从日本的猜数游戏谈到奇妙的数字“黑洞”

日本的猜数游戏

小松子在学校学到一个猜数的游戏,回来告诉妈妈:“妈妈,我们同学在玩一种游戏,你只要心中想任何一个数目,我都有法子猜出来。”

小松子要妈妈马上想一个数字。

“我想好了,你猜是什么数?”

“没有这样快,你把这数乘上5,不要告诉我这个乘积。”

“好!我已乘好了。现在你猜出来没有?”

“不要急,妈妈!现在把这新的数加上6。”

妈妈表示算好了。“请再把这数乘上4。”

妈妈不习惯心算,就拿一张纸用笔开始算。

“把这数加上9,然后再把这和乘上5。”

妈妈就依照小松子所说的去算。

“现在您可以告诉我结果是什么?”

妈妈说:“3765。”

小松子马上说:“妈妈,您想的数是36,是吗?”

妈妈惊奇地说:“是的,这就是我的年龄的数目。你怎么猜出来呢?”

“我先不告诉您,您再想一个数目字。”

妈妈于是在纸上写一个数字。

小松子说:“先乘5,然后加6,再乘4,然后加9,最后再乘5。现在告诉我,您算的答案。”

妈妈说:“198165。”

小松子说:“您想的是1980,是吗?”

妈妈说:“对的,让我看看你是怎么样猜出?你是不是减掉165,然后除100?”

“是的,妈妈您怎么知道呢?”小松子惊异地说。

“我只是把1981651980比较猜测,刚好猜中,然后检查一下刚才我算的3765

3765-165)÷100=3600÷100=36

“是的,这个方法是对的。”

“妈妈,您不要告诉爸爸,让我今晚试试爸爸,看他是否可以发现这个方法?”

吃过晚饭后,爸爸检查松子在学校的作业,并询问她在学习上有什么困难。小松子摇摇头,然后对爸爸说她在学校学到一个游戏,要爸爸和她一起玩。

爸爸听了小松子的游戏,就在纸上计算,最后对小松子笑笑说:“是不是把最后的数减去165,然后除于00就可以得到你最初想的数?”

小松子惊异地说:“咦!是不是您听妈妈讲这个方法呢?”

爸爸摇摇头说:“我是用下面的方法,想出您的秘诀。不论想的是什么数,我用字母x来表示,照你所讲的方法我得到:

({〔(x×5+6〕×4+9)×5

=({〔5x+6〕×4+9)×5

=({20x+24+9)×5

=100x+165

“因此如果这最后的数是y,我只要写

100x+165=y

100x=y-165

x =y-165)÷100

“你看这方法是不是很容易就可以得到你的游戏的秘诀?

“利用这个方法,你可以猜出其他类似的游戏,你只要把最初想的数用x表示就行了。”

爸爸是利用代数工具解决以上的问题,小松子由这里明白创造其他的猜数游戏的方法。

俄国诗人莱蒙托夫的玩意

19世纪,俄国有一位出名的诗人名叫莱蒙托夫,一些喜欢外国文学的读者可能读过他的作品。

在沙皇时代的作家,很少像写《战争与和平》的L·托尔斯泰及诗人莱蒙托夫那样,对数学很有兴趣。托尔斯泰曾利用小说写关于数学的问题,莱蒙托夫却用数学来消遣。我读过关于他的一个故事:

1841年莱蒙托夫是驻扎在阿那巴要塞的钦金兵团的军官。军官们闲散无事就是喝酒闲聊。有一次,大家谈到某一个红衣主教,有人就说他很有学问,能心算最复杂的数学问题。

一个佩带乔其勋章的老军营长对莱蒙托夫说:“您怎样看?人家也说您是一位好数学家。”

“这没有什么奇怪,如果您愿意的话,我也可以把极妙的数学经验介绍给您。”

“请您讲讲吧!”其他的军官也好奇地问莱蒙托夫。

“请随便想一个什么数,我可以依靠普通的算术运算,确定您所想的是什么数。”

“好吧!请您试一下。”老头子笑了起来。他心里是有些不相信,“我应该想多么大的数呢?”

“这没有什么分别,但在第一次试验时,为了计算得快些,限制两位数吧!”

“好吧,我想好了。”营长说,同时他向站在周围的军官们,使了一个怀疑的眼色,并把他所想的数,悄悄地告诉了坐在他身旁的一位太太。

“请您在想好的数里加一个25进去,心里计算一下或用纸记下来。”

老头子要了支铅笔,开始在纸上记了一下。

“现在请您再加上一个125。”

老头子加了一下。

“现在减去37。”

老头子照减。

“再减去您所想好的数目。”

老头子再减。

“现在把余数乘5,然后把得数除2。”

老头子照着做,这时他听到莱蒙托夫说:“现在让我们看一下,

营长几乎跳了起来——莱蒙托夫的计算的精确使他感到惊讶。“是

“魔术师吗?倒并不是,但数学是学过的。”莱蒙托夫微笑道。

“但是,且慢……”老头子显然有点疑惑:在他计算的时候,莱蒙托夫有没有偷看了他的数呢?“可以重演一次吗?”

于是,老头子记下一个他所想的数,放在烛台下面,谁也不给看,然后开始用心算计算诗人所告诉他的一些数。而这次计算后所得出的一个数也被猜中了。

大家都感觉兴趣。老头子惟有做做手势表示惊异。家中的女主人要求再试验一次,再一次的试验也是成功的。

于是要塞里都谈论这件事情。不论诗人走到哪里,总有人要求他猜测计算后所得的数。他总是答应他们的要求,后来他厌烦了。过了几天,在一个晚会上,他公开了秘密。

我想聪明的读者用以上小松子的爸爸的方法,就可以明白莱蒙托夫的玩意儿。你或许会注意到在一百多年前,俄国的军官数学程度是很低,这样简单的数学游戏的道理也看不透。现在苏联的军官一般都有大学的数学水平,20世纪的苏联军官,比19世纪的沙皇军官的数学知识是丰富得多了。

以上的东西不太深奥,有趣的还是下面我的发现。

我的病中发现

有一次我病倒在床上,头又痛,鼻子又流血,于是我放弃搞我的研究,在床上看探险小说及吃我自己发明的“药方”——红萝卜煮稀饭,加点放了黄糖的牛奶,先饿了大半天,让“虚火”下降。我是不喜欢吃药和看医生,相信自然疗法,于是拿自己当试验品。病果然是好些。

探险小说看完,头还是痛,不敢搞数学研究,看天花板看得太久,又觉得百般无聊,于是拿起一张纸和一枝笔,就像小孩子一样做加减法。我想就在简单的数字的加减中,我可能会发觉一些有趣味的东西。

我先从简单的两位数开始,个位数变十位数不一样。比方说12,我把它变成21,然后互相减(当然用大数减去小数):

21-12=9

我把9看成09,然后再颠倒次序得90,再互相减得90-09=81

我把81颠倒次序:个位数为十位数,十位数变个位数,我得到18,于是用减法我得81-18=63

我再用刚才的方法运算:63-36=27

再继续运算:72-27=45

我再计算:54-45=9

这时我就停止,不必算了,因为再算下去就会重复前面的结果,最后又回到9来。

这真是奇怪,好像是有一些规律出现:这样减后的数,个位数和十位数的和一定是9,最后的运算总会跑到9这个数字!

我试试另外一些数字:8391

我的天!怎么又出现9呢?

这时我想出任何一位数和两位数不一样的两位数A,我用以上的方法我可以得到新的数。我把这新数取它的颠倒次序所成的数,然后选最大的数用B表示,然后我用箭头“→”把AB接合写成:AB,这表示B是由A推导出来,我把我刚才算过的一些例子用这表示法写下得到下面的(图一):

现在有许多天文学家相信宇宙有一种星体叫“黑洞”(black hole),它具有非常大的质量和吸力,光线不会从它身上逸出,如果星体经过它的吸力范围,就会吸进而不能出来。看来我是发现了二位数字的世界里的“黑洞”,它们只要一进入由“9081637254”组成的环里,就会永远不会出来,一直在里面绕呀绕。

我本来想要深入研究为什么会这样,但是我想到我是在病中,头又痛,不要又钻进这问题,给那本来极需休息的脑瓜子再加负担,于是我就没有再钻研。

现在我拿这个小发现出来,希望读者们能自己也算一算,并且研究一下为什么会有这现象,你会发现到数学世界许多有趣现象。说不定,通过这个小研究,会引导你到以前没有人注意的另外一个世界。

三位数的奇妙性质

我刚才说我找到二位数学世界的“黑洞”,很自然地,我就想是否在三位数的世界也有“黑洞”存在?于是我又开始我的旅行了。

我住的房子是107号,于是我就想像我要从“107号星球”到另外一个星球去。我将{107}先根据大到小的排法,得到的三位数,减掉由小到大的排法所组成的数,也就是710-017=693

我的下一个星球就是由{693}根据从大到小的排法所组成的数,即963

于是我画一个箭头“→”,写成 107963

963我算到:963-369=594

于是我有107963954

954我得到:954-459=495

因此根据我以上的走法,我又回到954了,即:

107963954

我想到《广角镜》的地址是在184号,于是我在第二次就由“184号星球”出发:

841-148=693

奇怪!我有:184963954

我的好朋友老牟住在118号,于是我就算:

因此我有 118963954

常与我通讯的小黄弟弟是住在121号。我就算:

我得到121990981972963954

能说善道又颇有文才的老董是住在606号。于是由此我得:

606954

从事电子计算机研究工作的周大姐,她的工作地址是251号,于是我计算得到:

251963954

真是奇妙!我从不同的星球出发最后都要落进954去。这是偶然现象,还是必然现象呢?我只试了6个星球,而在三位数世界里却有几百个星球,是否每个星球都会最后落进954去呢?或许会有例外的情形,我还没有发现到呢?

我就再拿一个数来试验,很自然地我想到是123

用我以上的写法我得到:

123981962963954

我画了下面的图二(见下页):

图二中的954是否三位数世界的“黑洞”?

于是我就大胆地作下面的猜想(conjecture):“954是三位数世界里的‘黑洞’,只要从任何个十百位数不会全部一样像111222888的三位数出发,它们一定最后掉进954里而不会出来。”

别有天地的四位数世界

照理我有以上的猜想,应该“小心求证”吧?可是我却想,让我再多发现一些新的东西,证明或者就让其他对数学有兴趣的朋友去证好了。我就像1516世纪的探险家,在茫茫的大海,孤苦过了漫长的日子,发现了几个小岛后,马上燃起发现新大陆的热烈欲望,又要远航了,不愿意留在那小岛上过日子。这小岛就让别人去开发。

古代的希腊哲学家,会钻牛角尖研究人和其他动物不同的地方,最后得到一个人的定义:“人是会讲话的动物。”后来唯物学派的大师又发现:“人是会使用工具生产劳动的动物。”

我有一位对哲学很有研究的朋友对我说:“人是有灵魂的动物。”我问他这是凭什么证明呢?他双手合十说:“在圣经里,讲到好人进天堂坏人下地狱,人是从泥土中来,最后回到泥土中去,肉身腐化;只有善良的灵魂上天堂,而卑劣的灵魂下地狱。没有其他动物是在天堂和地狱里。”我刁钻地说:“根据佛经,地狱里有牛头马面,牛马在地狱里。这么说不单是人有灵魂呢?!”我这位朋友很有涵养,他马上说:“主啊!请宽恕他,他不知道他在说的是什么。”

我想我如果说:“人是‘永远不会满足的动物’。”这个说法,是比其他的几个区分人和动物的不同更确切。不是吗?狗给几根骨头,就会摇着尾巴,心满意足地啃它的骨头,不会像人那样:“人心不足蛇吞象,做了皇帝想变仙。”猪给它饱食后,它就快乐地呼噜大睡,所以心宽体胖。而我们人呢?永远的不满足,穷时就想“人无横财不富”和“大富在天”,一有了钱又不满足,想要有名。饱食终日又思淫欲,于是就有垂涎于“孔方兄”和官爵的大圣人发明了“食色性也”的大学说。等到要咽最后一口气时,他又会说:“我还活不够。”有谁能像在泥塘里的乌龟,嚼着青萍,晒着太阳,用尾巴拍着泥巴,“帝力于我何有哉!”快乐地生活?

我躺在床上,脑子想的就是以上的乱七八糟的东西,目的就是为我的不满足而辩解。因为我马上不知足,又要离开三位数世界跑到四位数世界去了。唉!人总是爱自寻烦恼。

我拿一个骰子,就连续丢四次,我得到第一个四位数是5462。我就写下它的数字,从大到小排列的新数6542以及从小到大排列的新数2456,然后算它们的差得4086。我的运算如下:

得到6174,我再算下去又回到6174,用我以前的写法我得到:

5462864087217443996366427641

我高兴一下,是不是7641是四位数世界里的“黑洞”呢?

这时我嫌掷骰子太费事想要偷懒,打开我的记事簿,拿我的朋友的电话号码来算。我先抄下几个号码:①3331,②8303,③7863,④2126,⑤2314,⑥5473,于是我就开始计算:

实在巧妙!它们都跑到7641去!

我这时猜想:7641是四位数世界里的“黑洞”,只要从任何个十百千位数不会全一样如 22225555之类的数出发,它们一定最后掉进 7641而不会出来!或许在更高位数的世界也有黑洞。我已累了!不想再研究下去。让我把这个烦恼丢给那一些喜欢数学和思考的读者,只要他们一摸到这问题,保证他们会好奇不满足,一直的钻研下去。

——19805月写于大病方愈之中

动脑筋想想看

1.有一个送货员骑自行车送货到一个城市,如果他以30公里/小时的速度进行,他会在早上11点到该城市,如果他以20公里/小时的速度进行,他会在下午1点到达。为了能在12点整送货到那城市,他应该以多大的车速进行?(许多读者可能会以每小时为25公里,这答案是错的。)这送货员所在的位置和城市相距多远?

“四代同堂”的数学问题

2.爸爸对祖父说:“真是奇怪!我现在的岁数和小宝的岁数的乘积是等于将我们的岁数倒排(即45变成54)后的乘积。而我们的岁数又不能被11整除”。

祖父看了看乘积说:“这也没有什么奇怪。我的岁数和小宝的岁数的乘积,也是等于将我们的岁数倒排后的乘积。”

曾祖父听到他们的吵声跑来看:“唉呀!真是稀奇!我的岁数和曾孙的乘积,也等于倒排岁数后的乘积。”

聪明的读者,你能不能算出小宝今年是多少岁呢?

3.写于距离现在300多年前的数学书:《算法统宗》(程大位于1592年出版)有许多数学问题是以诗歌的形式出现。这里介绍其中一题:“甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后,戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑。玄机奥妙进参透?”

把这题“百羊题”翻译成现代的白话大意是:甲赶一群羊去寻找茂盛的草地,乙牵着一只肥羊随后跟上。乙问甲的羊群是否有一百只?甲回答:“如果能把这一群羊的数目加一倍,再加上这一群羊的数目的一半,又加上这原来数目的四分之一(小半群),再凑上你的一只羊,刚好就是一百只。”

为了让我们的老祖宗高兴,我们就用代数方法解以上的问题。

4.接近一百年前法国数学家E·Lucas发现下面的美丽数字梯形:

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

123456×9+7=1111111

1234567×9+8=11111111

12345678×9+9=111111111

123456789×9+10=1111111111

你能不能找到类似的美丽巧妙数字组成的图形?