数学问题与发现

  纵观数学发展的进程,问题在数学思想的发展和发现中起着催化剂的作用.事实上,数学的历史可以看成是研究问题的足迹.千百年来,数学家们力图去解决这些问题.然而到了问题真正获得解决的时候,却反而感到有些沮丧,因为它已不再成为人们为之奋斗的,令人兴奋和富有挑战的数学思想.

  一些最令人振奋的数学发现,总是由于数学家们努力解决“未解决”的数学问题,或试图对一些数学思想加以证明或反证时创造或产生的.古代三大作图问题可算是最早的一些挑战性的数学问题,它导致了许多新的发现,诸如:

  ●为解三分角问题的尼科梅德斯蚌线.

  

  ●柏拉图的倍立方器.

  ●欧多克斯的杖头线.

  ●埃拉托斯散的滑动正方形.

  ●在给定一对线段之间插入两个几何平均值的,阿波罗尼斯解倍立方问题的方法.

  ●梅纳科斯解倍立方问题的抛物线方法.

  ●塞斯汀用一条双曲线和一条抛物线解倍立方问题的方法.

  ●对于解化圆为方问题的希波克拉底弓形.

  ●对于解化圆为方问题的喜庇亚斯割圆曲线.

  ●阿基米德对于三分角的设计.

  ●解三分角问题的帕斯卡蚶线.

  ●解三分角问题的折磬形.

  ●解三分角问题的阿基米德螺线.

  ●解三分角问题的螺旋线.

  ●用一个圆和一条双曲线解三分角问题的帕普斯方法.

  上述的表尚可继续.

  两千多年来,数学家们为证明欧几里得的第五公设进行了不懈的努力,终于在19世纪发现并创造了非欧几何.对哥尼斯堡七桥问题的欧拉解答(1736)引发了对拓扑学的研究.四色地图问题(由英国数学家格里斯于1852年正式提出)一个多世纪来曾经多次被“证明”,但事实表明这些“证明”都存在着毛病.有趣的是,这个问题并没有因而沉寂,而是随着拓扑学的发展而发展.教师们在课堂上用它逗起学生的兴趣,而数学家则花费大量的时间去试图解决它.四色地图问题终于在1976年由伊利诺斯大学的K·阿佩尔和W·哈肯用一台计算机解决了.

  近些年来,对一些艰难的数学问题和猜想,找到了一些令人振奋的证明:

  ——莫德尔猜想

 

  1922年,莫德尔提出:对一定类型的多项式方程,只有有限数目的有理解(这些曲线与有两个或更多洞的拓扑曲面结合).这个猜想于1983年为德国青年数学家G·法尔廷斯所证.

  ——庞加莱四维空间猜想

  该猜想令数学家们困惑了80多年,直至南加利福尼亚大学的M·弗里曼及牛津大学的S·唐纳笛逊完成了该项工作.

  一个近代最为著名的数学悬案是费尔马大定理.(①译者注:该问题已被英国数学家A·怀尔士所解决.1997年6月德国哥庭根大学决定将为此而设置的十万金马克(约二百万美元)的奖项授予他.请参见本书第178页. )费尔马(Pierre de Fermat16011665)是一个职业律师,他把自己的休闲时间都花在研究数学上.费尔马是当时倍受敬重的法国伟大的数学家之一,在许多领域尤其数论方面多有贡献.虽然他所写的数学东西很少出版,但他常与那时居主导地位的数学家通信,而且毫无疑问地对他们的工作产生了影响.他留下了三千张的稿纸、信札以及他对译本《丢番图算术》的注释.在后者上面人们发现了著名的费尔马注解,那是费尔马写在眉页上的一段话——

  将一个正整数的立方表为两个正整数的立方和;将一个正整数的四次方幂表为两个正整数四次方幂的和;或者一般地,将一个正整数高于二次的幂表为两个正整数同次幂的和,这是不可能的.对此,我确信已经找到了令人惊异的证明,但书页的边幅太窄了,无法把它写下.

  重新陈述:

  如果n是大于2的自然数,则没有正整数abc会满足anbncn

  自然,当人们发现这个注释时费尔马已经去世.但这个注释却向数学家们提出了挑战.几个世纪来,就连最杰出的数学家都既无法证明也无法否定这个问题的结论.人们总感到费尔马是为了挫败他同事的锐气而故意这样写的,他本人绝对没有给出证明!不过,从那时起的350年间,这个问题激发了众多的重要数学思想的发现.