古为今用的几个几何问题

从华罗庚的文章想起

华罗庚在《光明日报》写了一篇有关1978年八省市数学竞赛的感受文章,他提到在“四人帮”对中等教育的破坏下,出题老师们在出题时的为难。

文章写道:“一些地区中学教材已经用‘三机一泵’代替了物理,用‘农药、土壤、化肥’代替了化学,用‘会计、测量、看图’代替了数学。系统被破坏了,基础被削弱了。所谓‘实用’的东西充斥到教材中来,复数不讲了。方程x2+1=0称为无解答方程了。把认识退回到方程刚出现的古代史阶段。人是生活在立体空间之中的,但是,在一些地区的教材中,立体几何学只剩下了求球体积、球表面积的几个简单公式。辩证思维中本来是包括逻辑推导的,但是逻辑推导的数学削弱了,给个公式你会代进去算出解答就算了事。数学归纳法、反证法、排列组合、二项式定理竟在一些地区的中学教材中被砍掉了。”

对于一些在海外从事数学教育工作者,看到这样的消息,相信许多人会吓一跳。如果课程内容不加强,年青一代掌握不好数学工具,要想进入科学宝库取宝,将只能望门兴叹,劳而无功,想要加快“利技现代化”的速度也将会阻力重重。

我想起那位曾经对东方文物感兴趣的法国一代英雄拿破仑。许多人知道他讲过的一句话:“中国,让它睡吧!当它醒来的时候,全世界将要震动。”他本身对数学非常重视,在他夺取法国革命果实称帝后即任命一些优秀数学工作者如蒙日(G·Monge17461818)以及拉普拉斯(P.S.Laplace)抓好数学教育工作,他曾说:“一个国家只有数学蓬勃发展,才能表现它的国力强大。”

为了打仗的需要,拿破仑很重视几何。对于许多上了年纪有学过几何的人,会知道这是一门有趣的数学。几何证明的多样性,讲究证明的严密,以及定理的一些美丽关系是多么引人入胜,在训练人们逻辑思维这是一门极好的学科。

几何是数学的一个古老分支,还在几千年前的劳动人民在长年累月垦地,建河堤、运河、筑神庙、宫殿、筑墓等及衡量收成品时逐渐累积对几何形体的知识。

这些知识后来经过一些数学家整理并严密安排发展成一门重要的数学。很可惜的是近年欧美推行中学数学教育改革,把平面几何的多姿多彩的内容削减许多,以较为抽象的线性代数取代。而国内的教材却因“四人帮”的讲“实用”而删掉许多内容,使学生在推理的训练减少许多,这种情形看来是需要改变。

几何实用问题的提出

对于一些很注意数学的“实用”的人,我这里提出三个都是很实际的问题,然后介绍一些解法,可以看到几何怎么样能为我们服务。

▲在河边有两个村庄,一个距河2华里,另外一个是10华里,而这两村相距18华里。人们想在河边建一个码头,一方面可以输出农产品,另外可以送来农村需要的肥料、机械和生活物资。人们计划从码头到农村的道路上铺沥青石子路,为了不要花太多人力物力及时间,要怎样选择建码头的地点才能“好省”地做好?

▲地质勘察队来到一个山区的乡下,这里有三户人家,以往吃水种田都需走下山脚挑水上山,这是很费时费力辛苦的工作。勘察队发现事实上在三家所围成的三角形的土地上,同样的深度都能打出地下水来。

现在人们准备挖一口井,你要怎么样选择开井的地点,使到人们走到井的路程是最短?

▲为了使农村的文化水平提高,平原区的四个农村准备合建一间中学,解决小学生毕业的升学问题。如果你去观察这地区,发现A村有100个毕业生,B村有120个毕业生,C村有200个毕业生,而D村有84个毕业生。要怎么样适当选择地点建中学,使到学生到学校所花的时间最少?

事实上,这些问题属于几何问题,早在200300年前就有人研究了。

意大利数学家的一篇论文

1779年意大利数学家法拉诺(M.G.di Fagnano 17151797)在一篇论文里讨论了底下的几个问题:

1)在一条线的同一边有两点PQ,如何在此线上找一点T,使得PT+TQ的长最小?

2)在一个锐角三角形ABC的三边取XYZ三点,使得△XYZ的周长是最短。

3)在三角形ABC内找一点P,使其到三个顶点的距离和是最小。

4)在四边形ABCD内找一点P,使其到四个顶点的距离和是最小。

第一个问题法国数学家费马(P. Fermat 16011665)曾研究过。他想像直线L是一面镜子,Q1是镜子里Q的像。直线L上的任何点到QQ1的距离是一样,因此TLPT+TQ要求最小,必须是PT+TQ1最小。如果T不在PQ1的联线上,则在△PTQ1中,PT+TQ1PQ(因为在△中,两边之和大于第三边)。

因此如要PT+TQ最小,T需取在PQ1L的交点。(图一)

这时候∠α=∠β

如果你想像光从P点出发,经过镜子反射后到Q,费马发现它总是选择最短的路程前进。而这时候就有光的“等角”反射现象。

费马的几何难题

以上的问题3,事实上是费马给伽利略的学生和助手托里析利(E. TOrricelli 16081647)考虑的一个几何难题。

托里析里在对物体运动,流体力学及大气压力有研究,他发明水银柱气压计,由此证明大气是有压力。他对费马的这个问题给出了几何解决方法,我们等下会介绍他的最简捷的一个解法。

可是在这里,我先介绍五十多年前一位英国人霍夫曼(J.E. Hofmann)以及匈牙利数学家笛波·伽累依(Tibor Gallai)先后想出同样的一个解决方法。

要了解这方法,我们首先要对圆的一些性质认识。

在圆上一个角的顶点在圆周,而两边都和圆相交,这个角称为“圆周角”。对同弧的圆周角一定相等。而且圆周角是等于对同弧的圆心角的一半,因此如果我们在圆作一内接四边形,任意两个对角的和一定是180°。(图二)

霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢?先假设三角形没有一个顶角大过120°在△ABC内任取一点P,联PAPBPC

PB向外作一正△PBP′,同样以AB为一边向外作一正△ABC′,联CP′。(图三)

现在观察△APB和△CPB

CBP+PBA=60°

ABP+PBA                  =60°

所以                    CBP=ABP

                            CB            =AB

BP             =BP

所以 CPB≌△ABCSAS或边、角、边)

因此                        CP         =AP

所以                PA+PB+PC            =CP+PP+PC

从这里我们知道只要P在△ABC的位置取定,P′的位置也就会被确定,而P到三顶点ABC的距离和是等于CP+PP+PC

如果我们要PA+PB+PC的长是最小,就必须想法子选取那样的 P使得由它所确定的P′能使到 CP+PP+PC是最小。

我们看到C′、C这两个点是固定,通过C′、C两点的所有曲线当中是以直线的长度为最短。因此我们要寻找的P点必须是在CC′的联线上,而且还要∠BPC=60°

因此霍夫曼与伽累依的寻找P的方法变得非常简单:

第一步 AB为边向外作一正△ABC′。

第二步 作△ABC′的外接圆。

第三步 CC,这直线与△ABC′的外接圆相交的点就是所求的点P。(图四)

为什么要作△ABC′的外接圆呢?这里我们利用了“在同圆中,对同弧的圆周角相等”的性质,这样可以在CC线上找到P点使得∠CPB=CAB=60°。

我们称三角形内那点P,使得到三顶点距离的和最小为“费马点”(Fermat Point)。

从图3我们观察到“费马点”有这样的性质:

APB=180°-ACB=180°-60°=120°

BPC=CPA=120°

即这点到三顶点所张开的角都是120°。

维维亚尼定理

我们现在准备介绍托里析里解决费马难题的一个巧妙解法。他是用到同时代的意大利数学家维维亚尼(Viviani16221703)的一个定理:从正三角形ABC内任取一点P,这点到三边的距离和是一个常数。

假定PEAB,(PE垂直AB),PFBCPDAC(图五)联PAPBPC。△ABC被剖分成三个小的三角形。而

ABC的面积=APB+BPC+CPA

因此我们可以看到:

PE+PF+PD=正△ABC的高

我们这个证明是相当的简单。读者可以试试先证一个有关等腰三角形的性质:“从等腰三角形底边任何一点作两腰的垂线,这垂线的和是等于一腰上的高。”

证明了以上的结果后(最少可以有三种不同证法,你或许可以找到更多的证法),你可以PBC′平行于BCABACB′,C′。然后过ABC的垂线AG,你就可以证到AG=PE+PF+PD

托里析利的解法

很巧在托里析利300年后的匈牙利著名数学家李兹(Frederick Riesz)也给出同样的方法。

由前面霍夫曼的结果我们知道费马点与三个顶点所张开的角是120°。

怎么样在△ABC内找“费马点”呢?

我们知道圆内接四边形的对角相加等于180°,因此如果一个对角是60°,另外一个就必须是120°了。什么时候三角形有60°顶角呢?最简单的情形是正三角形,它的三个顶角都是60°。

因此托里析利利用底下两个步骤求“费马点”:

步骤1 ABAC为边向外作两个正三角形。(见图六)

步骤2 作正△ABM与△ACN的外接圆,这两圆相交于P点。

P就是所要的“费马点”!

怎样证明PA+PB+PC是最小呢?

我们过ABC作三直线分别垂直PAPBPC各交于XYZ三点。(图七)

观察1 XYZ是一个正△。

在四边形PBXC中,∠X=360°-(∠BPC+PBX+PCX= 360°-120°+90°+90°)=60°

同样可以证明∠Y=Z=60°,所以△XYZ是一个正三角形。

观察2 在△ABC内任何不是P的点Q,就有QA+QB+QCPA+PB+PC

我们过QQA′⊥ZYQB′⊥ZXQC′⊥XY

并且联QAQBQC

由维维亚尼定理我们知道在正△XYZ

PA+PB+PC=QA+QB+QC

可是在直角三角形QAA′,QBB′,QCC′里QAQBQC分别是斜边,因此

QAQA′, QBQB′, QCQC

由此可得 QA+QB+QCQA+QB+QC  

  QA+QB+QCPA+PB+PC  

所以P点是所求的“费马点”。

你说这个解法是不是巧妙?你可以试试找其他的解决方法找到了请来信告诉我。

用物理方法解决费马问题

2000年前希腊出了一位很杰出的科学家阿基米德(Archimedes),他利用数学工具研究物理问题,而且也善于用物理方法来解决一些数学问题,他有一部著作:《一些几何命题的力学证明》就是记载他在这方面的成果。

你一定会奇怪,用物理方法可以帮助我们解决数学问题。

让我先介绍一些基本的物理概念:你有看过人家打桩吗?人们用人力或机械力量把重物高举,然后让它落下,于是轰然一声把地面上的木条,铁条或石块打进土中去。

你一定会知道这重物抬得越高,它工作的本领就越大,越有能力把地面上的东西压深进土壤中。

在物理上衡量这重物工作的本领是用“势能”(或位能Potential energy)这个概念,它是这重物的重量乘上重心对地面的垂直距离。

在物理有一个这样的“最小势能原理”(也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet):“一个物体或系统当处于平衡位置时,它的势能是最小。如果一个物体或系统当所处的位置,使它的势能是最小,那么这点就是它的平衡位置。”

因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。

首先用铁线作和原三角形同大小的三角形,在每个顶点放上一个滑轮。每个滑轮穿过一个重量为m的重物。假定吊物体另外一端的线都绑在一起,这结点称为P。(如图八)

现在让重物重挂下来,这结点最初会移动,可是过一会儿它就不动了,这时正是整个系统处于平衡状态。这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。

为什么会如此呢?假定三角形与地面的距离是h。滑轮ABC挂的重物与地面距离分别为abc。绑重物的所有绳子长是t

现在令整个系统的重心是G,并且距离地面是r。则系统的势能是m·a+m·b+m·c=3m)·r

在平衡位置时,重心最靠近地面,因为这样它的势能才是最小,因此此时a+b+c也是最小。

吊在滑轮下的绳子共长(h-a+h-b+h-c)即3h-a+b+c)。因此在△ABC里的平面绳子的长是等于:*      

s=t-[3h-a+b+c]=t-3h+a+b+c)。

t-3h 是一个固定数,s的长最小当且仅当a+b+c是最*  小。因此只有在系统平衡时,结点的位置必须是“费马点,才能使到a+b+c为最小。

你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。

现在在铁三角形里的结点P受到三个相等的拉力拉。从物理学我们知道:“平面三力成平衡,那么三力线或者平行,或者交于一点。”因此如果我们用f表示这三个方向量,这三个向量是形成一个正三角形,而且其向量和要等于零。(见图九)

由此可知这些绳在“费马点”时所张开的角度是120°。

在这篇文章开头提的第三个问题,读者也可以用物理方法解决,按比例大小做一个铁架四边形,然后在每个代表村庄的顶点上安装滑轮,然后悬挂重物各为100单位,120单位,200单位,84单位,最后平衡时的结点就是所应设的学校位置。

自学材料

1)阅读吴文俊写的《力学在几何中的一些应用》的数学小册子。

2)假如△ABC的底边BC的任何一点PABAC的距离的和是一个常数,这三角形是否一定等腰?

3)在一个正方形ABCD内取一点P,使得PA=PB,∠PAB=PBA=15°,证明 PD=PC=CD

4)试证下面的“蝴蝶定理”:在一圆上画一弦PQ,取其中点M,过M任意作两弦CDAB,连ADBCPQ交于X

Y两点,则 XM=MY

5)在考虑费马难题时,△ABC的每个角都假设小于120°。如果有一角大过或等于120°,“费马点”应在哪里?

6)试解决法拉诺的第二个问题。

7)∠ABC120°,作BC平分它,然后在∠ABC内任何一点PPXPYPZ垂直ABBCBD,试利用维维亚尼定理证明 PZ=PX+PY*

8ABCD是一个平行四边形,其顶角不等于60°或120°。现在以ADBC为边向外作二个正三角形ADECDF,连接EBBFFE,证明△EBF是个正三角形。

9)在任意△DEF的边DEDFEF上任意取ABC*


三点,作△ADB,△BFC,△AEC的三个外接圆,你将会发现两个奇迹:
[奇迹1] 三个外接圆相交于一点。
[奇迹2] 三个外接圆的中心组成的三角形,它的角各等于∠D,∠E,∠F。
(10)法国大革命时涌现的风云人物——拿破仑是一个数学爱好者,下面是他的一个数学发现:从任意三角形ABC的三边向外作三个正三角形,ABC′,A′BC,ABC′,则它们的中心形成一个正三角形,(三角形的中心是三个中线的交点)你试试证明。