当代世界最多产的数学家

——保罗·厄多斯

1983年以色列政府颁给十万美元“沃尔夫奖金”(Wolf Prize)就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。

浪迹天涯的数学家

厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家,也是全世界和各种各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人;他也是旅行最多地方、四海为家的数学家。

如果你听过这样的歌:“我是一个孤独的牛仔,浪迹天涯……”厄多斯教授一定会改唱为:“我是一个快乐的非常老的老头子,浪迹天涯……”他是不孤独的,他的朋友遍天下。

对于熟悉他的人,他很乐意人家叫他“保罗叔叔”,他曾常常对人说:“我已经是非常老了。”他生于1913年布达佩斯一个中产阶层的家庭,父母都是中学数学教师,作为一个独身子,他很敏感,他在六岁时就显露出他的与众不同之处,他能很快的加及乘六位数的大数。他的父母从事教育工作,对于他的才智的发展关注及善于指导,从小他就对自然科学、文学及社会问题关心。

他发表了近1000多篇的论文,平均一年要写和回答1500多封有关于数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究,他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文,据说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他讨论,他可以很快就给出了问题的解决方法或答案,于是人们赶快把结果写下来,然后发表的时候放上他的名字,厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。

他是一个富有传奇色彩的人,人们甚至谣传(当然这不是真的):他有一次从一个地方要到另外一个地方的大学演讲,他竟然在旅途中和查票的火车查票员合写了一篇数学论文!

每星期有新研究才是数学家

厄多斯对数学家的定义是很奇特的:“一个数学家必须是在每个星期有一些新的研究工作才成为数学家。”

因此有一次,他在巴黎演讲后,有个法国数学家问他关于他们英国的共同朋友某个得爵士头衔的教授的近况。厄多斯回答:“这可怜的家伙两年前已死去了。”另外一位法国教授在旁边听到,马上说:“这是不可能的,我上个月还在罗马见到他。”而厄多斯却说:“啊!你应该明白我的意思,我是指他这两年没有搞出一些新东西出来!”

他遇见他的搞数学的同行,就喜欢问:“你昨天有什么新的发现?”而“保罗叔叔”要生出一个新的定理或问题是比母鸡生蛋还要快。

 

去年他已是70岁高龄,他还精神抖擞到处演讲。听他演讲时还中气十足,记忆力也不太衰退,身体轻盈活泼,不像一个上了年纪的老人家。

他从来没有一个固定的职位,也从来不定居在一个地方,他也没有结婚,他的父亲去世后,母亲就跟着他。他非常孝顺照顾她一些生活,难为他的母亲与他过着“处处无家处处家”的流浪生活,母亲晚年曾短期居住在以色列,90高龄才去世。而他风尘仆仆旅行时,只三两个小的旧皮箱放他的一点衣服和私人用具,或加上一两个塑胶袋里面装了一些他送给朋友或朋友孩子的礼物。

他是国际闻名的大数学家,可是生活比爱因斯坦还要简朴,他没有什么个人的书籍,到那里就用学校或研究所的图书。我在法国庞加莱研究所的图书馆就曾见到他进来查阅杂志,他的记忆力好得不必翻目录,用手一翻就能找到他要的文章,我看了只好佩服得五体投地。

主人是妻子,奴隶是丈夫

他很爱小孩,他叫小孩子“epsilon”(希腊字母,数学在微积分上通常用来表示一个很小的数,中文可以译成“小不点儿”)。他对婚姻和配偶有奇怪的看法:一个结合的配偶包含一个“主人”和一个“奴隶”。主人是妻子,奴隶是丈夫。他们结合就意味奴隶被主人逮住了。如果离婚,奴隶就是被解放。如果一个男人还要再结婚,那么他就是要再被逮捕成为奴隶。

因此他为了不做“奴隶”,一生不娶,专心搞他喜欢的数学。

美国著名数学家S.M.乌朗(Ulam 1909—)在1976年,他的自传《一个数学家的冒险记》(Adventure of mathematician)曾经这么写:“数学的天地是大脑创造出来,可以视为不需外界的助力。数学家工作可以不像其他科学家那样需要仪器。物理学家(甚至理论物理学家),生物学家和化学家都需要实验室——可是数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作,他可能在走路,吃饭甚至谈天时继续思考。这就或许可以解释为什么有许多数学家在从事其他工作时表现得内向(inward)及心不在焉,这和其他领域的科学工作者的形象最鲜明的不同。当然,这还要看具体情形。有些人像保罗·厄多斯具有极端的特点。他在清醒的时间里非常大的百分比是放在数学构造和推理思考,把其他的事都搁在一边。”

“……保罗·厄多斯在任何时刻都集中精神和思考,通常是放在已经开始工作或者他以前曾经考虑过的问题。他不把他的记忆像录音机那样洗干净,从新开始……”

我和他的结识

“……他真的是一个神童,在18岁时就发表他的在数论和组合数学的结果。

由于是犹太人,他需离开匈牙利,而这反而救了他的命。在1941年他是27岁,却不快乐,思乡,常常担忧他那留在匈牙利的母亲。

他来麦迪生(Madison)是我们友谊的开始。由于经济桔据,除他所说的穷,他常把他访问的日子延长到不能延为止。在1943年他在普度大学(Purdue  University)取得一个奖学金,这时他不再分文全无。就如他所说的:“还从举债的日子摆脱。”在这次及其他的访问,我们互相讨论合作——我们的数学讨论只有在读报纸或听收音机广播战争情况及政治分析时才终断。在去普度之前,他仍在普林斯敦研究所一年到他的生活津贴被停止为止。

大动作、神经质、特异语言

他是比中等身裁稍矮,非常神经质,当时他是比现在还要活跃——常常跳上跳下或者拍打(flapping)他的双臂。他的眼睛常常显示他是在思考数学,这过程只有在他说出对世界事务、政治或人类悲观的论调时才中断。如果有一些有趣的想法从他头上产生,他就会跳上来,拍他的手掌,然后再坐下。他的专心搞数学及常常思索问题,很像我的一些波兰朋友。他的怪异的形态是太多了,不可能全写下来。一个方面(现在仍然保留下来)是他的特异的语言。如用“epsilon”表示孩子,“奴隶”是指丈夫,“主人,”是指妻子,“捕俘”是指“结婚”,“讲道”(preach)是 指演讲,及其他现在数学界所知道他的独创名词。我们共同获得的数学结果,有许多到今天还没有发表。

厄多斯并不因时间的过去而有太大的改变。他仍旧是专心于数学的数学家。现在已过60岁了,他已有超过700多篇他个人写的论文。关于他的许多说法,其中之一是:“如果你不认识保罗·厄多斯,你就不是真正的数学家。”还有一个有名的厄多斯数——任何数学家通过和他合作者联系到厄多斯所要的阶数。例如,如果你是列为“厄多斯数2”表示你和一个曾和厄多斯合写过的人合写论文。多数的数学家,如果不是属于厄多斯数1就是厄多斯数2

厄多斯还是继续用笔写短信,开头是:“假定×是这样,因此有……”或者“假定我有一序列的数……”在信结尾时,他写了一点他个人的看法,通常是他已经老了(这从他30岁就开始说)或者带忧郁(hypochondriac)或悲观地对我们上了年纪的朋友的看法。他的信是迷人的(Charming)及常包含新的数学消息……

下棋证明脑筋健全

1945年乌朗脑部动手术之后,准备从医院回家,厄多斯在走廊见到他,兴高采烈的喊道:“史坦(Stan),我高兴的看到你还活着。我想你快死了,我要为你的讣告及亲自完成我们合作的论文。”当时他手上拿了一个皮箱,没有其他地方可去,乌朗就邀他来他家里小住。

乌朗的同事载他们回家,而在车上厄多斯就开始滔滔不绝地谈论一些数学问题,乌朗也发表一些看法。厄多斯就高兴的说:“史坦,你还和以前一样!”这给乌朗心中很大的安慰,他担心自己的脑动手术后受损害。一到家,厄多斯就建议下国际象棋,乌朗很担心对象棋的一些规则及棋子的走法忘记了,第一盘棋厄多斯是输了,厄多斯再建议下第二盘,乌朗想可能厄多斯是要让他赢使他心里高兴,他想到疲倦,但是仍和他再下一盘。厄多斯努力奋战仍旧输,他说他感到疲倦不要下了,乌朗才相信厄多斯是很认真及诚恳与他下棋,他才对自己的脑没有完全损坏而高兴。

他们常在一起讨论数学或到海边散步。有一次他遇到一个小孩,他说:“看,史坦!多么可爱的小不点儿。”一个非常漂亮的年青妇女坐在附近,肯定是这小孩的母亲,乌朗就回答:“可是看那个大写的epsilon。”这令厄多斯马上脸红和难堪。在那时期厄多斯用 SFSupreme fascist最高至上法西斯分子)来代表上帝,用Joe(斯大林的名)来代表苏联,用Sam(山姆)来代表美国。

厄多斯从事工作的领域很广:数论、集合论、组合数学、图论、概率论及其应用(应用到数论、群论、更一些随机结构),实变函数论,无穷级数理论、插值论等等。

1973年麻省理工学院的出版社为了他的60岁生日纪念出版了他的选集《计算的艺术》(The art of Counting),读者可以看到他的各种各类的数学工作。英国名数学家Rado在序上说他是:“流浪者(Wandering Scholar)。他时常横跨五大洲。他效忠的是“科学之后”而不是任何特别地方或研究所。

最早与他合作写过论文的中国数学家有柯召(1938年),在数论方面。1947年有钟开莱,在概率论方面,我这里介绍一点他有兴趣的问题:

用金钱刺激解决难题

在四十多年前他问xxyy=Zz是否有非x=y=z=1的整数解?在1940年,柯召发现以上的方程有无穷多解。现在问题是柯召发现的是不是全部的解?是否还有新的解可以找出来?

他与Strauss 猜想对于任何整数n3,方程:

是可以找到满足1x1x2x3的整数解。这问题还没解决。

对于任何整数n,与n互素的个数是φ(n),我们如果将这些数列下 1=r1<…<rφ(n)= n-1

厄多斯在40多年前,猜想一定能找到一个固定的常数C 使得

他给250美元的奖金,如果有人能证明或者反证以上的问题,这问题还未解决。

他提出许多数学问题及一些猜想,有时还附上奖金,这些数目最低是50美元,然后是100美元,400美元,500美元,高的可达100020003000美元及一万美元。他的同胞Szemeredi在年青时,就曾解决了他的一个问题而获得1000美元的奖金。在他的“金钱刺激”之下,有许多人研究他所认为重要及有趣的数学难题。

他的一个3000美元奖金的问题是:如果正整数序列a1 a2,…有这样的性质:

则对于任何的k,我们可以找到k个数,在以上序列里成为等差级数。这问题有中学数学程度的人就可明白,但解决不容易。

厄多斯是匈牙利的国宝

美国数学家Mark Kac有一次在演讲他的数学研究时,发现厄多斯听得睡着了。当他对听众说他相信他对某个数论问题的猜想是正确的,突然厄多斯惊醒,老头子说:“请您把刚才的问题重复一下!”Mark Kac再解释一遍。结果在Mark Kac演讲还未结束时,厄多斯已经把整个问题解决了。

他虽然是匈牙利的科学院士,可是他可以随时自由离开自己的国家,他的护照就像外交人员那样有特权,每次他从外国回来机场就有一大堆的年青或年纪大的数学家去迎接他,他的全部财产就是在那两个旧皮箱里,看到他的朋友来迎接,他就从塑料袋里找礼物送,然后就询问这些朋友亲属的近况,或者谈坦桑尼亚的情况,或者提他最近和某些人接触时所知道的有趣数学问题。走到某接待他的汽车时,他问候周围的人,他有时还会把张三错当李四。有时他也提起他所认识的外国数学家的情况,而没有考虑到听的人并不认识他所说的人。一到家,他就连续打电话给朋友或亲戚,行李完全丢在一边。他是匈牙利的“国宝”,刺激带动许多人去从事数学研究工作。

不想伤害年青数学家的热情

我印象最深刻的是我有一次到布达佩斯拜访我认识的一位F教授,F教授见到我说:“你知道吗?厄多斯昨天回来了!”可见厄多斯一回国门,就变成布达佩斯的重要消息。

厄多斯知道和解决的东西太多了,有些他来不及写下来,在40年代时,他和乌朗合作得到一些有关实践上一些Borel集及平面上一些集合的拓扑学定理,他们一直没有机会坐下来合写成文章。

其中有一些结果后来被一个印度数学家B.V.Rao重新发 现并且发表。Rao得到这些结果时,把论文寄给厄多斯请他提供意见。厄多斯马上回信鼓励他发表这些结果,信中他并没有说他及乌朗早已得到以上的结果并且证明了。后来有人告诉Rao,他所发现的定理实际上厄多斯及乌朗早已获得只是没有发表。Rao写信给厄多斯,问他为什么不早点讲这情况?厄多斯回答:他不想模仿高斯(Gauss)这个“混蛋习惯”——对于年青的数学家泼冷水说:他们自以为发现的新结果,事实上是他早已许多年前得到了。从这点可见厄多斯胸怀宽大及对年青数学工作者的爱  护,不想伤害他们对数学研究的热情。

厄多斯的事迹很多,他的有趣问题也不少,我们为了篇幅限制不能讲得太多。读者如有兴趣,可以阅读《数学和数学家的故事》第一集,讲他怎样发现并栽培一个数学神童的故事。