拉格朗日

——数学上崇高的金字塔

数学上崇高的金字塔

18世纪有一位数学家曾被拿破仑以“数学上崇高的金字塔”这句话来形容和称赞。你知道他是谁呢?

他就是我想介绍的约瑟·路易·拉格朗日(Joseph-Louis La  grange 17361813)。你如果有机会翻看大学的物理力学书,你就会看到许多拉格朗日有关的方法、定理和发现。

可是你知不知道他并不是很早就显现对数学有兴趣,而是在看到一本“奇书”后,数学的兴趣火花才被点燃。后来在短短的一年时间独自研究数学,创立了一门新的数学。在16岁时(有人说是17岁,或19岁,历史较久,年代搞不清了)成为大学数学教授。

你会问:“你是不是在贩卖‘神童天才论’?哪有这样聪明的人呢?我是否也能像他那样?”

我的回答是:这世界是这么大,各种人有各种各样的才能。有些人在适当的条件和机会,把自己的才华发挥,作出对人类幸福有贡献的事业,他就算是一个有用的人。有些人就像高尔基所说的不能燃烧的木材,在泥沼里逐渐腐烂。一个人早晚什么时候有成就不是重要的事,最重要的是在他生命结束之前,他已作出了对人类有益的事。拉格朗日就是这样的一个人,或许这点我们可以学习他。

拉格朗日是在1736125日诞生于意大利的都灵市(Turin),在1813410日去世于法国的巴黎。

他的父亲是负责萨地拿区的军事官员,在当地算是有相当地位及财富,他共有11个孩子,拉格朗日是长子,其他大部分都夭折,只有少数生存到成年。

拉格朗日在都灵学校念书时,要学一些古典文学、希腊文,读一点欧几里得的《几何原本》和阿基米德的一些几何工作。可是他对这些数学并不感到兴趣。有一天,他读到英国数学家Halley在《哲学会报》(Philososphical Transactions)发表的《近世代数在一些光学问题上的优点》(On the excellence of the mod  ern algebra in certain optical problems),引起了他对数学的兴趣, 他开始研究和探索数学。

他少年时,他的父亲因搞投机买卖,把家产用尽。拉格朗日后来回顾这本来可以继承一大笔财产,转眼之间变成穷光蛋的日子,这样评述:“这是好事,如果我继承了财产,可能我就不会搞数学了。”这是很可能的事,意大利多了一个 袴子弟,而人 类就少了一个杰出的数学家。由于他掌握了当时的“现代数学分析”,都灵市的皇家炮兵学校请他当教授,他要教比他大许多的学生的数学。

19岁时,他写信给欧拉。当时欧洲最著名的数学家,讲他解决了“等周问题”(Isoperimetrical problem),这是50多年来 众人讨论的问题,他为了解决这问题创立了一些变分学(Calcu  lus of variation)。欧拉发现拉格朗日的方法比他以前找到的还要好,为了使这年青人能完成这工作,他把自己的工作收起来不发表,并鼓励拉格朗日继续这方面的工作,于是就有了后来数学的一个新分支——变分学。

变分学是研究力学一个重要的工具。

他在19岁时写的关于变分学的基础工作,他已经决定以后用来处理固体和流体的力学问题。

他在23岁时已经梦想写一本叫做《解析力学》的书,他想他的变分学可以用来处理一般力学问题,就像牛顿所发现的重力原理可以用来处理天体力学一样。

10年之后他写信给法国数学家达朗贝尔(D'Alembert),表示他19岁时发现的变分学是一个重要的工作,由于这个发现他能够统一处理力学问题。

他的看法今天还证明是正确的。

二十二岁创立一学会

1758年他建立一个学会,讨论物理、天文及数学的问题,并连续出版5巨册科学上的论著,这些包含他9年来不停的研究,书完成之后,他的健康也受损坏,以后他常常感到忧郁。

他的第一册是关于声波的传播。他在里面指出牛顿对声波看法的一个错误,而且得到声波运动的微分方程。

在这册里还有一篇是关于弦振动问题的解说。在这之前,泰勒(Taylor)、达朗贝尔(D'Alembert)及欧拉曾考虑同样的问题,可是没有得到全部的解答。现在拉格朗日得到运动的曲线在任何时间t是形如

y=a SinmtSinnt

然后他讨论回声(echoes)、节拍(beats)及混声(Compound),用到了概率论和变分学。

第二册是利用变分学来解决一些力学问题。

第三册是专讲解析力学,也用到变分学。他也考虑一些积分学的问题。并解决了法国数学家费马提出的一个数论问题:“如果n是一个不平方的整数,找所有的x使得x2n+1是平方数。”

他也讨论了三个物体在互相吸引之下运动的一般微分方程。

人很早用望远镜发现月球总是有一面对地球,月球绕地球转动,也会自转,为什么有以上奇怪的现象:另外一个面为何羞答答的不让人们看到?

1764年拉格朗日对以上的问题用力学来考虑,他用“虚功”(Virtual work)解决了以上的问题。

1766年欧拉离开了普鲁士,他推荐拉格朗日继承他的职位。腓德烈大帝(Frederic the great)亲自写聘书,里面说:“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家能在他的宫庭里工作。”拉格朗日就动身到普鲁士,一呆就呆了20年,在这期间写下了他的名著:《解析力学》(Analytique Mechanics)。 

他在这20年工作惊人,写了100200多的论文给柏林科学院,都灵学会及巴黎科学院,有一些还是厚厚的巨册。他工作的方式是这样:当他决定写东西,就拿起笔一直写下去,一气呵成,很少有改动的地方。而且行文严谨文笔优美,很少错误。他的《解析力学》,后来爱尔兰的数学家和天文学家哈密尔顿(Hamilton,读者可读拙著第一册关于他的事迹)称赞为“科学上的诗歌”。

五十一岁定居法国

拉格朗日的父亲最初希望他能成为一个律师,因为这个职业,生活较有保障。他也顺从的去念。在大学他接触到物理和数学之后,就觉得自己应该是往科学方面发展,于是不顾父亲的反对,从事数学的研究工作。

我想如果他不依照自己的兴趣和意念,而是照父亲所希望的道路走去,最后他也可能成为一个律师,不过是一个碌碌无为的律师,不可能在科学上有这样大的贡献。

他还很幸运遇见了欧拉这个大师,欧拉对年青人的工作赏识而且奖掖后进。欧拉不只在变分学上对拉格朗日的工作给很高的评价,而且在他23岁时把他推选进柏林的科学院,这个国外的赏识给予他很大的鼓励。欧拉还设法和法国大数学家达朗贝尔联名向德皇推荐,使他能来德国成为“宫廷数学家”。

至到1786817日,德国腓德烈大帝去世,继承帝位的新皇并不对科学太重视,而且不太喜欢“外国科学家”,拉格朗日就决定离开德国。

这时法国路易十六邀他来法国巴黎工作,并且成为法国科学院的一个成员。他并且住在罗浮宫一直到法国大革命发生为止。小他19岁的皇后玛丽·安来涅(Marie Antoinette)了解他,并且希望他从他的失望孤独的心情排解出来。

法国大革命发生,他并没有离开巴黎,他想看这个革命实验是什么样子。革命把皇帝皇后贵族送上断头台,也把他的好朋友拉瓦西(Lavoisier)——法国有名的化学家送上断头台。拉格朗日对一些过分狂热、不分青红皂白、把人头像韭菜般切下的愚蠢作法感到失望:“对于他们决定把像拉瓦西这样有贡献的科学家的头砍下,所需要的时间只不过是几秒钟,可是要产生这样的头脑,几百年可能还不足够。”

革命政府对他是很照顾,并没有使他受苦。法国后来占领意大利的军事领袖还亲自向他父亲祝贺:“有一个以他的天才为人类文化贡献的儿子。”1795年成立师范学院(Ecole Normale),他被聘请为教授。1797年拿破仑建立工艺学院(Ecole Polytech  nique 专门训练军官的有名学院),他被聘请向数学根底不好的官兵讲解数学。拿破仑时常和他讨论哲学问题,并征求他关于数学在建设国家上的意见,拿破仑对他非常敬重。

拉格朗日在解析几何上的贡献

17世纪法国出了一位著名的哲学家,他的名字叫笛卡儿(Rene Descartes 15961650)。他不但从事哲学问题的探讨,也在数学及自然科学上有很大的发现。

他在数学上最大的贡献就是创立了“解析几何”(Analyticgeometry)这门新数学。在他之前千多年来,众人研究几何问题,从来没有想到可以和代数方法结合在一起。而笛卡儿却是“异想天开”第一个提出:把平面上划两条互相垂直的直线,这直线的交点叫原点(origin),然后从点开始在两条直线上取单位长度,以后就可以在水平方向(称为X轴)及垂直方向的直线(称为Y轴)定义所有的点与原点的距离。在原点右边的点和原点的距离是“正数”,而左边的却是“负数”,在上边的点与原点的距离是“正数”,而底下那些点却是“负数”。

由这里出发,平面上的任何点P,可以用一对数偶(couple)(ab)表示,a代表从这点到X轴作的垂直线的交点与原点的距离,而b却代表从这点到Y轴作的垂直线的交点与原点的距离。(如图一)

这样几何上研究的直线,圆等曲线就可以用代数方程如:ax+by=c或(x-d2+y-e2=r2来表示了。

于是几何问题就可以借助代数工具来解决了。笛卡儿的发现可以说是数学上的一场革命性的创见,对数学的推进有很重要的意义。拉格朗日在他的《关于数学的基础课程》(LeconsE1ementaires sur les Mathematiques)一书里相当正确的评价“解 析几何”的重要性:“如果代数及几何继续照它们不同的道路前进,它们的进展将是缓慢,而且它们的应用受到限制。可是当这些科学结合在一起,它们各从对方吸收新鲜的活力,由此以更迅速的步伐朝向完美的地步前进。”

拉格朗日在解析几何上有一些很美丽的发现。

在他的《解析力学》一书里他曾提出力学可以看成是四维空间的几何问题:其中三维是用来表示物体位置,另外一维是作为时间座标。而这种观点是在1915年爱因斯坦应用在他的广义相对论后才普遍被人接受。

拉格朗日在数论上的一些成果

距今2000多年前埃及阿历山大城的一位名叫丢番图(Dio  Phantus)的数学家,曾经研究怎么样的整数能表示两个平方数的和。

据说真正的答案是由两位欧洲的数学家,在1300多年后才得到:一位是荷兰的吉拉(Albert Girard),这是1625年;另外一位是稍迟时候发现的法国数学家费马(Fermat)。

我们现在知道第一个公开的证法是欧拉在1749年给出。

并不是所有的正整数都能表示为两个平方数的和,最简单的几个例子是:36711等等。

欧拉发现:整数n=Pa11Pa22Pakk是可以表示成两个平方数的 和,当且仅当

1)设有一个素数Pi是属于4k+=3的类型,或

2)如果Pi是形如4k+3,那么ai,必须是偶数。

吉拉和费马同样认为:任何自然数都可以表示为最少四个平方数的和。但是人看不到他们的证法,而欧拉曾经试几次证明这结果,但不成功。拉格朗日在1770年,在学习欧拉以前这方面的工作之后给出了第一个证明。他的证明在数论上算是相当的美丽。

1=12                         2=12+12                      3=12+12+12

4=22                         5=22+12                      6=22+12+12

7=22+12+12+12                    8=22+22                    9=33

10=32+12                           11=32+12+12

12=32+12+12+12                  13=32+22

14=32+22+12                     15=32+22+12+12

读者从以上的几个例子,可以相信这个结果是对吧!拉格朗日发现下面定理:“任何整数如果不是平方,可以表示成两个、 三个或四个的平方和”的证明。

另外他也发现一个很漂亮的关于素数的结果。对于任何整数n,我们用n!来表示这样的乘积n×(n-1)×(n-2)×…× 3×2×1。即

n=n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×…×3×2×1 

例如1=12=2×1=23=3×2=6

4=4×3=245=5×4=120

6=6×5=720

拉格朗日发现如果n是素数(即除了1和它本身之外没有其他的约数。读者若想知道一些素数的性质,可参看拙著《数学与数学家的故事——第一集》里的《素数趣谈》一文)那么(n1)!+1一定是n的倍数。

我们看n=2357这几个例子

n=2我们有1+1=2当然是2的倍数。当n=3我们有2 +1=3也是3的倍数。取 n=5,我们有4+1=255的倍数。取 n=76+1=721=103×7明显是7的倍数。同样在1770年英国数学家威尔森(Wilson)也发现这结果并给予证明。近代数论的书籍,许多人称这结果为威尔森定理,事实上应该是把拉格朗日和威尔森并提才对。

在代数上的工作

他在方程式论上有一些工作。他在代数上最有名的一个定理就是关于群论子群的定理。

我们先讲一下“群”的定义。群是一个数学系统G有一个 二元运算“*”,满足下面性质:

1)结合律  a*b*c=a*b*c

2)有一个单位元e,即对于任何在G里的元素X,我们有

x*e=e*x=x

3)对于任何x,我们一定能找到一个y,使得

x*y=y*x=e 

比方说对所有的整数,它对加法运算组成一个群,这里单位元就是0

如果G的子集H对于该运算“*”是封闭,而且本身也组成一个群,那么这子集就叫子群。

好像前面的整数群的例子,所有的偶数集合组成一个子群。我们的群例子是有无限元素。

拉格朗日发现在有限群里,子群的之数个数一定是整个大群的约数。

拉格朗日的晚年

拉格朗日在柏林的时候,他的妻子患病,他专心的照顾她。不幸她却沉疴不治,最后去世,这令他非常难过。后来在巴黎时,他娶了法国天文学家李蒙涅(Lemonnie)的女儿。

原来拉格朗日很爱他的前妻,她的去世令他整个人消沉。他来到法国后,李蒙涅作为拉格朗日的好朋友邀请他来家里吃饭聊天,拉格朗日那时已是56岁的人了,对于科学方面已有所贡献,他也不想再做什么重要的工作。

小他差不多40岁的李蒙涅小姐却喜欢拉格朗日,她希望他能振作起来,能继续从事科研的工作。她希望他能把忧伤忘记,她愿意嫁给他,照顾他的生活。她那种坚决以身相许的决心,使得拉格朗日不得不娶她。

还好这位小姐是相当贤慧而且很有才干,拉格朗日结婚后有人照顾也变得振奋起来。他们的家庭生活是很幸福,日子过的很简单与节约,这样一直到76岁拉格朗日才去世。他没有留下后代。

拉格朗日很喜欢音乐。他对朋友解释他喜欢音乐的理由:音乐使他孤立,他不再需要听一些闲聊,能帮助他进行思考的工作。他说:“在听到音乐的第三个音节之后,我就听不到什么东西了,我把我的思想集中在考虑问题,往往这样我解决了许多难题。”

已经70岁的拉格朗日,想为“解析力学”这书的第二版作重改及扩充的工作。他不停的工作,就像年青时那样。可是由于衰老,他的身体不容易受头脑指挥。有一天他的妻子发现他昏迷在地上,由于跌倒头部撞到桌角而受伤。他必须躺在床上,他知道自己是病重,但是他仍旧坚持工作,他就像一个哲学家那样的沉着。

在去世前二天他叫蒙日(Monge)及其他的朋友来到床前和他们谈:“我的朋友们,昨天我就觉得病很重,我感到我快要死了,身体逐渐的衰弱。我感到我的力气的逐渐消失,我没悲伤、没有遗憾到达死亡。啊!死亡并不是可怕的,当它来时没有任何痛苦,这是最后的作用,没有什么不愉快。”

“在过一个时候再没有什么活动了,死充塞各处;死亡是身体的绝对休息。我希望死去;是的,我希望死,可是我的妻子却不愿意。我已经完成我的事业,我在数学上有一些名声。我从来没有憎恨谁,我也没有做过什么坏事,这样死是最好的。可是我的妻子却不愿意我死去……”

然后他就昏迷了,他终于在1813410日去世,他活到76岁,这个朴素无华的数学家为人类留下许多丰硕的成果,他可以说是死而无憾!

拉格朗日死后埋葬在巴黎的圣贤祠(Pantheon)里。