黎曼和黎曼猜想

德国有名的数学家希尔伯特(DHibert 1862—1943)在老年时曾被人问一个有趣的问题:“假定你去世后一两年能复活,您会做什么呢?”

希尔伯特回答:“我会先问黎曼猜想是否已经获得解决了?”原来他在1900年把这问题列为20世纪数学家所面对的一个重要难题,如果他死能复活,当然关心的是这个问题是否解决了。

黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826—1866)是生在现在德国汉诺瓦(Hannover)一个小乡村(当时那地区属于大英帝国)的清教徒家庭,他父亲是当地的牧师。

5岁时他喜欢历史,对于古代战争有兴趣,并且同情波兰人被外国统治的命运。过不久,他被数学所吸引,他自己也能出一些数学问题给他的姐妹弟弟做(全家6个孩子,他排行第二。)

在学校读书时,他需要用德文和拉丁文写作文,可是他下笔很慢,常要涂改。可是他在数学方面却是出色的,在他去世之后他的中学数学老师萨马福斯(Schmalfuss)回忆他在16岁时向他借书的故事:“他来向我借数学书看,并且很谦虚的说:‘我希望有一本并不太容易的书。’我指我书架上的书,他选了法国数学家勒让德(Legendre)的《数论》,我对他说:‘试试看你能懂多少里面的东西。’这是星期五的下午,就在下个星期四他把书带回来。我问‘你读了多少?’他回答:‘这本书是写得非常奇妙,我已全部懂了。’这之后他就没再看这书,以后在毕业考试时我拿勒灌德那本书里一些问题来考他,他回答得非常好,好像是他专门读那本书来准备考试那样子、数论是对他有特别的吸引力。这之后他读了勒让德写的几何书,并从我的图书室里的几何书上选了许多问题来做。在中学时他已显示出是一个数学家了。他具有强的直观能力以及抽象推广的能力。”

19岁时,他进入哥庭根大学读哲学和神学,他的父亲是希望他以后能成为一个传教的牧师,可是他却对数学非常有兴趣,不但上了数学方程数值解的课及地磁学,且从1846—1847年上了德国大数学家高斯(Gauss)的最小二乘法及史登恩(Stern)的定积分的课。

1847年他转学到柏林大学去,在那里有三位著名的教授:贾可比(Jacobi)、狄利克雷(Lejeune Dirichlet)及史泰勒(Steiner),他在两年中学习理论力学,高等代数,数论,积分论和偏微方程及椭圆方程。

在他回哥庭根准备写博士论文时,为了减轻父亲经济负担,他参加由高斯的朋友韦伯(Weber)等主持的数学物理研讨会并当韦伯的助手做一些物理实验及给一些初学物理的人讲演。这些事使他花掉了一些时间,影响了他提早提出论文的,到了185111月,他呈上了《复变函数论的一般理论的基础》。高斯对这论文评价极高,说许多年来他就想写一份像这样的论文。

黎曼在这时写信给他父亲说:“呈上了这份完整的论文我希望能改善我的前途,我也希望在写这论文过程能训练我,使到我以后进入社会可以写的更流利和迅速。我现在是感到很愉快。”

1854年,黎曼成为哥庭根大学讲师,三年后他成为助理教授,在1859年成为正式教授。可惜在1862年他患上肺病,必须常去意大利休养。而他在1866年时就死于意大利,年纪只不过

德国数学家克莱因(Klein)这样的评价他:“黎曼具有很强的直观,由这天份他超越了当代的数学家,在他的兴趣被激发的领域,他不管是否当局会接受对这研究的肯定,也不让传统来误导他。……他像流星一样出现然后消失,他活跃的时间只不过15年,1851年他完成论文,1862年他生病,1866年他去世。……黎曼的思想,对现代函数论发展的影响是缓慢和逐渐的,他的工作不会在当代引起突然的革命。这主要是由于黎曼的工作是不容易明白,另外是他提出的想法是非常新且奇特的。……”

黎曼猜想

现在来讲他在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文,就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想(Riemanns Hypoth-esis)。这猜想提出已有一百多年了,许多有名的数学家曾尝试去证明,就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达,目前已有人登上这世界高峰,可是却没有人能证明这猜想!

要说明这猜想首先需谈谈这问题的来源。几千年前人类就已知道2357315997这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子,他们称这些数为素数(或质数Prime number),希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数,他是用反证法证明、(读者可以参看拙著:《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。)

著名的原籍瑞士的数学家欧拉(Euler 1707—1783),在1737年给了欧几里得定理的另外一个巧妙的证明。

人们早知道下面的调和级数是不收敛(即和是无穷大)。

1737年左右欧拉引进了齐打函数(Zeta function

如果令P表示所有的素数集合,即欧拉发现对于S1,我们有

我们看到右边如果展开,每一项是形如

的形状,这里p1p2,…,pr都是素数。

由算术的基本原理,我们知道,任何正整数是能表示成素数方的乘积,而这表示法是只有一种。

如果素数的个数是有限,则当s逐渐趋近于1时,我们见到

由此可知素数的个数不可能是有限的。

1858年黎曼在他写的唯一一篇关于数论的文章里把齐打函数的定义域扩大到复数域上,他要研究什么样的复数s,能使ζ(s=0,他在文章里给出了下面著名的猜想:“所有的非实数的复数s使得ζ(s

 

哈地及黎曼猜测

英国著名的数学家哈地(GHHardy 1877—1947)是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。

英国自从出现牛顿以后,一向来数学工作者是注重应用数学,它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现,至到19世纪末出了哈地之后,哈地以他在纯数学的工作使英国闻名于世。

哈地先后在牛津和剑桥大学教书,他为了研究数学从来不想到成家,而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪,在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说:“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂,也不参予有宗教色彩仪式的会议。

哈地是一个“板球(Cricket)迷”,每年夏天要等到板球季节过了,才会跑到欧陆度假,拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。

每次到丹麦就会见他的好朋友波尔(Harald Bohr),他们坐下来,先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程,然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈地在议程的第一条往往写上:“证明黎曼假设!”

可是这个提议却一直没法子解决,一直到夏假结束他必须回去英国教书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样,两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面,但是每次都不能解决。

有一年的夏末,哈地要乘船渡北海回英国,那天浪涛汹涌天气很恶劣,而船又很小,因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔,在上面简单的写下这几个字:“我已经证明了黎曼假设。哈地。”

他是否真的证明了,要把这个好消息告诉他的好友呢?原来这明信片是有用意的:万一这船沉下去,哈地溺死了,世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题,而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人,一定不会让哈地享有解决这个著名难题的声誉,因此本来这船该沉下去,它也设法不让它沉,于是哈地可以平安回到英国。这样这个明信片就是他的救命护身符了。

你看了或许会笑,以为我们的哈地教授是这样幼稚可笑的人物,是的,有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙,不是普通人所能了解的。哈地逝世距现在已四十多年,但是他遗留下来的工作,许多是那么的艰深和难于明白,普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。

这结果是非常的漂亮。

贫病而逝的英才

中国的古人曾说“人穷而工其文”,我们的黎曼也可以印证这句话的正确性。

在一百多年前的德国大学,只有正式的教授才领政府的津贴,及开正规的课程,由此可以收学生交的学费。黎曼在1854年成为哥庭根大学的讲师(Privatdozent),他可以开课,可是学生学数学的不太多,而且他得不到政府的任何津贴,因此他的生活是很贫苦的。他的父亲是清贫的小乡村牧师也不可能对他经济上有什么帮助,尽管他常因贫穷而生病,可是他仍顽强的在数学上钻研,不因健康和经济而动摇对研究的爱好。

1855年他的老师高斯去世了,由狄利克雷继承高斯的教职。狄利克雷很重视黎曼的工作,极力向政府争取给予黎曼一些津贴,最后总算得到了等于正式教授的薪水津贴的十分之一。这对黎曼的生活稍有改善。

这段期间黎曼在复变函数论上作出许多重要的发现,1859年对他颇照顾的狄利克雷去世,他的职位由黎曼继承。这时他的经济稍微好些,但身体却因长期营养不良及工作劳累健康是损坏了。

1862年他和一个朋友的妹妹结婚,第二年生下一个女儿,可是肺病却蚕食他的生命,在1866720日在意大利Mag-giore湖畔的Selasca去世。在他死之前他还很乐观勇敢的工作。

现在在大学课程的复变函数论的基本定理,分析学上的黎曼积分!黎曼曲面的概念都是他重要的发现。他本身对物理学也很有兴趣,曾写了一些关于热、电、磁和流体力学的论文。

他对数学的影响是无可估量的。读者如果想对他的工作有一点认识可以看1953Dover Publications出版的《黎曼选集》(The Collected Works of Bernhard Riemann

近年对黎曼假设的研究

荷兰三位数学家Jvan de LuneHJRiele teDTWinter利用电子计算机来检验黎曼的假设,他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验,证明黎曼的假设是对的,他们在1981年宣布他们的结果,目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。

198211月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布,他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题,可以证明该问题是正确的,从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

1974年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了这样的

190年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进,他们证明了NoT)>0.35NT)。