奇妙的自然数

——平方镜反数

人类要对自然数12345,…有一番认识是需要经过一段相当长的时间的。

可能我们的老祖宗在三万多年前打完野兽,吃饱了兽肉,在他所住的洞穴里画上他打的野兽的样子,并且像流落在荒岛上的鲁宾逊(Robinson Crusoe)那样划线代表他所捕获的野兽的数目,划一条线代表打死一只野雉、二条线代表二只兔子等等,开始认识了这“一、二、三”。

后来我们这个老祖宗的子孙懂得把捉来的小动物畜养起来,结束那饮血茹毛的穴居生活,而进入畜牧时代,这时他就要懂得更多的数,以便能计算他的羊圈里的羊群数目。

等到他的几代曾孙不想过择水草而居的迁徙生活,发现以耕种定居比到处奔波的生活好过些,人类的农业时代到来,这时人类的收成如麦谷之类数量是很大,这时候他就需要知道较大的自然数了。

从懂得“一、二、三”这几个屈指可数的数,到千、万、亿等大数是人类认识数字的一个飞跃。

在亚洲的缅甸、泰国、菲律宾,还有一些生活在深山老林的少数民族,他们对自然数的认识不超过七,七之后的数对他们来说是很大,他们算不清了。在非洲和南美洲及澳洲也有一些生活在石器时代的民族,他们懂得的数就更少了,不会超过三,三之后的数对他们来说就是个大数。

我们中华民族也经历了这个从文化落后到先进的过程,如果你对中国文字留心,就可发现这个进化的痕迹。在甲骨文里“一”字有时代表“余”(“余”即我一个人)、而“二”字是通用于“尔”(“尔”就是你,你和我是两个人),而你会发现很形象的“众”是三个人在一起表示多数人。比方说下面的句子:“我们再三警告越南当局,不要再做出伤害两国人民友好关系的事端,中国人民是可忍而不可辱的,忍耐有个限度,时机一到我们会作出我们应做的事。”这里我们用到的“再三”就是表示多次的意思。

知道了自然数还不算是懂数学,真正要对自然数的一些确实性质有认识才算是了解数学。

你或许会问“一、二、三”是这么简单的数 2=1+13=2+1,这里面有什么数学可以讲呢?有的,我可以现在就告诉你一个世界著名的数学难题,到现在还没有人解决,这个问题是卡达朗(Catalan)提出,所以也叫“卡达朗猜想”。

你或许知道23=832=99-8=1吧!

卡达朗认为除了x=3m=2y=2n=3满足这样的关系式xm-yn=1以外,再找不到其他整数能满足以上的例子。这问题近年有狄兹德曼(Tijotdeman)用很深的数学工具证明以上的方程只有有限个解。现在怎样证明这有限解只有一个是很难的问题,用中学的数学知识是不够解决这样的问题的。

我这里想谈谈一些自然数的性质,读者只要有小学的算术知识,懂得加减乘除(或者连加减乘除也忘了,但能懂得用小型电子计算器)就可以看懂这文章,而且自己也可以寻找出一些自然数的美妙性质。

一位美国读者的有趣发现

19793月中旬,在美国纽约州一间大学搞固态物理的梅维宁先生给我写了一封信,对我讲他的一个新发现,现在我把他的信一部分摘录下来:

“某天,我闲得无聊、闷得发慌时,拿起小型计算机玩,发现一些蛮有趣的东西,野人献曝,拿出来,希望大家想一想:

首先看:

1213是相邻的正整数,它们的平方和它们的反映(inversion mirror image即十位数和个位数对调)的平方,也是它们相互的反映对换,我继续往下找,在两位数中找不到。在三位数中发现:

1122=12544                    44521=2112

1132=12769                    96721=3112

然后四位数中:

11122=1236544               4456321=21112

11132=1238769               9678321=31112

五位数亦复如此(一试便知)。

好,现在的问题是:

1)是否在n位数,也是这样?(n6

2)还有没有其他的数字(相邻正整数)有此性质?

3)为什么?

我说过我是学物理的,对数论证明完全没有观念,只有一时好玩,提些小问题,大家动动脑筋……”

梅先生的发现在我看来是很有趣的,他发现了几个这样特殊的数:这数的平方和它的镜子反映的数的平方在镜子中的反映恰巧相等。我们给这样的数这样的名称——“平方镜反数”。如下(图一)所示:

11是平方镜反数,因为(112=121,你从左边谈到右边,这和从右边谈到左边的数是一样。当然22也是平方镜反数(222=242。你会马上猜到33也是平方镜反数!

很可惜这样猜想是错了,因为(332=1089,这数和9801不一样。

那么什么样的数是平方镜反数呢?

我们先找所有少于一百的平方镜反数,读者通过考虑较简单的情形,就能进一步解决一般的情况。

小于100的两位数可以表示成(xy10,即x是大于或等于1,而小于或等于9的数字,而y是从09的数字。

我们可以将(xy10写成10x+y

例如 23=2×10+3

如果(xy10是平方镜反数,则y必须大于0

我们先看x=1的情形。

现在再看(2)式右边的y2×100,如果y是等于4那么我们就有

因此y只能从{123}这三个数中选择。我们看到(112=121,(122=144和(212=441,(132=169和(312=961,所以111213是平方镜反数。

然后我们看x=2的情形:

所以y只能是12,由于12是平方镜反数,所以21也是平方镜反数,明显22也是平方镜反数。

最后我们看x=3的情形:

观察(5),(6)我们知道y不能大于1,因此我们只有31这个平方镜反数。

因此除了梅先生找到的{1213}相邻平方镜反数,我们还有{1112}{2122}这两对。

现在我们可以回答梅先生的问题:

第一个问题的答案:对于任何n(大于1)位数,存在平方镜反数。如102100210002,…在12中间插多少个0组成的数是平方镜反数。

第二个问题的答案:有许多,事实上是有无穷多个!{10011002}{1000110002},等等都是。

第三个问题的答案:只要平方就知道。

我这里列下15个百位数的平方镜反数:101102103111112113121122201202211212221301311。(图二)

我们总共只有39个千位数的平方镜反数:100110021003101110121013102110221031110111021103111111121113112111221201120212111212130120012002201120122021202221012102211121212201220222113001301131013111

读者如果注意一下可以发现这些平方镜反数只是由0123组成。事实上以后的平方镜反数也是由0123这些数字组成,而且它们排列有出现美丽的规律。我这里不讲了,让你们自己去探索,经过自己一番努力获得的东西你们就会珍惜它,而且很可能由此你们会发现一些新的定理及对自然数有更深的认识。

动脑筋问题

1)观察81=92=8+122025=452=20+2523025=552=30+2529801=992=98+12

这些数是能把组成它的数字分成两半,然后取这两半的数的和的平方而得到。这性质也是很有趣的:

a)寻找小于100的所有这类整数。

b)寻找小于10000的所有这类整数。

c)找出构造具有以上奇妙性质的数的一般方法由此证明这类数是有无穷多个。

2)我们观察11的立方,(113=1331可是(223=10648我们给定一个数(a1a2a3ak10,我们用 m[a1ak10]表示其镜反数,即m[a1ak10]=aka110

例如1235的镜反数m [1235]=5321

现在我们介绍下面的概念:

定义

一个自然数(a1ak20称为立方镜反数,如果它有这样的性质:

{m[a1ak10}3=m[a1ak10]

11是立方镜反数,而12不是立方镜反数。

a)寻找所有小于10000的立方镜反数。(答:只有6个。)

b)寻找构造立方镜反数的方法,以此判断立方镜反数的个数是有限还是无限。

3)什么正整数x,有这样的性质:它的平方x2是一个二位数(a1a210及其镜反数(a2a110的和。

4)观察321这数,321-123=198=2×99

452这三个数也有 452-254=198=2×99证明任何三位数

a1a2a310减去其镜反数(a3a2a110一定能被99整除。

5)寻找所有的四位数(a1a2a3a410具有下面性质:

9×(a1a2a3a410=a4a3a2a110

(答:只有一个1089。)