴比伦泥板书编号为 PLIMPTON 322已经有计算15个弦、勾、股数组,而当时考证这泥板书存在的年代是在公元前19001600年间。

a2+b2=c2这式子,我们可以变换成a2=c2-b2=c+b)(c-b)。

如果我取c=9b=4,我们可以得到:

65=92-42=9+4)(9-4=13×5

希腊数学家丢番图(Diophontus)在他的第三册数学书里道:“这是很自然的,65能表示成两种不同的平方数的和16+4964+1。所以会如此是因为它是135的乘积,而这些数每个都是平方数的和。”

在这里用到平方数的一个性质:

丢番图的书是用希腊文写,在16世纪时翻译成拉丁文。这书在欧洲影响了一些人从事数学的研究。

在法国有一位政府公务员名叫费马(Pierre de Fermat 1601-1665)在公余时读丢番图的书,并自己从事一些数论的研究,在当时并没有什么数学杂志可以发表,他把自己的发现借书信方式通知他的朋友麦爽(Mersenne)神父或者写在他的书上。

在他去世之后,他的儿子沙姆儿(Samuel),把他的书信,手稿及一些数学研究的记录收集成一本书出版,他的工作才流传到后世。而人们也知道他的著名的《费马最后定理》(Fermat Last Theorem),这定理不该称为定理——因为直到目前为止还没有任何一个数学家能证明这个问题是正确的!

费马在他的丢番图《算术》一书的求x2+y2=z2的一般解的问题旁边,用笔写下了这样的读书心得:“反过来说,这是不可能把一个立方数分成两个立方数的和,一个四方数成为两个四方数的和:更一般,任何大过二的方数是不能表示成同样方数的二个数的和。我已发现了这个定理的巧妙证明,可是这书页的边线太狭窄不够书写整个证明。”

人们不相信费马找到了这个定理的证明,因为许多有名的数学家后来要证明这定理都徒劳无功,而有一些《广角镜》的读者也曾寄这个定理的“证明”给我,最后还是发现错误百出。

1908年德国数学家 Paul Wolfskehl捐出十万马克给哥庭根的科学会,准备奖赏第一个给出费马定理的准确证明的人,在第一次大战前这奖金因马克贬值变成一文不值,到了第二次世界大战之后,德国经济好转,这钱现在值一万马克以上。

费马认为:当n3xn+yn=zn没有正整数解。

人们相信费马用他所创造的无穷下降法证明这猜想在n=4时是成立。(请参阅拙著《数学和数学家的故事》第一集里的有关文章。)

第一个给出n=3的证明是瑞士大数学家欧拉(Leonard Euler 1707-1783),他在1753年给出证明x3+y3=z3没有整数解。

欧拉的证明

对于一些寄给我《费马最后定理》的证明的读者,我往往劝他们先对n=3的情形证明,因为这最容易发现他们的方法是否正确。

让我介绍欧拉的证明。他是用反证法。假定x3+y3=z3有整数解,那么有两个未知数必须是奇数,因此我们可以假定z是偶数而xy是奇数,于是我们可以改写

x+y=2px-y=2q

使设x=p+qy=p-q

由于z3=x3+y3=x+y)(x2-xy+y2=2pp2+3q2

p+qp-q是奇数,pq不能同时是偶数或同时是奇数。而且pq的最大公约数是1

由以上的式子我们可以看出不可能是“p是奇数,q是偶数”,因为不然我们就有z3能被2整除而不能被8整除,这是不可能的事。因此必须是“p是偶数,q是奇数”,于是我们推论p2+3q2是奇数。由于pq互素(即最大公约数GCDpq=1),因此2pp2+3q2可能是互素或有一个3的因子。第一种情况:2pp2+3q2是互素。

3不能整除p也不能整除z。由于2pp2+3q2是互素,每一个一定是一个完全立方数。

利用公式

a2+3b23=a3-9ab22+33a2b-3b32

我们可以找到形如p2+3q2的立方数,通过找ab使设

p=a3-9ab2q=3a2b-3b3

(欧拉在这里认为这是唯一的方法可以使p2+3q2是一个立方数。而这要在一百年之后用德国数学家Kummer的工作,可以证明是对的。)

pq分解因式

p=aa-3b)(a+3b

q=3aa-ba+b

而这里ab是互素。另外

2p=2aa-3d)(a+3b=立方数

由于3不能整除p2aa-3ba+3b是两个互素,因此它们都是立方数。我们会得到

2a=A3a-3b=B3a+3b=C3

由此我们可设

A3+B3=C3

可是A3×B3×C3=2p

而且是z3的因子,因此我们有

A3×B3×C3z3

ABC中会有负数;我们可以将负数移到等号的另一边使到方程式定形如

A*3+B*3=C*3

的形式,而A*B*C*都是正数,因而给出n=3的较小的整数解。

第二种情况:3能整除p,我们可写p=3s,又q不能被3整除,我们有

z3=2pp2+3q2

=9×2s3s2+q2

我们见到9×2s3s2+q2是互素,因此它们都是立方数。用原第一种情况的理由,我们知道3s2+q2只有当q=aa-3b)(a+3b)及s=3ba-b)(a+b)时方能成为立方数。由于

9×2s=27×2ba-b)(a+b

是立方数,因此2ba-b)(a+b)必须是立方数,因此我们可以推导至

A3+B3=C3  AxByCz

根据无穷下降原理,这是不可能的事。

因此我们证明了当z是偶数,xy是奇数时,x3+y3=z3不可能有整数解。如果x(或者y)是偶数,我们可以考虑方程式

x3=z3-y3(或者y3=z3-x3

再用像前面的推证也可以证到x3+y3=z3没有整数解。

欧拉在175384日写给他的好友哥德巴赫(Goldbach)的信中讲述他的对n=3的证明是和费马n=4的证明是多么的不一样。

在以后的90年,这问题没有什么进展。

女数学家苏菲·日耳曼的工作

在早期尝试解决“费马最后定理”的几个英雄豪杰里面有一个巾帼英雄,她是法国的苏菲·日耳曼(Sophie Germain 1776-1831)。

她在13岁时是一个很害羞、胆怯的女孩,有一天她在父亲的书房读到关于希腊科学家阿基米德(Archimedes)的传记,被里面的记载深深感动。传记作者说阿基米德如何沉迷于数学和科学的研究,以致于忘记吃饭,要仆人提醒他吃和喝。

她想日后成为像阿基米德一样的科学家,不想参与普通女孩的活动,从而自己阅读和研究数学书籍。苏菲的父母对她的改变不赞同,阻止她读数学书。而她却偷偷在床被下读数学书籍。

在巴黎的著名工艺学院,有许多出色的数学家和科学家执教,但是该校不收女生。苏菲就用男姓的假名Le Blanc(法文“白先生”)和在那里的教授勒让得(Legendre)通讯,最后勒让得惊异的发现所谓的“白先生”竟然是一个含羞答答的女性。

苏菲也读德国著名数学家高斯在数论的工作,最后她鼓起勇气用“白先生”的假名和高斯讨论她怎样用他的工作来处理费马最后定理。后来高斯发现他所尊敬的同行白先生是一个女性时,高斯写了一封充满惊叹号的赞扬信,在信中说:“对于抽象科学家以及在这亡上的奇异数字会欣赏的人是很少——科学和数学不是会使许多人注意的科目,只有有勇气愿意深入探讨的人才会爱它。对于一个异性来说,我们的世俗偏见和传统是制造无穷的障碍使她们能克服许多困难而进入这园地,如果她们能进入研究,她们需具有无可置疑的勇气和天才。……”

苏菲发现了这样的定理:“如果n是一个奇素数而如果2n+1也是素数,那么xn+yn=zn中的xyz含有一个是能被n整除。

因为这样传统来说数学家把费马最后定理分成两类。一类是没有一个xyz是能被n整除,另外一类是在xyz中只有一个数是能被n整除。

苏菲·日耳曼在费马最后定理的一个重要贡献是证明了下面以她的名字命名的定理:“如果n是奇素数,而且存在一个素数p使得

1xn+yn=zn如能被p整除,就会有xyz其中之一能被p整除。

2xn-n不能被p整除,那么xn+yn+zn=0是不可能,除非在xyz中只有唯一个数能被n整除。”

苏菲利用这个定理,可以证明所有第一类的费马问题,奇素数n是少于100,后来勒让得推广至所有的素数是少于197的情形。

后来人们发现高斯也曾给出n=5n=7的情形的证明,但从来没有发表,而证明的方法和后来的法国数学家 DirichletLamé的证明相同。

德国数学家库默

在讲到费马最后定理不能不提一个德国数学家——库默(E. E. Kummer 1810-1893)。库默3岁就丧父,靠母亲工作,他才能进入中学读书。18岁时,他到哈勒大学(Halle Universitat)去读神学,很幸运遇到一位数学教授鼓励他读数学,他最后放弃读神学而报考数学。他后来对朋友说:“我放弃哲学和神学,主要是在数学里没有错误。”在大学第三年他解决了一个悬赏的问题,而获得了学士学位。当时他才21岁,可是大学没有位置容纳他,他只好到莱比锡的中学教书。一教就教了10年。

1849年法国巴黎科学院悬赏3000法郎给能解决费马最后定理的人。可是在截止日期没有人有比库默的工作更出色,在1857年法国科学院公布:“本委员会发现提供这问题的解答的参加者,没有人能得上库默先生在由1的复数根及整数组成的数的有效成果。”

库默证明了许多素数n是不能使xn+yn=zn有整数解。他的想法后来提供了近世代数环论里的“理想”(ideal)的概念。他后来在大学教书是公认对学生发展并肯帮忙年青人的好教授。他在83岁时死于流行性感冒。

用几何观点来看问题

我们现在回头来看商高定理:

a2+b2=c2

如果我在等式两边用c除,我可以得到:

在平面上曲线(这是个圆)x2+y2=1的所有有理数点(xy)。

如果在平面上的单位圆x2+y2=1上的一点(-10)作一条斜率为t的直线与此圆交另外一点的坐标可以写成

我们可以看到单位圆的方程,可以用参数t来表示

我们现在定义在实平面上的曲线为有理曲线(rational curve),如果我们能找到参数t使的曲线xt),yt))的xt),yt)都是有理函数。

圆锥曲线都是有理曲线,可是在平面上大部分的曲线是无理曲线(irrational curve即非有理曲线)。比方说当n3xn+yn=1就是无理曲线。

假定fxy)是一个二元方程,我们考虑所有的复数xy满足方程fxy=0。这些解对应了一个几何曲面。这些曲面拓扑学家早已用它上面的洞(hole)或者把柄(handle)(见图三)来刻画。二次曲面上的把柄数或者洞数,在数学上是称作曲线的亏格数(genus)。

一次二次多项式方程的所有复数解组成的曲面是没有洞的,即拓扑学上的圆球面。这些曲线要么没有有理数解要么有无穷多的有理数解,而这无穷解只要能找到一个就可以找到其他的解。

三次多项式的复数解形成一个只有一个洞的曲面,拓扑学上是指圆环曲面(torns)。

在多项式方程是次数在三以上的,如果曲面是非奇异(non-singular),即存在一个点使得在这点上计算对曲面的偏导数(partial derivative)不等于零,人们发现一个公式可以计算它的“亏格数”。

1922年英国数学家莫迭儿(Lewis J. Mordell)给出下面的猜想:“如果一个定义在实数域上的曲线亏格数大于或等于2,则曲线上的有理数点的个数有限。”

我们可以计算xn+yn=1的亏格数,它是:

n4时,g2。因此由莫迭儿的猜想我们可以证明方程xn+yn=zn最多只有有限个整数解。

1983年春天,德国一个青年数学家弗丁(gerd Faltings)宣布他证明了莫迭儿猜想。他的证明用了哈佛大学约翰·铁特(John Tate)以及苏联数学家萨发列维奇(I. R. Shcfarivich),巴辛(A. N. Parsin),查尔金(Y. Z. Zarkin)及阿拉刻诺夫(S. Arakelov)的工作。

当这消息传播出来,芝加哥大学的布洛克教授(Spencer Bloch)说“这是本世纪的一个伟大的定理。”

有些读者曾给我寄来他们的“初等证明”。我现在要说的是:费马最后定理要解决,所用的工具不是初等数学所能处理。

现在要用到“解析数论”,“近世代数”,“代数几何”这类较为深的数学。因此我不鼓励青年去尝试解决费马最后问题。

在数论中有许多美丽的问题,我想有机会我会介绍给读者,或者读者可以用初等方法来处理,但是有一些有名的难题是一座“金刚山”,要用木犁来开山会吃力不讨好。

当弗丁的工作公开时,美国几所著名大学的数学系,如哥伦比亚大学,哈佛大学,芝加哥大学及斯坦福大学拿他的工作来论讲,甚至IBM的研究所以及贝尔实验室的研究员都报告他的工作,大家想从他的方法中学习一些技巧。

弗丁在1986年世界数学大会上取得了著名的菲尔兹奖(Fields medal),现在已被聘请到美国教书和研究。