古代巴比伦人的数学成就

灿烂的古巴比伦文化

发源于现在土耳其境内的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河(Euphrates),向东南方流入波斯湾。河流经过现在的叙利亚和伊拉克。

5000多年前这两河流域称为“米索不达米亚”(Mesopotamia)的地方,就有具有高文化水平的巴比伦民族在这里生活。

巴比伦人建立的巴比伦国在古代曾经非常强盛,它的国王曾建立令后人惊异的著名古代七大奇迹之一——空中花园。

现在我们生活的“星期制度”是源于古代巴比伦。巴比伦人把1年分为12个月,7天组成一个星期,一个星期的最后一天减少工作,用来举行宗教礼拜,称为安息日——这就是我们现在的礼拜日。

我们现在1天有24小时,1小时有60分,1分有60秒这种时间分法就是巴比伦人创立的。在数学上把圆分成360度,1度有60分这类60进位制的角度衡量也是巴比伦人的贡献。

古代巴比伦人的书写工具是很奇特的,他们利用到处可见的粘泥,制成一块块长方薄饼,这就是他们的“纸”。然后用一端磨尖的金属棒当“笔”写成了“楔形文字”(cuneiform),形成泥板书。

希腊的旅行家曾记载巴比伦人为农业的需要而兴建的运河,工程的宏大令人惊叹。而城市建筑的豪美,商业贸易的频繁,有许多人从事法律、宗教、科学、艺术、建筑、教育及机械工程的研究,这是当时其他国家少有的。

可是巴比伦盛极一时,以后就衰亡了,许多城市埋葬在黄土沙里,巴比伦成为传说神话般的国土,人们在地面上找不到这国家的痕迹,曾是闻名各地的“空中花园”埋在几十米的黄土下,上面只有野羊奔跑的荒原。

到了19世纪40年代,法国和英国考古学家发掘了古城及获得很多文物,世人才能重新目睹这个在地面上失踪的古国,了解其文化兴盛的情况。特别是英国人拉雅(Loyard)在尼尼微(Nineveh)挖掘到皇家图书馆,两间房藏有二万六千多件泥板书,包含历史、文学、外交、商业,科学、医药的记录。巴比伦人知道500种药,懂得医治像耳痛及眼炎,而生物学家记载几百种植物的名字,及其性质。化学家懂得一些矿物的性质,除了药用外,而且还利用提炼金属。制陶器及制玻璃的水平很高。

有这样高文化水平的民族,他们的数学也该是不错罢?这里就谈谈他们这方面的贡献。

巴比伦人的记数法 

巴比伦人用两种进位制:一种是十进位,另外一种是六十进位。

十进位是我们现在普通日常生活中所用的方法,打算盘的“逢十进一”就是其于这种原理。

巴比伦人没有算盘,但他们发明了这样的“计算工具”协助计算。在地上挖三个长条小槽、或者特制有三个小槽的泥块,用一些金属小球代表数字。

比方说:巴比伦城南的农民交来了429袋的麦作为国王的税金,而城东的农民交来了253袋的麦。因此国王的仓库增加了429+253=682袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案,可是巴比伦人却是先在泥板的小槽上分别放上:4个,2个,9个的金属球,这代表了429。然后在置放4个金属球的小槽上添加2个小球;中间槽上添加5个小球;最后的槽上添加3个小球。

现在最后一列的小槽有12个小球,巴比伦人就取掉10个,在中间那个槽里添上1个小球——这也就是“逢十进一”。

最后泥板上的数字682就是加的结果。这不是很好玩吗?我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加法。

六十进位制目前是较少用到,除了在时间上我们说:1小时=60分,1=60秒外,在其他场合我们都是用十进位制。

可是你知道吗?就是古代的巴比伦人定下一年有三百六十五天,十二个月,一个月有二十九或三十天,每七天为一个星期,一个圆有三百六十度,一小时有六十分,一分有六十秒等等。我们现代还是继续采用。

数法。(图一)

这泥板的中间从上到下有像(图二)的符号:读者可以看出这是代表:12345678910111213

这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀,但可以看到泥板书的右边前五行是形如:

很明显的这应该代表1020304050

可是接下来的却是这样的符号:

如果用我们前面知道的符号是写成:

1  110  120(缺三个)  2  210

这是什么意思呢?考古学家猜测那几个符号照上面1020304050的次序应该是代表607080,(缺掉的90100110),120130

是否那个1的符号也可以代表60呢?如果是的话那么110

就是代表60+10=70。而120是代表60+20=80。而那个 将代表2×60=120了。很明显 210是代表 120+10=130

这样的猜测是合理的,由于巴比伦人没有符号表示“零”,而他们采用的是60进位制,因此同样一个符号 可以代表160

没有“零”符号在记数上是很容易产生误会,比方说: 可以看成120=1×60+20=80 1020=1×602+0×60+20=3620

到了2000年前巴比伦人才采用 表示“零”

因此像 代表 23041 2×603+3×602+41=442841

从巴比伦人小于60的数字的记数可以看出他们懂得“位值原理”。

巴比伦人怎样进行除法运算

从一些泥板书里可以看出下面的对应:

如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书,你能了解这是什么意思吗?四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比伦人的“倒数表”。我现在把以上的表改写:

27对应21320意思就是:

你会注意到以上的表缺少了:711131417192123262831333435等等,这是什么原因呢?

原来是这样:巴比伦人只列下以60进位制的分数表示式是有限长的那些整数,而这些整数只能是2a3b5c(这里abc是大于或等于零的整数)的样子。

对于7来说,它的倒数如果是以60进位数表示将得到循环分数,即 8341783417,…一直到无穷。对于11也是如此,我们得到527162149然后重复以上的样式以至无穷。

为什么要构造这样的“倒数表”呢?

我们在小学学计算:先学加,然后学减。先学乘,然后学除。如果

b的倒数,我们就“化除为乘”,计算有时是会快捷一些。

古代的巴比伦人也懂得这个道理,因此在实际生活上,如在灌溉,计算工资,利息,税项,天文等问题上遇到除的问题,就尽可能将它转变为乘的问题来解决,这时候“倒数表”就很有用了。

我这里没有讲巴比伦人怎么样在60进位制上如何加、减、乘、除。兴趣数学的读者可以动脑筋想像如果你是生在4000年前的巴比伦,你在小学是怎么样学加、减、乘、除,你可以告诉我你的发现。

巴比伦人在代数方面的贡献

有一块列号为AO8862的泥板书向后人揭开了巴比伦人解代数方程的方法,人们惊奇的发现他们的解法是很巧妙的。

泥板书的问题是这样:“已知长×宽+-=33 而长+=27 问长,宽是多少?”

这里是采用60进位,故(3360=183

因此我们令 =I,宽=w,则有下面的关系式:

Iw+I-w=183I+w=27

巴比伦人引进一个未知数v=w+2,因此w=v-2代入以上的式子得

Iv-2+I-v-2=183

I+v-2=27化简得Iv-I-v=181   I+v=29

由于 I+v=29,所以-I-v=-29 故我们有

Iv=181+29=210I+v=29

巴比伦人有方法解像下面的代数联立方程

I+v=p……①

Iv=q……②

因此以上的解应该有误差,假设这误差是Z,则:

现在代回我们得

因此原来的问题的解是:

w=v-2=14-2=12,而 I=15

巴比伦人解一元二次方程的方法也是很妙的:

比方说求 x2-ps+q=0 的根,设这两个根为Iv,则

x-I)(x-v=0

于是有x2-I+vx+Iv=0

x2-px+q=0比较,我们就有

I+v=pIv=q

这样就可以用刚才的解联立方程的方法求得Iv了。

在耶鲁大学的巴比伦文物收藏,人们发现一块泥板书曾考虑像下面的:

xy=a

的高次方程。

奈克包威尔(Nengebauer)在法国罗浮宫收藏的巴比伦文物发现有两个反映巴比伦对级数有研究的泥板书,记载底下的结果:(这是在Nabucho donosor时代)

1+2+22++29=29+29-1

从这里可以看出巴比伦人知道这样的结果:

巴比伦人的代数有这样高的程度,的确是令后人感到叹服。

具有高水平的数学知识

现在收藏在美国耶鲁大学图书馆的巴比伦文物,有一块泥板书向后来的人揭露古代的巴比伦人在两三千年前就具有很高水准的数学知识。

两位巴比伦考古学家奈克包威尔(Neugebauer)和萨赫士(Sachs)把这块有一个正方形及两条对角线的数字翻译出来得到了下面的数字(图三)。

我们知道正方形的两条对角线互相垂直,而一个两腰都等的直角三

本》证明它不是有理数(rational number),即找不到两个既约整数pq使得

欧几里得是用反证法证明,假定以上的关系成立。在等式两边平方

此我们可以得到(2k2=4k2=2q2,即 q2=2k2,同理q也是偶数。这样pq就有一个公约数2,这就和pq是既约整数的假设矛盾。因此

虽然如此,我们仍旧可以用一些分数或小数来表示这个无理数的近似值。在数学上有一种用实数逐渐迫近的方法,牛顿曾经用过,因此有

如果我们把以上10进位制的表示用60进位制表示,那么

现在你看图四的数字可见巴比伦人早在几千年前知道牛顿法了。

图四中对角线下422535是什么意义呢?我们看到正方形左边

伦的写法是

30)×(1245110 因此写成式子是

30×1=30

  30)×(1245110

=422535

巴比伦人在几何的贡献

巴比伦人以三为圆周率的近似值,知道算圆面积圆柱体和角柱体的体积,而且由于在天文上的需要,给出角度θ在31°和40°之间的余割表(cosecant table)。

巴比伦人和中国人民一样很早知道直角三角形边和斜边的平方关系(即“商高定理”:直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。)令人感到奇怪的是巴比伦人考虑的一些几何问题,中国古代数学家也有类似的东西。

例如在距今3000多年前的泥板书有一个这样的几何问题:“一树枝长030单位靠在墙上,顶端滑下06单位后,问此树枝底端离墙多远?”

另外一个问题是这样:“一梯原先是靠在墙上,当我从顶端的原位置拉下3单位,底端滑离墙9单位,问梯原长多少?”

这些问题需用商高定理来解决。有一块公元前1900年到公元前1600年之间的泥板书,现在藏在美国哥伦比亚大学,列号为 Plimton 322。在 1943年时一些人认为这是巴比伦人的商业纪录。

1945年有人拿这块泥板书给奈克包威尔看,他经过一段时间研究发现这是有关数论的最早资料,巴比伦人在这泥板书上写上一些整数,这些整数能组成直角三角形的边。

它本身并不大,只有5吋长3吋半宽。有四列数据,从右边到左看,第一列是代表“行数”,第二列是代表“斜边”d,第三列是代表“直角三角形的一边”b,最初不容易知道最左边那列数的意义。后来奈克

示巴比伦人早在三千多年前就已经知道求“商高方程”的整数解了。

商高方程的正整数解

怎样寻找方程x2+y2=z2的正整数解呢?

这里我介绍一个简单的寻找方法,很可能古代的巴比伦人也是用这方法得到商高方程的一般解公式。

我们假定xyz的解是这个样子:x=a+ty=b+tz=a+b+t 这里abt都是未知数我们随后要决定。把xyz的值代进商高方程可以得到:

a+t2+b+t2=a+b+t2 简化可以得到:t2-2ab=0

如果现在设a=2u2b=v2,那么从以上的式子我们可以得到 t=2uv

因此本来是三个未知数abt现在变成可以用两个未知数uv来取代。我们代回得:

x=a+t=2u2+2uv=2uu+v

y=v2u+v                                         (公式 1

z=u2+u+v2

可是在一般的数论书和人们写的文章xyz,的整数解是写成底下的形式:

x=2mn

y=m2-n2                                                                                                   (公式 2

z=m2+n2

这是怎么得到的呢?

如果在公式1里我们令m=u+vn=v则我们可以把公式1变成公式2。反过来,如果我们用其他方法得到公式2,我们令u=m-nv=n则我们可以得到公式2。因此公式1和公式2是等价的。

对于一些懂三角学的人们,他们可以利用三角公式得到商高方程的整数解。

现在看底下的直角三角形OAB

我们有OB=y=zcosθ

AB=x=z sinθ

以得到三边为整数的直角三角形。

自学材料

1)用巴比伦方法解下面的联立方程:

x+y=72    x-y=720

2)给定一个联立方程:x+y=sxy=p 研究ps要有什么性质才能使:(axy都是正数,(bxy都是实数。

5)我们用(xyz)表示x2+y2=z2的解。可以看到(345),(51213),(72425)都是商高方程的解,而1=5-4=13-12=25-244512132425是相邻整数。

试试找出所有小于100的(xyz),具有性质z-y=1

6)试试找出所有小于100的(xyz)具有性质y-x=1

7)请看下面的表:

X                                 Y                                    Z

xyz)是商高方程的解,它们之间有美丽的关系你能发现出来吗?你能找出其它的解吗?

41840841)有类似以上的结果,试试检验。

81643年法国数学家费马给他的朋友麦爽的信问这样一个问题:“是否能构造一个直角三角形,它的两腰之和是一个平方数,而它的斜边也是一个平方数”你能解决这问题吗?

费马经过很久的时间,最后利用他创立的“无穷下降法”总算找到一个最小值(xyz)的答案,xyz的数值是很大每个都是13位数。有人估计第二个答案将是非常大,那数值如果以吋为单位将超过我们银河系的直径。

9)令 P4K+1)表示所有形如 4K+1的素数。

a)找所有在 P4K+1)的 P P100

b51317P4k+1)里 5=12+2213=22+3217=12+42试将(a)的素数表示成两个整数的平方和。