英国的怪数学家康威

或许你可以不相信上帝,但是你不得不相信数学;无论用什么方法论证,你都没法证到二加二不等于四,它决不可能等于五。

——康威

我选择每个人认为复杂的事情,证明它们并不复杂。我已经改变我的去向,一度我曾以世界一流的数学家自期,但是我逐渐变得懒散,才学不足。现在我只尝试让每件事物,以最简单的形式,出现在每个人之前。

——康威

如果一种米可以养百样人,那么数学家就有千姿万态。许多人以为多数的数学家有些怪怪的,要嘛心理不平衡,只知废寝忘食搞人们都不懂的东西,与普通人落落寡欢,交谈起来词不达义,语言没有生活的色彩。

今天我要介绍的是当代著名的英国数学家:约翰·何顿·康威(John Horton Conway)。他是剑桥三一学院(Trinity College)的教授,最近被邀请到美国普林斯顿研究所。他是有一些怪,但他的成就却是举世公认,许多人玩过他发明的数学游戏——“生命游戏”(Game of Life)。他的年纪不大,今年才48岁,可是纯真得像儿童。

如果你是相信有上帝,你又认识康威的话,你又相信耶稣说的只有纯真像儿童的人可以进天国,那么你会认为天国的大门对康威来说可以畅通无阻。

60年代初,康威还是剑桥大学的研究生就已经沉迷于数学益智游戏,他和同住的大学生麦克·盖(Mike Guy)解决了一种拼凑方块游戏的全部可能的方法而闻名一时。以后他又发明了许多数字游戏,有些游戏数学家还用电脑来协助研究它们所提供的一些数学问题。

兴趣广泛的童年

康威小时就对数学产生兴趣,在四岁的时候他就能背诵2的乘方数:1222=423=81632,……一直到1024,。

他对物理、工程、魔术都有兴趣,有一次他看到有人能快速拉出盖在桌上的桌布而能使杯盘不会倾倒的表演,他就在圣诞节时表演这个魔术,可是技术不好,餐桌上的餐具全摔落在地面!

剑桥出了牛顿和达尔文等著名科学家。小时候,他就希望长大后能成为剑桥的数学教授。10岁时,同学都戏称他为“教授”。

他在念高年级时,就自我训练快速的计算能力。他后来回忆:“在那时候,如果问我651乘以347等于多少?我能在几秒之内提出正确的答案。”为了提高速算的能力,他训练增强记忆力,曾经背诵圆周率π=3.1415926……一直到小数点之后一千位。

绳结专家

康威在中学时对绳结发生兴趣,他收集各种奇形怪状的绳结。

绳结是人类古老的计数工具——在绳子上拴成各种结子来表示数。中国古书就有“结绳而治”的记载,在波斯就有传说:古代的大理王派军队去远征斯基福人,派他的一些卫队守卫家乡的桥。他留给他们一条拴上了六十个结的皮条:“卫士们,你们记住:当你们知道我宣布去打斯基福那一天起,每一天解一个结,当所有这些结所表示的日子过去了,你们就可以回家。”

日本琉球群岛、美洲秘鲁的印第安人都有用绳结来计算及记载一些事迹。

康威说:“绳结问题,本质上就是数学问题。”他在剑桥时写了一篇关于绳结的重要数学论文,其中主要的思想是源自中学时的概念。后来他还编写了一本绳结集,收集各种各样的绳结。

绳结和数学上的拓扑学及群论有关系。美国的一些绳结理论家,有些专程到英国向康威请教,他通常一边讨论一边在纸头上涂写一些算式,这样往往有一些意想不到的结果出现。这些专家有些难题,往往就被康威轻而易举的解决。

群论的大师

群论是抽象代数的分支。它是研究一种叫着“群”(Group)的代数系统。一个集合S,及它的一个二元运算oS×SS如果满足下面的性质:

1)存在一个元素I,使得对每一个在S里的M

2)对每一个元素M,有一逆元(inverse elementM-1使得

3)运算满足结合律(Associative law

我们就称为群。

比方说所有的整数Z,对加法运算组成一个群(Z+)。所有的偶数2Z集合,对于加法运算“+”组合一个群。

1A={正,反}

2)正三角形ABC的三个转动(图一)

S={IMB}及乘法由下面表绘出(图二)

群论的基本概念是由法国一个少年伽罗华(E. Galoìs 1811-1832)提出。他为了要知道一元高次代数方程的解而找出群这个威力的工具,他利用他所创作的工具,证明了:

ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0a0

的代数方程没有像二次方程那样可以用公式表示它的根:

近代的物理学家和化学家发现群论可以帮助他们研究分子的结构及用来预测一些未发现的基本粒子的存在。

对于数学家来说,他们兴趣在于研究系统的自同构群。而对搞群论的人来说他们兴趣在于所谓“单群分类”(Glassification of simple groups)的问题。

单群是一种结构较为简单的群,它只有两个正规子群(normal subgroups)。它们像原子核里的基本粒子,可是要寻找新的有限单群却是不容易的事,在60年代末期康威很幸运的找到了三个有限单群,这些单群被数学家命名为“康威单群”(Conway simple group)。

康威的单群是属于26个著名的“散见单群”(Sporadic groups)。最新的散见单群是1980年由密西根大学的罗柏·克里斯(R. Grìess)所发现,由于结构庞大,康威戏称为“怪物”(Monster),以后大家都引用这个称呼。它代表在196883维空间里的旋转,对于一般数学家这东西就能令他们昏头转向,而康威却说:“没有人能否认‘怪物’是一个很引人的抽象结构。想像一个在196883维空间里的钻石,它有1054个转轴和旋转中心,而仍能显示其匀称和均致。任何人,只要能想像这个196883维空间里的东西,一定会由衷的赞美,你随时可以在脑筋里想像它。我确被它震慑住,觉得它将在现实世界扮演一个突出的角色……或许将是基本粒子理论的一个重要工具。”

“生命游戏”的创始者

如果你要体会像上帝那样“创造”的喜悦,你必须玩一玩康威的“生命游戏”。这游戏可以在纸盘上一步一步推写,也可以输送到电脑里快速操作。在1970年康威提出这游戏,曾经轰动一时,不单是一些普通人在玩,而一些有名的数学家及电脑专家也乐此不疲,有人曾开玩笑说:“全世界有四分之一的电脑在跑‘生命游戏’的程式。”

我曾经教我的学生写程式,结果大家都觉得这游戏真是神奇。

这游戏是一人游戏。首先准备一个有许多正方格的大纸盘,随意在上面里放一些圆棋,称为胞体(cell),然后遵循下面的规则:

1)复生——一个胞体在t时刻是“死”,而在t+1时刻是“活”,如果它的八个邻域有三个胞体在t时刻是“活”的。

2)死于孤单——一个活的胞体在t时刻没有或只有一个胞体邻域,就会在t+1时刻死亡。

3)死于过度拥挤——一个活的胞体在t时刻如有四个或四个以上的邻居,就会在t+1时刻因过度拥挤而死去。

4)生存之道——一个胞体在t时刻生存而能延续生命到t+1时刻,当且仅当它在t时刻有二个或三个活邻域。

这个游戏是叫人们生活不可太孤单也不可以太滥交。

让我们举一个例子说明。

在(图三)里有棋的是活胞体,de的棋会因孤单而在下一时刻死亡,po会因为太拥挤而死亡。小圆点表示会在下一时刻复生。

我们在图四显示五个胞体连成一线以后变化的情况。其中,粗圆黑点表示该胞体在下一时刻仍会生存,白圆圈表示会在下一时刻死亡,小圆点表示会在下一时刻复生。

读者可以自己设计一些图形并研究它们变化的情形,你会发现有许多神奇的变化。比如,6个胞体连成一线最后在t+12时刻会消亡;7个胞体连成一线最后在t+14时刻不再有任何死亡复生的胞体;9个胞体连成一线最后在t+20时刻以后会出现两种图形的交替变换;……

康威的轶闻

康威喜欢小孩子的玩艺儿,他说:“一般人觉得乏味的,正是我所感兴趣的东西。”在剑桥大学的数学系教授休息室,人们可看到他常常赤着脚,用纸和笔在玩数学游戏,有时就捉着学生、教授或访客和他玩。没有对手,就自己坐在地板上,分析和研究这些游戏。

他教书时却是兴之所致讲他喜欢的东西,对程度不好的学生,会认为他在讲天书和不负责任。对天分较高的学生,就会觉得跟着大师奔驰在抽象的自由王国而获益不浅。他为人随便,没有架子,可以与学生到酒馆聊游戏、打弹球、谈数学。

康威的办公室是杂乱闻名(见图五)。加拿大著名数学家理查德·盖(Richard Guy)就是康威的好朋友麦克·盖的父亲,在一篇介绍康威的报道中这样描写:“在他的剑桥大学纯数学和统计系的办公室里几张桌子堆满了论文、书籍、没有回复的文件、笔记、模型、流程、图表、几个喝完没洗的咖啡杯以及一些各种各样的玩艺儿,这些东西泛滥到地板上和椅子上,因此很难容两人在办公室里及坐下来。如果你能走到黑板,你会看到各种颜色的粉笔字迹,却没有地方让你写东西。虽然他有很好的记忆力可是他常常找不到几天前他写下重要发现的纸张,他只好重新写。”

有许多人写信给他,他把信件随便放在“纸海”里去,几年之后有时看到信上邮戳是几年前的信,他觉得最好的处理方式是不再去拆阅,免得有罪恶感,这样心情可以较安宁。有人批评他处理信函的态度是“不负责任”。但是他仍不能改变办公室凌乱所带来的不便。

他结婚两次,与前妻艾林(Eileen)生了四个女儿,老大已24岁,最小的女儿6岁。他能集中精神工作,当四个女儿还小的时候,他常常让她们爬在他身上,而一面计算复杂的公式,他能够忘记孩子的干扰或者设法指引她们对他的工作的兴趣,解释其中最简单的部分或者使她们了解他所做的部分。

他的第二次婚姻娶的是一个苏联移民拉娜·奎因(Laia Queen),她在三一学院当数学研究员。他们共同生活五年生了一个男孩,而拉娜与前夫有一个快二十岁的男孩。他们租居一座有二百年历史的老屋,达尔文在发表他的名著前曾在附近居住。

他一个人要负担两个家庭的费用,可以说是相当清贫。他不开车也从不买车,重要原因是他常深入数学世界,忘记周围,如

果开车容易发生意外。他家里连电视机也没有,除了搞数学,他唯一的乐趣是每月买几本旧书摊的二手平装书。

他说他喜欢家庭生活,喜欢小孩,散步。每天早上他喂他的孩子阿历山大,一边喝咖啡,一边在《卫报》的边缘空白处写一些数学式子和想法。然后去系里的办公室与学生或研究员讨论数学或闲聊。

他担心世界大战的发生,他认为大战发生就是世界末日。几年前,他尝试计算地球毁于核意外的日子,结果得到的答案是:五年至十年之间会发生。他曾对人说,当大家都快快乐乐过日子时,他却想到不久之后全世界毁于核爆炸而忧心忡忡。

多产的数学家

他在数论、数理逻辑有重要的工作,在电脑方面他有某种数值方法的专利权,用他的方法可以将数据资料编码和转换,可以用在电脑的传输系统。在群论方面,美国罗格大学的群论权威坦聂尔·格罗斯坦(D. Gorenstein)称赞他的工作是“卓绝的”。

在《美国科学人》杂志上长期撰写数学游戏文章的马丁·卡德勒(Martin Gardner)获得康威提供许多资料、想法和解决方案。

康威搞了许多数学游戏,通常是由简单发展到复杂。他说:“新观念的产生不是很容易的事,大约每年只产生一个新的成功的观念。当我提出一些有用的观念时,学生们只当我在卖弄,因为我通常在一些浅显的课题上作研究。我喜欢在咖啡店内思索,因为这样较容易体会真理,并不是用这种行径来表示特异。

分析一些数学游戏,我写了一篇又一篇的论文。1970年,我惊奇的发现:这些论文与实数理论吻合;经过进一步探讨,它们不止吻合,而且本来就是一体。”

康威把这些想法告诉了斯坦福大学的电脑专家葛诺特(D. Knuth),结果一年之后葛诺特觉得应该把康威的想法写出,于是利用一个星期在挪威的奥斯陆度假,写出了一本小说体的讲数学的书,书名是《超实数:两个前学生怎样转向数学并发现完全快乐》(Subreal numbers: how  two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness)。读者如果有兴趣知道康威在这方面的工作,可以读一读Knuth的书。