爱尔兰邮票上的数学家

——哈密尔顿

——兼谈哈密尔顿发现“四元数”的经过

18431016日,在数学史上是一个重要的日子:这一天爱尔兰的数学家哈密尔顿(William Rowan Hamilton)发现了“四元数”(Quaternion)。

许多数学家认为“四元数”的发现是19世纪纯数学方面的一个最重要的发现。爱尔兰政府为了纪念这个发现,在1943年特别发行了纪念哈密尔顿的邮票(图一)。

有一位英国人汤姆斯·修(Thomas Hill)曾经这么说:“牛顿的发现对于英国及人类的贡献超过所有英国的国王;我们无可置疑的1843年哈密尔顿的四元数的伟大数学的诞生,对于人类所带来的真正利益和维多利亚女皇朝代的任何大事件一样。”

许多从事科学工作的人常常用到哈密尔顿发现的一些成果,哈密尔顿是一个怎么样的数学家?他怎么样发现“四元数”呢?在四元数被发现后136年的今天介绍哈密尔顿及他的工作是有意义的。

小时了了的哈密尔顿

哈密尔顿是180583日生于爱尔兰的都柏林(Dublin)。他是全家排行第五的孩子,在他上面有三个哥哥及一个姐姐。底下还有四个弟妹。父亲是一个律师,也是一个很会做生意的商人,并且是一个热忱的教徒。

哈密尔顿在很小的时候就显得比一般孩子聪明,爱尔兰语文是和英文有很多不同,可是他三岁时就可以看英文书了。四岁时对地理发生兴趣,并且算术已经算得很好。五岁时他可以读和翻译拉丁,希腊和希伯仑文,他喜欢荷马的用希腊文写的史诗,八岁时就会讲意大利话和法语,而且能用拉丁文描写爱尔兰美丽的锦绣河山的景色。在还不到十岁时他就学习阿拉伯文和梵文。

原来在距离都柏林差不多二十英里的一个小乡村,哈密尔顿的叔叔杰姆·哈密尔顿(James Hamilton)是那里的副牧师。这叔叔是个语言专家,懂许多欧洲语言、方言以及近东的语言。小哈密尔顿从三岁就受叔叔的教养很快就一个语言学会后又飞到另外一种语言去。

在哈密尔顿还是九岁九个月大时,杰姆叔叔给他的家人写关于哈密尔顿学习进展的信里这样写道:“……他对于东方语言的兴趣是如饥如渴,一点也没有减少。他现在已掌握大部分,除了少数地方性的语言。他已能说很好的希伯仑语、波斯语以及阿拉伯语,现在已经很流利地读梵文。他受到叙利亚语的训练,而且也学了印度语、马来语、马耳他语、孟加拉语等其他语言。他正要开始学习中文,可是要取得中文书籍是很困难,从伦敦买这些书籍花我一大笔钱,可是我希望这些钱是花得值得。”

这真是世上少见的语言天才!他在14岁时有波斯大使到都柏林访问,他亲自写了一篇波斯文的欢迎词。

第二个牛顿降生

他在13岁时遇见一位来自美国计算神速的儿童,这时候引起他对数学的兴趣。

哈密尔顿从小到进入大学之前没有进过学校读书,他的教育是靠叔父传授以及自学。他找到了法国数学家克莱罗(Clairaut)写的《代数基础》一书,很快就学会了代数,然后看牛顿写的《数理原理》。在16岁时就读法国著名数学家和天文学家拉普拉斯(Laplace)五册的《天体力学》,他发现拉普拉斯关于力的平行四边形法则的证明的错误。

一个少年能看出当时欧陆公认的大数学家作品的错误,真是不简单,都柏林的天文教授宾克雷(Brinkey)对哈密尔顿是另眼相看。

哈密尔顿除了读理论书外,自己还自制远望镜观察天象。在1823531日,他在写给表兄的信说:“在光学上我有一个奇怪的发现——在我看来是这样的……”

这时期他也非常兴趣于曲线和曲面的性质并写一些短文章。在182377日他以优秀成绩考进“三一学院”(Trinity College),他在大学是出名的,囊括各种奖状,在古典文学和数学上取得最好的成绩。

而最重要的是这时他把他在光学上的发现写成了论文的第一部分:《光束理论》,这文章提出了特征方程(Charateristic Function),将几何光学转变为数学问题,并提出了一个统一方法来解决这门科学的问题。

宾克雷教授把这论文呈给爱尔兰皇家科学院,并且说:“我不说他将会(Will Be)是在同年龄中的第一流数学家,而是他已是同龄者中第一流的数学家!”

可是六个月后科学院的委员会却宣称:“……这论文非常抽象,公式太一般,他的一些结果还需要更深入的验证……”,这批评对哈密尔顿来说是很失望的。

看来当时审稿的委员会成员还看不出这论文在科学上的重要意义,这就像许多新生事物,对于许多被成规束缚的人是很难接受及了解一样。

哈密尔顿利用17世纪法国数学家费马的原理:光常取最短的时间从一点运动到另外一点,不管这路线是直线或者因折射或反射而曲折。他现在将时间考虑为终点的函数,并证明这量随着终点座标的变换而变换,他提出的这种特征方程对哈密尔顿来说是提供数学工具给光学上的研究,就像笛卡儿(Descartes)用代数工具来解决几何问题一样。

这论文要等到一百年后近代物理发展,人们要对原子结构以及量子力学深入研究后,这时才发现由此产生的波动力学问题可以用哈密尔顿的结果来解决。

破常规没毕业被选为教授

宾克雷教授要辞掉都柏林大学的天文系教授的职位,因为他准备到Cloyne地方去当主教。

根据英国大学的规则,一个教席空悬必须登告示让人们来应征。这告示一发出后,英国许多著名的天文学家寄申请信想获得这职位。

可是令人惊异的结果是大学当局对全部申请者的信搁在一边,全体一致投票选哈密尔顿为宾克雷教授职位的继承人。

这是一个惊人的消息!哈密尔顿才22岁,大学还未毕业,也没有什么文凭。而且哈密尔顿也没有写申请信申请这职位,怎么会当选呢?许多想获得此职位的天文学家听到这“嘴上无毛”的毛头小子得到这崇高的教授位置,而自己享有名气却落选,心中难免怪学校当局处理聘请问题不合常规。

是的,学校当局在这方面是不合常规。哈密尔顿从14岁开始就喜欢天文学,在小时有一次和家人经过建在小丘上的天文台,他说:“如果我能选择,我愿意一生住在里面。”宾克雷教授慧眼识英才,认为哈密尔顿是旷世少有的人才,人才不选拔不赋以重任,难道要他埋没老死无人过问吗?“不破不立”大胆打破常规却为国家挑出了人才,当局这样处理是很明智的以及有远见的。

哈密尔顿并不是一个很好的观察者,而天文台的助手也不是很有才能的人。哈密尔顿的三个姐妹帮他观察天体,而他把大部分时间放在数学上的研究。平时他也做有关天文学的通俗演讲,讲得有文学味道。哈密尔顿本身是很喜欢文学,而且也能写相当不错的诗歌,可惜他的情诗赢不到非常现实的少女的心。他(在还未当教授时)所追求的两个少女虽然收到他动人的诗歌,但都弃他嫁给有钱有地位的人,害得他想自溺于水中。由于他是虔诚的教徒,在教会中视自杀为罪恶,因此他才没投身水里,但他的心灵的创伤却弥补不了,于是借酒麻醉自己。

23岁时哈密尔顿发表了他17岁时发现的《光束理论》(Theory of Systems of Rays)。这书在光学上的地位就像拉格朗日的《解析力学》一书在力学上一样的重要。14年后德国大数学家雅可比(Jacobi)来英国开会,曾作这样的称赞:“哈密尔顿是你们国家的拉格朗日!”

近代著名的物理学家薛定谔(Schrdinger)这样评价他在力学上的工作:“哈密尔顿原理是近代物理的基石。”

哈密尔顿由他的理论预测了当一条光线进入双轴结晶体(biaxial crystal)时会折射出无穷多条光线,而这些光线是形成一个圆锥的现象(conical refraction)这预见后来被认明了。

哈密尔顿最重要的数学发现是:“四元数”。

从复数到四元数

复数(Complex Number)可以用平面的向量或点来表示,这种几何表示法在1813年由法国人阿刚(Argand), 1828年由英国人华伦(Warren)以及1832年由德国人高斯(Gauss)所提出的。

这样复数a+bi就对应于高斯平面上的一个向量,这向量的长

们的向量和。阿刚、华伦、高斯发现两个复数相乘,这新的复数的模是等于原先两个复数的模的乘积。

哈密尔顿把复数a+bi,看成高斯平面上的数偶(ab),于是(a+bi)×(c+di=ac-bd+ad+bci就对*       应于(ab)×(cd=ac-bdad+bc)。

现在哈密尔顿问一个问题:是否存在一种新的数,它的几何表现是三维空间的一点(abc),而我们可以将它类似复数(ab)那样施行乘法运算?

他模仿复数a+bi的写法,他把这个可能存在的新数用a+bi+cj来表示,他要求两个新数(a+bi+cj),(x+yi+zj       相乘其所对应的三维空间的向量的长,恰好是原先两数所对应的向量的长的积。这就是哈密尔顿所称的“新数的模法则”。

写成数学式子就是:是否像欧拉、费马、丢番图所发现那样(a2+b2)(c2+d2)可以表示成(ac-bd2+ad+bc2,是否我们对于(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)也可以找到uvw 使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2=u2+v2+w2

这个问题的答案是否定的。因为在18世纪的法国大数学家勒让得(Legendre)写的名著《数论》一书里就举一个例子:3=1+1+1 21=16+4+1都可以表示成三个平方数的和,可是3×21=63却不能表示为三个平方数的和。(理由:凡是形如8n+7的整数都不能表示为三个平方数的和。)

如果哈密尔顿知道勒让得的结果,他就不会花太多时间去寻找这新数的乘积,因为这是徒劳无功的工作。可是,或许哈密尔顿就不会由此从错误走向正确,因而发现了四元数。哈密尔顿为了找这新数花了15年的时间去探索!

让我们看看哈密尔顿在去世前几天写给儿子回忆他发现四元数前的工作情况:“……在184310月初的每一天早晨,当我下楼吃早餐时,你及你的哥哥威廉·艾尔文常常这样问我:‘爸爸,你已能把三数组(triplet)乘起来吗?’而我只能悲伤的摇摇头说:‘不,还不行!我只能把它们加或减。’……”

山穷水尽疑无路

研究一下哈密尔顿在发现四元数过程所犯的错误是很有意义的。这一方面提供数学家怎么样研究的活生生例子,另外方面也告诉我们:如果我们每次在工作失败后懂得总结经验,分析失败的原因,然后百折不挠,坚持到底,这样失败的黑暗将慢慢消失,胜利的曙光就会在远处鼓舞我们前进,最后达到目的地。

1)第一次失败 哈密尔顿想找的新数a+bi+cj是包含复数为子集,就像复数a+bi是包含实数为子集一样。因此复数的一些性质,如ii=-1正是应该保留的。

类比这个结果,哈密尔顿猜想jj=-1。可是ijji是什么东西呢?最初他是设想 ij=ji ,由此计算出(a+bi+cj)(x+yi+zj=ax-by-cz+ay+bxi+jaz+cx+bz+cyij

现在怎么样处理ij呢?它是否也是e+fi+gj的形式?

我们先看ij的平方是什么?(ij2=ij)(ij=ijij=iijj=i2j2=-1)(-1=1 所以ij=1或者 ij=-1

可是假定ij=1ij=-1也好,都不能使这新数满足他所要求的“模法则”。

因此最初假定ij=ji是不能得到所需要的结果。那么怎么办呢?

2)第二次失败 这时哈密尔顿考虑最简单的情况

a+bi+cj2=a2-b2-c2+2abi+2acj+2bcij 现在取上式右边向量 1ij的系数(a2-b2-c2),2ab2ac的平方并取和,哈密尔顿发现

a2-b2-c22+2ab2+2ac2=a2+b2+c22

这刚好就是“模法则”,因此哈密尔顿假设ij=0,这样就不必考虑到

2bc2这项了。

可是过不久他觉得这样做有些不妥当的地方,因为ij的模都是1,照“模法则”ij的模应该是1而不会等于零,因此设ij=0就不合理。

而他这时选择ij=-ji,并设ij=k。这样假定的好处是“模法则”成立,但是k究竟是什么东西呢?

这时他考虑一般新数的乘积:

a+bi+cj)(x+yi+zj

=ax-by-cz+ay+bxi+az+cxj+bz-cyk

如果设k=0是否“模法则”能成立?由左式可得

a2+b2+c2)(x2+y2+z2                                                           A

由右式可得

ax-by-cz2+ay+bx2+az+cx2                                                                           B

是否(A=B)呢?读者算算看会发现(A-B=

bz-cy2

这刚好是k的系数的平方,如果把k当作也同时垂直1ij的向量那就跑到四维空间的情形。真是奇怪两个属于三维空间的向量乘积,却跑到四维空间来,这令哈密尔顿觉得莫名其妙。

柳暗花明又一村

哈密尔顿这时想是否最初不应该设“三元数”而是应该考虑“四元数”呢?

这时他就对a+bj+cj+dk进行研究。既然ij=-ji=k,那么ikkijkkj究竟是什么东西呢?

我们现在回过来看看哈密尔顿写给儿子那封信吧!

“……我看我们或许有ik=-j,因为ik=iij)而i2=-1,类似这样子我们或许可期望kj=ijj=-i

……由此我想或许ki=jjk=i,因为这很可能如果ji=-ij,我们就会有kj=-jkik=-ki。”

我们知道对普通整数z来说,二元运算:加(+)及乘(×)都满足结合律(Associative Law),即:

a+b+c=a+b+c

  a×(b×c=a×b)×c

因此加法和乘法运算时,次序先后显得不重要。

可是哈密尔顿还不知道这新数对于乘法是否能满足结合律,不然的话他就可以由 iij=iij=-1j=-j,同样也可以用结合律很容易得到:

ki=-jii=-jii=-j)(-1=j

因此他只能用类比(analogy)的方法猜测结果。

哈密尔顿寻找三元数的乘积的规律,不断冥思苦想,可是“上穷碧落下黄泉,两处茫茫皆不见”。怎么办呢?应该停止去搞其他工作还是坚持下去呢?

中国人有句老话说得很好:“锲而舍之,朽木不折;锲而不舍,金石可镂”。科学创造是需要艰苦劳动,不怕困难坚持下去就会有“柳暗花明又一村”的境界出现。

18431016日的这一天是爱尔兰皇家科学院集会的日子,而且哈密尔顿必须主持会议,他和妻子一起沿着“皇家运河”走,妻子喋喋不休和他谈一些东西,可是他却在想他的“四元数问题”,妻子的谈话他似听进又像没听进,他回想这几年的工作,几次的失败,现在怎样去找到ijk这三数之间乘积的关系式,如果这关键能掌握,整个问题就可以迎刃而解了。

突然间像电火花的迸发,他脑海中出现了一个这样的公式i2=j2=k2=ijk=-1。对了,应该是这样,他激动起来,怕这公式会遗忘掉,马上掏记事簿把这个公式写下来。(这记事簿现在保存在都柏林三一学院的图书馆,这里影印哈密尔顿记下来的ijk之间乘积的公式)。

在记事簿上他写的公式是:

i2=j2=k2=-1

ij=kjk=iki=j

ji=-kkj=-iik=-j

他是那么的冲动,马上从袋子取出一把小刀就在“布尔罕桥” Burham Bridge)上的石头刻上最初出现的公式。如果你以后有机会到爱尔兰都柏林游历,你应该去看那座石桥,现在在桥上人们立一个小小石碑,上面刻上:“这里在18431016日当威廉罗旺·哈密尔顿爵士走过时,天才的闪光发现了四元数的乘法基本公式 i2=j2=k2=ijk=-1,他把这结果刻在这桥的石上”。

晚上回去后,他开始计算:

a+bi+cj+dk)×(α+βi+γi+δk

=aα-bβ-cγ-dδ)+aβ+bα+cδ-dγ)i

+aγ-bβ+cα+dβ)j+aδ+bγ-cβ+dα)k

而且也发现右式的1ijk前的系数平方的和恰好等于(a2+b2+c2+d2)(α2+β2+γ2+δ2),因此这四元数真的是满足“模法则”。

四元数在近代数学是一个很重要的数学系数,在这上面像实数域和复数域那样可以施行加、减、乘、除的运算,但是乘法却不是可易(Commutative),如ijji

哈密尔顿的工作方式

哈密尔顿一生献给科学,他为人谦虚和专一,并不太重视他的科学成果给他带来的荣誉。他曾经这么说:“我长久以来很欣赏托勒密(Ptolemy希腊天文学家)对他的伟大的天文导师希巴宙斯(Hipparchus)的描写:勤劳和爱真理的人。我希望这几个字可以作为我的墓志铭。”

哈密尔顿娶的妻子是非常纤弱,常常生病,从来做不了什么家务事,而他请的佣人也不是什么很勤勉的人。他结婚后,吃饭不定时,有时连饭也没吃,而哈密尔顿习惯工作1014个小时,有时没有饭吃,就以酒当作饮料来喝,长久下去哈密尔顿对酒上瘾中了酒精毒,变成了“酒鬼”。

酒精对哈密尔顿身体损害很大,他尝试要戒可是却戒不掉。他如果不嗜酒,或许可以生活得更健康,能工作得更好,可惜一旦变成酒鬼,就难以自拔。

他的工作房间就像一个猪寮,肮里肮脏。哈密尔顿只会生活在抽象的数学天地,不懂得要把自己的研究环境弄得清洁些。而他的佣人也从来没有进入他的工作房收拾,外人很难想像他是怎么样工作的。

他的儿子回忆他有时走路想到问题没有带纸,就写在手指甲上,吃早餐时把公式写在鸡蛋壳上。

186592日哈密尔顿因痛风而去世,死时才60岁。人们打开他的工作房一看,真是吓昏。

房间堆满了纸张,这些纸张写上潦草的数学公式或句子及计算,另外有250册厚而大的记事簿,里面也是写满数学研究结果。

房子里有一种古怪发霉的臭味,人们揭开一些纸张发现有一些盘上面还有剩下的骨头,有些盘还有没有吃过的肉——哈密尔顿工作到忘记吃饭,而事后这些盘也没拿出去,就被另外的纸堆埋下去了。天啊!这个人怎么生活?!

从那堆积像小山的纸堆,人们找出的盘碟是那么多,足够一个大家庭用。哈密尔顿并不是一个神经不正常或是有怪脾气的人,他比许多不搞数学的人还要正常,可是在发现“四元数”后的22年,哈密尔顿对“四元数”的发现认为就像17世纪牛顿所发现的微积分那样重要,可以揭开物理世界的奥秘,因此他集中全力想将四元数在力学、天文学、光的波动理论方面寻找应用的地方,就不注意生活细节。

在这段时间,他就像中世纪不食人间烟火的隐士那样生活。有人说这是哈密尔顿的悲剧——对自己发现的“四元数”估价太高,而把他宝贵的生命的三分之一花在“四元数”上是太不值得的。

如果他有一位健康能照顾他的妻子,如果他不耽于酒,如果他不钻进“四元数”的小天地……或许现在的数学不会是这样的面貌,可能会还有许多新的东西出现——我是这么想。

四元数的推广及应用

哈密尔顿在发现“四元数”的第二天给一位朋友约翰·格拉夫斯(John T Graves)写一封信报告他发现的结果。

格拉夫斯根据哈密尔顿的发现由此推广到他称为“八元数”(Octaves或者Octonions)这是包含哈密尔顿四元数的另外一种新数,而且满足“模法则”,即对于任意a1,…,a8b1,…,b8,我们一定可以找到c1,…,c8 使得:

元数,像四元数一样可以在这上面实施加、减、乘、除的运算。

哈密尔顿很高兴格拉夫斯的推广,他详细研究这八元数,发现这八元数的乘法是不满足结合律,一般来说给出三个八元数ABC会有A×(B×C)≠(A×B)×C的现象。

格拉夫斯很想再推广,看是否能再构造2n元数(这里,n=1时是复数,n=2时是四元数,n=3时是八元数)。n大于或等于4。可是却找不到。在185212月格拉夫斯告诉哈密尔顿原来与模法则有关的四平方和定理在他们前80多年大数学家欧拉已发现。而他所发现的八平方和定理在34年前丹麦数学家达根(Degan)已在俄国的数学杂志发表,达根错误地叙述自己能推广到其他2n平方和的情形。

1848年凯克曼(T.P.Kirkman)证明不存在24=16平方和定理。

很巧,英国数学家凯利(Cayley)在不知道格拉夫斯的结果的情形下,也同时发现八元数。由于凯利在数学上的成就比格拉夫斯还高,一般人称八元数为“凯利数”。

是否还可以利用实数,类似复数、四元数、八元数的构造法再构造出一些新的数体在上面能实施加、减、乘、除的运算?在1958年时三位著名的拓扑学家波德(R.Bott)、米诺(J.Milnor)、科威尔(Kervaire)同时候证明了:在实数域上能构造的有限维斜体(Divison Algebra 即能施行加、减、乘、除的数学体系)只有是1维(实数域),2维(复数域),4维(四元数域)及8维(八元数域)这四种。他们是用代数拓扑的工具证到这个重要的结果。

哈密尔顿利用四元数研究刚体运动,知道月球运动的规律,并且计算彗星与行星和地球的距离,并且研究光通过双轴结晶体产生的波面(Wave-Surface)。这抽象的东西后来在爱因斯坦的相对论中还有用到。

动脑筋 想想看

1)利用哈密尔顿发现的结果,试试找 A=a+bi+cj+dk应该乘上什么数B,才能有AB=BA=1

2)每一个整数都能表示为四个平方数的和。试试找出314797这三个数的四个平方和的表示式。其中有哪一些是能表示成三个平方数的和?

3)利用哈密尔顿的四元数,寻找对于任意给的 x1,… x4y1,…,y4,所有可能的z1z2z3z4(用x1,…,x4y1,…,y4来表示)使得:

4)如果你找到以上的表示式,试试验证拉格朗日的结果:

这里w1w2是任意数。

5184414日约翰·克拉夫斯给哈密尔顿的信报告他发现的八元数基本乘法公式:

i2=j2=k2=l2=m2=n2=o2=-1

j= jk = lm = on =-kj =-ml =-no

j= ki= ln= mo= -ik= -nl= -om

k= ij =lo= nm= -ij= -ol= -mn

l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko

m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk

n=jl=jo=mk=-lj=-oi=-km

o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk

试证明八元数满足“模法则”。