在完全数的探索中

  毕达哥拉斯的信徒们相信,整数是万物之本.他们甚至主张将一些特定的数拟人化.例如,将偶数看成是阴性的,等等.毕达哥拉斯的信徒们研究了数的类型和性质,完全数则是他们比较集中研究的一种.

628496,?

  完全数是这样的一种数,它等于除自身外的所有因子和.6是一个完全数,因为它除自身外的因子:123的总和为628496也是完全数的例子.在欧几里得《几何原本》卷九中的最后一个定理,就是关于完全数的,它陈述如下:

  “如果2n1是素数,则2n-1(2n1)是一个完全数.”

  对于n2我们得到完全数6.对于n4,由于241不是素数,所以结果不会产生一个完全数.对完全数的探索,古往今来始终困扰着数学家.

  直到现在还没有人发现一个奇完全数,也没有一个人能够证明奇完全数不存在.(① 原注:这是数论中著名的未解决的问题之一. )人们认为欧几里得定理的逆命题:

  “每个完全数都有2n-1(2n1)的形式,这里2n-1是一个素数”

  可能成立,但至今没有人能够证明.瑞士数学家欧拉(LeonardEuler17071783)证明了所有偶完全数都应当有这样的形式.对完全数的探索一直持续到今天.(① 译者注:至1998年2月,人们知道的完全数共37个.最后一个完全数相应的n=3021377. )

  今天,人们藉助于计算机找到了当n5216071279220322813217709042534423时相应的完全数,这是n5000时仅有的几个.此外,n968999411121319937时也给出了完全数.你能想象这些完全数有多大.例如,1963年,伊利诺斯大学发现了对于n11213时的完全数,它包含6751个数字,有22425个因子.